Non-terminating q-Whippleの変換公式のq積分表示

Non-terminating $q$ -Whippleの変換公式の記事で示した積分表示
$\begin{aligned} _{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e, f \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q / f \end{array}; \frac{a^{2} q^{2}}{b c d e f}] \\ = \frac{1}{d e f - a q} \frac{(a q, a q / b c, d, e, f, a q / d e, a q / d f, a q / e f; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q / f, a q^{2} / d e f, d e f / a, q; q)_{\infty}} \int_{a q}^{d e f} \frac{(a t q / b d e f, a t q / c d e f, t q / d e f, t / a; q)_{\infty}}{(t / d e, t / d f, t / e f, a t q / b c d e f; q)_{\infty}} d_{q} t \end{aligned}$
を使いやすいように整理しておく.
$\begin{array}{r} W (a; b, c, d, e, f; x) =_{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e, f \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q / f \end{array}; x] \end{array}$
のように書くことにすると,
$\begin{aligned} \int_{a q}^{d e f} \frac{(a t q / b d e f, a t q / c d e f, t q / d e f, t / a; q)_{\infty}}{(t / d e, t / d f, t / e f, a t q / b c d e f; q)_{\infty}} d_{q} t \\ = (d e f - a q) \frac{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q / f, a q^{2} / d e f, d e f / a, q; q)_{\infty}}{(a q, a q / b c, d, e, f, a q / d e, a q / d f, a q / e f; q)_{\infty}} W (a; b, c, d, e, f; \frac{a^{2} q^{2}}{b c d e f}) \end{aligned}$
である. これは,
$\begin{aligned} \int_{a g q}^{d e f g} \frac{(a t q / b d e f g, a t q / c d e f g, t q / d e f g, t / a g; q)_{\infty}}{(t / d e g, t / d f g, t / e f g, a t q / b c d e f g; q)_{\infty}} d_{q} t \\ = (d e f g - a g q) \frac{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q / f, a q^{2} / d e f, d e f / a, q; q)_{\infty}}{(a q, a q / b c, d, e, f, a q / d e, a q / d f, a q / e f; q)_{\infty}} W (a; b, c, d, e, f; \frac{a^{2} q^{2}}{b c d e f}) \end{aligned}$
と同値である.
$a \mapsto a / g q, d e f g = h$ とすると,
$\begin{aligned} \int_{a}^{h} \frac{(a t / b g h, a t / c g h, t q / h, t q / a; q)_{\infty}}{(t d / h, t e / h, t f / h, a t / b c g h; q)_{\infty}} d_{q} t \\ = (h - a) \frac{(a / b g, a / c g, a / d g, a / e g, a / f g, a q / h, h q / a, q; q)_{\infty}}{(a / g, a / b c g, d, e, f, a d / h, a e / h, a f / h; q)_{\infty}} W (a / g q; b, c, d, e, f; \frac{a^{2}}{b c g h}) \end{aligned}$
$b \mapsto a / b g h, c \mapsto a / c g h, d \mapsto d h, e \mapsto e h, f \mapsto f h$ とすると, 条件は $d e f g h^{2} = 1$ となり,
$\begin{aligned} \int_{a}^{h} \frac{(b t, c t, t q / h, t q / a; q)_{\infty}}{(d t, e t, f t, b c g h t / a; q)_{\infty}} d_{q} t \\ = (h - a) \frac{(b h, c h, a / d g h, a / e g h, a / f g h, a q / h, h q / a, q; q)_{\infty}}{(a / g, b c g h^{2} / a, d h, e h, f h, a d, a e, a f; q)_{\infty}} W (a / g q; a / b g h, a / c g h, d h, e h, f h; b c g h) \end{aligned}$
だから, $k = b c g h / a$ とすれば, 条件は $a d e f h k = b c$ となり, このとき,
$\begin{aligned} \int_{a}^{h} \frac{(b t, c t, t q / h, t q / a; q)_{\infty}}{(d t, e t, f t, k t; q)_{\infty}} d_{q} t \\ = (h - a) \frac{(b h, c h, b c / d k, b c / e k, b c / f k, a q / h, h q / a, q; q)_{\infty}}{(b c h / k, h k, d h, e h, f h, a d, a e, a f; q)_{\infty}} W (b c h / k q; b / k, c / k, d h, e h, f h; a k) \end{aligned}$
よって変数を付け替えて, 以下を得る.

Non-terminating

q

-Whippleの変換公式の

q

積分表示

$c d = a b e f g h$ のとき,
$\begin{aligned} \int_{a}^{b} \frac{(t q / a, t q / b, c t, d t; q)_{\infty}}{(e t, f t, g t, h t; q)_{\infty}} d_{q} t \\ = (b - a) \frac{(b c, b d, c d / e h, c d / f h, c d / g h, a q / b, b q / a, q; q)_{\infty}}{(b c d / h, b e, b f, b g, b h, a e, a f, a g; q)_{\infty}} W (b c d / h q; c / h, d / h, b e, b f, b g; a h) \end{aligned}$
が成り立つ.