ここでは東大数理の修士課程の院試の2022B01の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
$n$次対称群$\mathfrak{S}_n$及び$n\times n$複素行列の為す複素線型空間$M_n(\mathbb{C})$を考える。ここで作用$\mathfrak{S}_{n}\curvearrowright M_n(\mathbb{C})$を$A^\sigma_{i,j}:=A_{\sigma(i),\sigma(j)}$のよって定める。ここで$\mathfrak{S}_n$の部分群$G$について
$$
d_n(G):=\dim\{A\in M_n(\mathbb{C})|A^\sigma=A\}
$$
とおく。
(1) $n\geq2$に対して$d_n(\mathfrak{S}_n)$を求めなさい。
(2) $n$次交代群$\mathfrak{A}_n$を考える。$n\geq2$に対して$d_n(\mathfrak{A}_n)$を求めなさい。
(3) 部分群$G$を作用$G\curvearrowright\{1,\cdots,n\}$が推移的になるようにとるとき、$d_n(G)$の最大値を$T_n$とおく。$n\geq2$に対して$T_n$を求めなさい。