東大数理院試過去問解答例(2022B01)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2022B01の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2022B01

$n$ 次対称群 $S_{n}$ 及び $n \times n$ 複素行列の為す複素線型空間 $M_{n} (C)$ を考える。ここで作用 $S_{n} ↷ M_{n} (C)$ を $A_{i, j}^{σ} := A_{σ (i), σ (j)}$ のよって定める。ここで $S_{n}$ の部分群 $G$ について
$d_{n} (G) := \dim {A \in M_{n} (C) | A^{σ} = A}$
とおく。
(1) $n \geq 2$ に対して $d_{n} (S_{n})$ を求めなさい。
(2) $n$ 次交代群 $A_{n}$ を考える。 $n \geq 2$ に対して $d_{n} (A_{n})$ を求めなさい。
(3) 部分群 $G$ を作用 $G ↷ {1, \dots, n}$ が推移的になるようにとるとき、 $d_{n} (G)$ の最大値を $T_{n}$ とおく。 $n \geq 2$ に対して $T_{n}$ を求めなさい。

$V := {A \in M_{n} (C) | A^{σ} = A}$ とおく。任意の $i \neq j$ 及び $k \neq ℓ$ について、 $A_{i, j}^{σ} = A_{k, ℓ}$ なる $σ$ を取ることができるから、 $V$ の任意の元について、対角成分以外の成分は全て等しい。また同様の議論で $V$ の任意の元について、対角成分は全て等しい。逆にこれらの条件が満たされていれば $S_{n}$ の作用で不変であるから、 $V$ は
$(\begin{matrix} 0 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & \dots & 1 & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 1 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & 1 & \dots & 1 & 0 \end{matrix})$
及び $1_{n}$ で生成される $2$ 次元空間である。よって $d_{n} (S_{n}) = 2$
任意の相異なる $i, j, k, ℓ$ について、偶置換 $σ = (i, k) (j, ℓ)$ によって $A_{k, ℓ}^{σ} = A_{i j}$ が成り立っている。また $n \geq 4$ のとき、相異なる $i, j, ℓ$ について、偶置換 $σ = (j, s, ℓ)$ によって $A_{i, ℓ}^{σ} = A_{i, j}$ 及び $A_{ℓ, i}^{σ} = A_{j, i}$ が成り立っている(ここで $s$ は $i, j, k$ のいずれとも異なる整数)。また $n \geq 4$ のとき、任意の相異なる $i, j$ について、偶置換 $σ = (i, j) (s, t)$ によって $A_{i, j}^{σ} = A_{j, i}$ が成り立っている。また任意の相異なる $i, j, k$ について、偶置換 $σ = (j, i, k)$ によって $A_{i, j}^{σ} = A_{k, i}$ が成り立っている。また $n \geq 3$ のとき $A_{n} ↷ {1, \dots, n}$ は推移的である。以上から $n \geq 4$ のとき $d_{n} (A_{n}) = 2$ である。
次に $n = 3$ のとき、 $A_{3} = {1, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}$ であるから
${A \in M_{n} (C) | A^{σ} = A} = {(\begin{matrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix}) | a, b, c \in C}$
であるから $d_{3} (A_{3}) = 3$ である。
次に $n = 2$ のとき $A_{2} = {1}$ であるから $d_{2} (A_{2}) = 4$ である。以上をまとめると
$d_{n} (A_{n}) = {\begin{array}{cc} 2 & (n \geq 4) \\ 3 & (n = 3) \\ 4 & (n = 2) \end{array}$
である。
まず $G$ は推移的に作用しているから、任意の $i, j$ について ${a_{σ (i), σ (j)} | σ \in G}$ は少なくとも $n$ 個の元から成る。よって ${A \in M_{n} (C) | A^{σ} = A}$ は高々 $\frac{n^{2}}{n} = n$ 次元である。そしてこれは $G = ⟨ (1, 2, \dots, n) ⟩$ としたときに実現される。よって $T_{n} = n$

投稿日：2023年10月22日

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