ここでは東大数理の修士課程の院試の2023B02の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
東大数理2023B02
- 環及び有限生成加群を考える。加群および加群が自由であれば、は自由加群であることを示せ。
- 環を考える。以下を満たす有限生成-加群の例を構成しなさい。
(2-1) ,及びはそれぞれ,及び加群として自由であり、そのランクはである。
(2-2) は自由加群ではない。
- 初めに写像を考えたとき、が自由加群であることから、任意のに対してである。同様にである。なるが存在したとすると、であるから、前の議論からが従う。よってが分かる。ここでのに於ける線型空間としての補空間をとし、その基底をとする。ここで加群としての同型
を取ることができる。がに於けるの線型空間としての補空間であることを考慮すると、が従う。以下とする。上と同様に加群の同型
を取ることができる。各に対して及びを
がかつを満たすようにとる。によって生成される線型空間をとおくと、
であり、このとき
が従う。 - まず初めに
とおく。初めにこれが自由でないことを背理法で示す。自由であるとすると、は環のイデアルでもあるから、単項生成される。そこでその生成元をとする。これを代表するの元をひとつ固定し、これもとする。これはに於いて
を意味している。ここで及びを代入することで
が従う。これによってあるを用いてと取れる。
このときある多項式を用いてと表せるが、これはを代入することでとなり起こり得ないことがわかる。よって矛盾が従うから、は上自由ではない。次に
とおいたとき、これは単射でありその像はであるから、上自由であり、そのランクはである。及びが及び上ランクの自由加群であることも同様に確かめられる。以上からは所望の条件を満たしている。