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大学数学基礎解説
東大数理院試過去問解答例(2023B02)
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ここでは東大数理の修士課程の院試の2023B02の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
東大数理2023B02
- 環$A=\mathbb{C}[x,y]/(xy)$及び有限生成$A$加群$M$を考える。$A/(x)$加群$M/xM$および$A/(y)$加群$M/yM$が自由であれば、$M$は自由$A$加群であることを示せ。
- 環$B=\mathbb{C}[x,y]/(xy(x+y-1))$を考える。以下を満たす有限生成$B$-加群$N$の例を構成しなさい。
(2-1) $N/xN$,$N/yN$及び$N/(x+y-1)N$はそれぞれ$B/(x)$,$B/(y)$及び$B/(x+y-1)$加群として自由であり、そのランクは$1$である。
(2-2) $N$は自由$B$加群ではない。
- 初めに写像$x^n:M\to M$を考えたとき、$M/yM$が自由$\mathbb{C}[x]$加群であることから、任意の$n$に対して$\mathrm{Ker}(x^n)=yM$である。同様に$\mathrm{Ker}(y^n)=xM$である。$xm=yn$なる$m,n\in M$が存在したとすると、$x^2m=0$であるから、前の議論から$m\in yM$が従う。よって$xM\cap yM=0$が分かる。ここで$xM+yM$の$M$に於ける$\mathbb{C}$線型空間としての補空間を$N$とし、その基底を$\{a_i\}_{i\in I}$とする。ここで$\mathbb{C}[y]$加群としての同型
$$ i_y:N+yM\simeq \mathbb{C}[y]^n $$
を取ることができる。$N$が$\mathbb{C}[y]^n$に於ける$y\mathbb{C}[y]^n$の$\mathbb{C}$線型空間としての補空間であることを考慮すると、$|I|=n$が従う。以下$I=\{1,\cdots,n\}$とする。上と同様に$\mathbb{C}[x]$加群の同型
$$ i_x:N+xM\simeq \mathbb{C}[x]^n $$
を取ることができる。各$i=1,\cdots,n$に対して$s_i\in xM$及び$t_i\in yM$を
$$ b_i:=a_i-s_i-t_i $$
が$i_x(a_i-s_i)\in\mathbb{C}^n$かつ$i_y(a_i-t_i)\in\mathbb{C}^n$を満たすようにとる。$b_i$によって生成される$\mathbb{C}$線型空間を$N'$とおくと、
$$ N'=\bigoplus_{i=1}^nb_i\mathbb{C} $$
$$ xM=\bigoplus_{(i,m)\in I\times\mathbb{N}}b_ix^m\mathbb{C} $$
$$ yM=\bigoplus_{(i,m)\in I\times\mathbb{N}}b_iy^m\mathbb{C} $$
であり、このとき
$$ M=N'\oplus xM\oplus yM\simeq \left(\frac{\mathbb{C}[x,y]}{(xy)}\right)^n $$
が従う。 - まず初めに
$$ N=x(x+y-1)B+ y(x+y-1)B+ xy B=(xy,x^2-x,y^2-y)B $$
とおく。初めにこれが自由でないことを背理法で示す。自由であるとすると、$N$は環のイデアルでもあるから、単項生成される。そこでその生成元を$f$とする。これを代表する$\mathbb{C}[x,y]$の元をひとつ固定し、これも$f$とする。これは$\mathbb {C}[x,y]$に於いて
$$ x^2-x,y^2-y,xy\in I:=(xy(x+y-1),f) $$
を意味している。ここで$x=0,y=0$及び$y=1-x$を代入することで
$$ f(0,y)|y^2-y $$
$$ f(x,0)|x^2-x $$
$$ f(x,1-x)|x^2-x $$
が従う。これによってある$a\in\mathbb{C}$を用いて$f=x+y-1+axy$と取れる。
このときある多項式$g,h\in\mathbb{C}[x,y]$を用いて$1=(x+y-1)g+xyh$と表せるが、これは$y=0$を代入することで$1=(x-1)g$となり起こり得ないことがわかる。よって矛盾が従うから、$N$は$B$上自由ではない。次に
$$ \begin{split} N/xN&\to B/xB\simeq \mathbb{C}[y]\\ f&\mapsto f(0,y) \end{split} $$
とおいたとき、これは単射でありその像は$y(y-1)\mathbb{C}[y]$であるから、$B/xB\simeq\mathbb{C}[y]$上自由であり、そのランクは$1$である。$N/yN$及び$N/(x+y-1)N$が$B/yB$及び$B/(x+y-1)B$上ランク$1$の自由加群であることも同様に確かめられる。以上から$N$は所望の条件を満たしている。
投稿日：2023年10月10日
更新日：7月15日
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