斉次版の prime avoidance

PrimeAvoidance

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　Prime avoidance と言えば次のような主張のことです：

（Prime avoidance）

　 $A$ を可換環とする．次を仮定する．

$p_{1}, \dots, p_{n}$ は，高々2つ以外は素イデアルであるような $A$ のイデアルの組．
イデアル $I$ は，いずれの $p_{i}$ にも含まれない．
この時， $I ⊄ ⋃_{i = 1}^{n} p_{i}$ である．

　定理1の証明は省略します（検索すれば証明はいくらでも見つかると思います）．この定理は，高々2つは素イデアルでなくても良いという部分を無視すれば，おおよそ次のように言い換えることができます．なお， $V (f) : = {p \in Spec A ∣ f \in p}$ です．

（Prime avoidance - スキーム版）

　 $A$ を可換環， $F \subset Spec A$ を有限個の点の集合とする．また， $Z \subset Spec A$ を $F$ と交わらない閉集合とする．
　この時ある（超）閉曲面 $V (f)$ が存在して， $V (f) \supset Z$ かつ $V (f)$ は $F$ と交わらない．

$Z = V (I)$ ， $F$ の各点に対応する $A$ の素イデアルを $p_{1}, \dots, p_{n}$ と書く．
この時定理1より $f \in I ∖ ⋃_{i} p_{i}$ が取れて，この $f$ によって条件が満たされる．

では，この主張の「斉次版」を書きます．こちらが本記事の本題です．

（斉次版 prime avoidance）

　 $A = ⨁_{i \geq 0} A_{i}$ を $N$ 次数付き可換環とし， $A_{+} : = ⨁_{i > 0} A_{i}$ と表す．次を仮定する．

$p_{1}, \dots, p_{n}$ は，高々2つ以外は素イデアルであるような $A$ の斉次イデアルの組．
$I \cap A_{+} ⊄ \sqrt{p_{i}}$ である．
この時， $I ∖ ⋃_{i} p_{i}$ には斉次な元が存在する．特に，その次数は1次以上に取れる．

　定理3はあとで示します． $p_{i}$ が全て素イデアルの時は条件が簡明になるので、そのバージョンも書いておきます．

　 $A = ⨁_{i \geq 0} A_{i}$ を $N$ 次数付き可換環とし， $A_{+} : = ⨁_{i > 0} A_{i}$ と表す．次を仮定する．

$p_{1}, \dots, p_{n}$ は， $A$ の斉次素イデアルの組．
$I ⊄ p_{i}$ である．
$A_{+} ⊄ p_{i}$ である．
この時， $I ∖ ⋃_{i} p_{i}$ には斉次な元が存在する．特に，その次数は1次以上に取れる．

なお，この系の主張は Liu の Exercise2.5.5 に（ $A_{+} ⊄ p_{i}$ という条件を付け損ねた状態で）だいたい載っています．証明の方針もその誘導を参考にしました．

I \cap A_{+} ⊄ \sqrt{p_{i}}

という条件について

　この条件は， $p_{i}$ が素である場合には「 $I ⊄ p_{i}$ かつ $A_{+} ⊄ p_{i}$ ……※」を課すのと同じである．実際， $a \in A_{+} ∖ p_{i}, x \in I ∖ p_{i}$ をとれば， $a x \in (I \cap A_{+}) ∖ p_{i}$ である．なお， $A_{+} ⊄ p_{i}$ という条件は $p_{i}$ が $Proj A$ の点を定めることと対応している．後の定理4参照．
　一方， $p_{i}$ が素イデアルと限らない場合には，根基イデアルであってもこの条件は（※のような形には）弱められない．実際， $A = Z [t], p_{1} = ⟨ 2 t ⟩, I = ⟨ 2 ⟩$ とすると $I \cap A_{+} = p_{1}$ となってしまう．
　さらに $I \cap A_{+} ⊄ p_{i}$ だけを課しても， $p_{i}$ が根基と限らない場合には反例がある．例えば $A = Z [s, t], p_{1} = ⟨ s^{2}, s t, t^{2} ⟩, p_{2} = ⟨ s ⟩, I = ⟨ s, t^{2} ⟩$ とすると $I ∖ (p_{1} \cup p_{2})$ に斉次元は存在しない．

　こちらも幾何的な解釈を書いておきます．なお， $V_{+} (f) : = {p \in Proj A ∣ f \in p}$ です．

（斉次版 Prime avoidance - スキーム版）

　 $A$ を $N$ 次数付き可換環， $F \subset Proj A$ を有限個の点の集合とする．また， $Z \subset Proj A$ を $F$ と交わらない閉集合とする．
　この時，ある（超）閉曲面 $V_{+} (f)$ が存在して， $V_{+} (f) \supset Z$ かつ $V_{+} (f)$ は $F$ と交わらない．

　 $F$ の各点に対応する素イデアル $p_{i}$ が $A_{+}$ を含まないことに気をつけて，定理2の証明と同様に定理3を適用すれば良い．

　では，定理3を証明していきます．以降は全て定理3のセッティングのもとで考えます．ただし，次の2つを仮定します．

$p_{i}$ たちには互いに包含関係がない（包含関係がある場合，小さい方を除いて考えれば良い）．
$p_{i}$ は全て根基イデアル（ $\sqrt{p_{i}}$ を避ければ元の $p_{i}$ も避けられる）．

$n = 1$ の時定理3は正しい．つまり， $I ∖ p_{i}$ には1次以上で斉次な元が存在する．

　 $I \cap A_{+}$ は斉次イデアルの共通部分なので斉次イデアルゆえ，斉次元のみで生成できる． $I \cap A_{+} ⊄ p_{i}$ という仮定よりこの生成元のうちいずれかは $p_{i}$ に含まれないから，それをとれば良い．

$n = 2$ の時，定理3は正しい．

　補題5より取れる，1次以上で斉次な元 $f \in I ∖ p_{1}, g \in I ∖ p_{2}$ を考える．

$f \notin p_{2}$ なら $f$ が条件を満たす．
$g \notin p_{1}$ なら $g$ が条件を満たす．
いずれでもない，つまり $f \in p_{2}$ かつ $g \in p_{1}$ ならば， $f^{\deg g} + g^{\deg f} \in I ∖ (p_{1} \cup p_{2})$ である（ $p_{1}, p_{2}$ が根基イデアルであることに注意）．これは $\deg f \cdot \deg g$ 次の斉次元．

　以上の準備のもとに，定理3の証明を完成させましょう．

（定理3の証明）

　帰納法による．補題6までで $n \leq 2$ は済んでいるので， $n \geq 3$ とし， $p_{n}$ は素イデアルとして構わない．
　帰納法の仮定によって， $f \in I ∖ ⋃_{i = 1}^{n - 1} p_{i}$ なる1次以上の斉次元 $f$ が取れる． $f \notin p_{n}$ ならこの $f$ が所望の条件を満たすので，以降 $f \in p_{n}$ とする．
　また，包含についての仮定より $i < n - 1$ について斉次元 $g_{i} \in p_{i} ∖ p_{n}$ が取れ，さらに $n = 1$ の場合より1次以上の斉次元 $h \in I ∖ p_{n}$ も取れる．いま $p_{n}$ は素イデアルなので， $g : = g_{1} \dots g_{n - 1} h$ とすると $g \in I p_{1} \dots p_{n - 1} ∖ p_{n}$ でこれは1次以上の斉次元．
　ここで， $f^{\deg g} + g^{\deg f}$ を考える． $\deg f, \deg g > 0$ 及びいずれの $p_{i}$ も根基イデアルであることから， $f^{\deg g} \in (I \cap p_{n}) ∖ ⋃_{i = 1}^{n - 1} p_{i}, g^{\deg f} \in I p_{1} \dots p_{n - 1} ∖ p_{n}$ ．よってその和は $I$ に入るがいずれの $p_{i}$ にも含まれない．また，これは $\deg f \cdot \deg g$ 次の斉次元である．