東大数理院試過去問解答例(2023B02)

$M/xM$の$A/(x)$-加群としての生成元を$s_1,\cdots,s_n$とし、その$M$に於ける代表元を$\overline{s_1},\cdots,\overline{s_r}$とおく。そしてこれら代表元で生成される$M$の部分$\mathbb{C}[y]$-加群をNとおく。これは自由$\mathbb{C}[y]$-加群である。ここで$\mathbb{C}[y]$-加群$\bigoplus_{i=0}^\infty x^iN$を考えると、これには自然に$A$-加群の構造が入る。$A$-加群の準同型$$M':=\bigoplus_{i=0}^\infty x^iN\to M$$を取る。ここでこの準同型は単射であり、左辺はその構成から自由$\mathbb{C}[x,y]/(xy)$-加群である。よって上記の単射が実は全射であること、つまり$M/M'=0$であることを示せば証明ができるので、以下これを示していく。
まず
$$ \frac{M/M'}{x(M/M')}\simeq M/(xM+M')=0$$
である一方、
$$\frac{(M/M')}{y(M/M')}\simeq M/(yM+M')=M/M' $$である。下の条件から$M/M'$は有限生成$\mathbb{C}[x]$-加群であるが、PID上有限生成加群の構造定理及び$x$が単元として作用していることから、これは$\mathbb{C}$上の有限次元線型空間であり、$\mathbb{C}[x]$-加群として自由でないことがわかる。ここでこの加群の生成元のうちひとつをとり、さらに(この元は$M/M'$の元であったから)その$M$に於ける代表元をひとつとることができる。これによって生成される$M$の部分$\mathbb{C}[x]$-加群を$M''$とおく。このときこの加群の構成により$N\cap M''=0$であるから、これと$yM\subseteq M'$を合わせると自然な$\mathbb{C}[x]$-加群の準同型$M''\hookrightarrow M\twoheadrightarrow M/yM$は単射であることが従う。ここで仮定より$M/yM$は自由$\mathbb{C}[x]$上の自由加群であったから、その部分加群である$M''$も自由加群になるが、これは有限次元$\mathbb{C}$-線型空間でもあったからよって$M''=0$が従う。以上から$M/M'=0$が示せた。

まず
$$ N=x(x+y-1)B+ y(x+y-1)B+ xy B=(xy,x^2-x,y^2-y)B $$
とおく。初めにこれが自由でないことを背理法で示す。自由であるとすると単項生成されるので、その生成元を$f$とする。この多項式を$f$とする。これは$\mathbb {C}[x,y]$に於いて
$$ x^2-x,y^2-y,xy\in I:=(xy(x+y-1),f) $$
を意味している。ここで$x=0,y=0$及び$y=1-x$を代入することで
$$ f(0,y)|y^2-y $$
$$ f(x,0)|x^2-x $$
$$ f(x,1-x)|x^2-x $$
が従う。これによってある$a\in\mathbb{C}$を用いて$f=x+y-1+axy$と取れる。
このときある多項式$g,h\in\mathbb{C}[x,y]$を用いて$1=(x+y-1)g+xyh$と表せるが、これは$y=0$を代入することで$1=(x-1)g$となり起こり得ないことがわかる。よって矛盾が従うから、$N$は$B$上自由ではない。次に
$$ \begin{split} N/xN&\to B/xB\simeq \mathbb{C}[y]\\ f&\mapsto f(0,y) \end{split} $$
とおいたとき、これは単射でありその像は$y(y-1)\mathbb{C}[y]$であるから、$B/xB\simeq\mathbb{C}[y]$上自由であり、そのランクは$1$である。$N/yN$及び$N/(x+y-1)N$が$B/yB$及び$B/(x+y-1)B$上ランク$1$の自由加群であることも同様に確かめられる。以上から$N$は所望の条件を満たしている。