斉次版の prime avoidance
Prime avoidance と言えば次のような主張のことです：
$A$を可換環とする．次を仮定する．
- $\mathfrak{p}_1, \dots, \mathfrak{p}_n$は，高々2つ以外は素イデアルであるような$A$のイデアルの組．
- イデアル$I$は，いずれの$\mathfrak{p}_i$にも含まれない．
この時，$\displaystyle I\not\subset \bigcup_{i=1}^n \mathfrak{p}_i$である．
定理1の証明は省略します（検索すれば証明はいくらでも見つかると思います）．この定理は，高々2つは素イデアルでなくても良いという部分を無視すれば，おおよそ次のように言い換えることができます．なお，$V(f) \coloneqq \{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec} A \mid f \in \mathfrak{p}\}$です．
$A$を可換環，$F \subset \mathrm{Spec} A$を有限個の点の集合とする．また，$Z\subset \mathrm{Spec} A$を$F$と交わらない閉集合とする．
この時ある（超）閉曲面$V(f)$が存在して，$V(f)\supset Z$かつ$V(f)$は$F$と交わらない．
$Z = V(I)$，$F$の各点に対応する$A$の素イデアルを$\mathfrak{p}_1, \dots, \mathfrak{p}_n$と書く．
この時定理1より$\displaystyle f \in I \setminus \bigcup_i \mathfrak{p}_i$が取れて，この$f$によって条件が満たされる．
では，この主張の「斉次版」を書きます．こちらが本記事の本題です．
$\displaystyle A = \bigoplus_{i\geq0} A_i$を$\mathbb{N}$次数付き可換環とし，$A_+ \coloneqq \bigoplus_{i > 0} A_i$と表す．次を仮定する．
- $\mathfrak{p}_1, \dots, \mathfrak{p}_n$は，高々2つ以外は素イデアルであるような$A$の斉次イデアルの組．
- $I\cap A_+ \not\subset \sqrt{\mathfrak{p}_i}$である．
この時，$\displaystyle I\setminus \bigcup_i \mathfrak{p}_i$には斉次な元が存在する．特に，その次数は1次以上に取れる．
定理3はあとで示します．$\mathfrak{p}_i$が全て素イデアルの時は条件が簡明になるので、そのバージョンも書いておきます．
$\displaystyle A = \bigoplus_{i\geq0} A_i$を$\mathbb{N}$次数付き可換環とし，$A_+ \coloneqq \bigoplus_{i > 0} A_i$と表す．次を仮定する．
- $\mathfrak{p}_1, \dots, \mathfrak{p}_n$は，$A$の斉次素イデアルの組．
- $I\not\subset\mathfrak{p}_i$である．
- $A_+ \not\subset \mathfrak{p}_i$である．
この時，$\displaystyle I\setminus \bigcup_i \mathfrak{p}_i$には斉次な元が存在する．特に，その次数は1次以上に取れる．
なお，この系の主張は Liu の Exercise2.5.5 に（$A_+\not\subset\mathfrak{p}_i$という条件を付け損ねた状態で）だいたい載っています．証明の方針もその誘導を参考にしました．
この条件は，$\mathfrak{p}_i$が素である場合には「$I\not\subset \mathfrak{p}_i$かつ$A_+\not\subset\mathfrak{p}_i$……※」を課すのと同じである．実際，$a\in A_+\setminus \mathfrak{p}_i, x\in I\setminus \mathfrak{p}_i$をとれば，$ax \in (I\cap A_+) \setminus \mathfrak{p}_i$である．なお，$A_+\not\subset \mathfrak{p}_i$という条件は$\mathfrak{p}_i$が$\mathrm{Proj}A$の点を定めることと対応している．後の定理4参照．
一方，$\mathfrak{p}_i$が素イデアルと限らない場合には，根基イデアルであってもこの条件は（※のような形には）弱められない．実際，$A = \mathbb{Z}[t], \mathfrak{p}_1 = \langle 2t\rangle, I = \langle 2\rangle$とすると$I\cap A_+ = \mathfrak{p}_1$となってしまう．
さらに$I\cap A_+ \not\subset\mathfrak{p}_i$だけを課しても，$\mathfrak{p}_i$が根基と限らない場合には反例がある．例えば$A = \mathbb{Z}[s, t], \mathfrak{p}_1 = \langle s^2, st, t^2\rangle, \mathfrak{p}_2 = \langle s \rangle, I = \langle s, t^2\rangle$とすると$I\setminus (\mathfrak{p}_1 \cup \mathfrak{p}_2)$に斉次元は存在しない．
こちらも幾何的な解釈を書いておきます．なお，$V_+(f) \coloneqq \{\mathfrak{p} \in \mathrm{Proj}A \mid f \in \mathfrak{p}\}$です．
$A$を$\mathbb{N}$次数付き可換環，$F\subset \mathrm{Proj}A$を有限個の点の集合とする．また，$Z \subset \mathrm{Proj}A$を$F$と交わらない閉集合とする．
この時，ある（超）閉曲面$V_+(f)$が存在して，$V_+(f)\supset Z$かつ$V_+(f)$は$F$と交わらない．
$F$の各点に対応する素イデアル$\mathfrak{p}_i$が$A_+$を含まないことに気をつけて，定理2の証明と同様に定理3を適用すれば良い．
では，定理3を証明していきます．以降は全て定理3のセッティングのもとで考えます．ただし，次の2つを仮定します．
- $\mathfrak{p}_i$たちには互いに包含関係がない（包含関係がある場合，小さい方を除いて考えれば良い）．
- $\mathfrak{p}_i$は全て根基イデアル（$\sqrt{\mathfrak{p}_i}$を避ければ元の$\mathfrak{p}_i$も避けられる）．
$n=1$の時定理3は正しい．つまり，$I\setminus \mathfrak{p}_i$には1次以上で斉次な元が存在する．
$I\cap A_+$は斉次イデアルの共通部分なので斉次イデアルゆえ，斉次元のみで生成できる．$I\cap A_+ \not\subset \mathfrak{p}_i$という仮定よりこの生成元のうちいずれかは$\mathfrak{p}_i$に含まれないから，それをとれば良い．
$n=2$の時，定理3は正しい．
補題5より取れる，1次以上で斉次な元$f \in I\setminus \mathfrak{p}_1, g \in I \setminus \mathfrak{p}_2$を考える．
- $f\not\in\mathfrak{p}_2$なら$f$が条件を満たす．
- $g\not\in\mathfrak{p}_1$なら$g$が条件を満たす．
- いずれでもない，つまり$f\in \mathfrak{p}_2$かつ$g\in\mathfrak{p}_1$ならば，$f^{\deg g} + g^{\deg f}\in I\setminus(\mathfrak{p}_1 \cup \mathfrak{p}_2)$である（$\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2$が根基イデアルであることに注意）．これは$\deg f\cdot \deg g$次の斉次元．
以上の準備のもとに，定理3の証明を完成させましょう．
帰納法による．補題6までで$n\leq 2$は済んでいるので，$n\geq 3$とし，$\mathfrak{p}_n$は素イデアルとして構わない．
帰納法の仮定によって，$\displaystyle f \in I \setminus\bigcup_{i=1}^{n-1}\mathfrak{p}_i$なる1次以上の斉次元$f$が取れる．$f\not\in \mathfrak{p}_n$ならこの$f$が所望の条件を満たすので，以降$f\in\mathfrak{p}_n$とする．
また，包含についての仮定より$i< n-1$について斉次元$g_i \in \mathfrak{p}_i \setminus \mathfrak{p}_n$が取れ，さらに$n=1$の場合より1次以上の斉次元$h \in I\setminus\mathfrak{p}_n$も取れる．いま$\mathfrak{p}_n$は素イデアルなので，$g \coloneqq g_1\dots g_{n-1}h$とすると$g\in I\mathfrak{p}_1\dots\mathfrak{p}_{n-1} \setminus \mathfrak{p}_n$でこれは1次以上の斉次元．
ここで，$f^{\deg g} + g^{\deg f}$を考える．$\deg f, \deg g > 0$及びいずれの$\mathfrak{p}_i$も根基イデアルであることから，$\displaystyle f^{\deg g} \in (I \cap \mathfrak{p}_n) \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} \mathfrak{p}_i,\, g^{\deg f} \in I\mathfrak{p}_1\dots\mathfrak{p}_{n-1}\setminus \mathfrak{p}_n$．よってその和は$I$に入るがいずれの$\mathfrak{p}_i$にも含まれない．また，これは$\deg f \cdot \deg g$次の斉次元である．
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