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大学数学基礎解説
東大数理院試過去問解答例(2023B02)
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ここでは東大数理の修士課程の院試の2023B02の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
東大数理2023B02
- 環$A=\mathbb{C}[x,y]/(xy)$及び有限生成$A$加群$M$を考える。$A/(x)$加群$M/xM$および$A/(y)$加群$M/yM$が自由であれば、$M$は自由$A$加群であることを示せ。
- 環$B=\mathbb{C}[x,y]/(xy(x+y-1))$を考える。以下を満たす有限生成$B$加群$N$の例を構成しなさい。
- $N/xN$,$N/yN$及び$N/(x+y-1)N$はそれぞれ$B/(x)$,$B/(y)$及び$B/(x+y-1)$加群として自由であり、そのランクは$1$である。
- $N$は自由$B$加群ではない。
- 初めに写像$x^n:M\to M$を考えたとき、$M/yM$が自由$\mathbb{C}[x]$加群であることから、任意の$n$に対して$\mathrm{Ker}(x^n)=yM$である。同様に$\mathrm{Ker}(y^n)=xM$である。$xm=yn$なる$m,n\in M$が存在したとすると、$x^2m=0$であるから、前の議論から$m\in yM$が従う。よって$xM\cap yM=0$が分かる。ここで$xM+yM$の$M$に於ける$\mathbb{C}$線型空間としての補空間を$N$とし、その基底を$\{a_i\}_{i\in I}$とする。ここで$\mathbb{C}[y]$加群としての同型
$$ i_y:N+yM\simeq \mathbb{C}[y]^n $$
を取ることができる。$N$が$\mathbb{C}[y]^n$に於ける$y\mathbb{C}[y]^n$の$\mathbb{C}$線型空間としての補空間であることを考慮すると、$|I|=n$が従う。以下$I=\{1,\cdots,n\}$とする。上と同様に$\mathbb{C}[x]$加群の同型
$$ i_x:N+xM\simeq \mathbb{C}[x]^n $$
を取ることができる。各$i=1,\cdots,n$に対して$s_i\in xM$及び$t_i\in yM$を
$$ b_i:=a_i-s_i-t_i $$
が$i_x(a_i-s_i)\in\mathbb{C}^n$かつ$i_y(a_i-t_i)\in\mathbb{C}^n$を満たすようにとる。$b_i$によって生成される$\mathbb{C}$線型空間を$N'$とおくと、
$$ N'=\bigoplus_{i=1}^nb_i\mathbb{C} $$
$$ xM=\bigoplus_{(i,m)\in I\times\mathbb{N}}b_ix^m\mathbb{C} $$
$$ yM=\bigoplus_{(i,m)\in I\times\mathbb{N}}b_iy^m\mathbb{C} $$
であり、このとき
$$ M=N'\oplus xM\oplus yM\simeq \left(\frac{\mathbb{C}[x,y]}{(xy)}\right)^n $$
が従う。 - まず$B$の積閉集合$S$を$x-\frac{1}{2}$及び$y-\frac{1}{2}$で生成される積閉集合とする。これらは零因子ではないから、包含$B\subseteq S^{-1}B=:C$が得られる。ここで$C$の部分$B$加群$N$を$\frac{1}{x-\frac{1}{2}}$及び$\frac{1}{y-\frac{1}{2}}$で生成される$B$加群とする。このとき$N/xN$(resp. $N/yN$)(resp. $N/(x+y-1)N$)はそれぞれ$B/xB$加群(resp. $B/yB$加群)(resp. $B/(x+y-1)B$加群)として$\frac{1}{y-\frac{1}{2}}$(resp. $ \frac{1}{x-\frac{1}{2}}$)(resp. $\frac{1}{x-\frac{1}{2}}$ )で生成され、各生成元は捩れ元ではないから各加群はランク$1$の自由加群である。よって$N$は(i)を満たしている。
次に$N$が自由$B$加群でないことを背理法で示す。自由とすると、上の議論からランク$1$である。$N$の生成元がある$s\in B$を用いて
$$ \frac{s}{(x-\frac{1}{2})(y-\frac{1}{2})} $$
と表されるとする。このとき$N$は$\frac{1}{x-\frac{1}{2}}$を含んでいることから$s(x,0)$は定数になることがわかる。同様に$s(0,y)$も定数になることもわかる。これによりある$a\in B$が存在して
$$ s(x,y)=s(0,0)+xya(x,y) $$
と表される。一方$s(x,1-x)$は$x-\frac{1}{2}$を割り切ることを考慮すると、次数を考えることで$a=0$であることがわかる。よって$N$は
$$ \frac{1}{(x-\frac{1}{2})(y-\frac{1}{2})} $$
で生成されることが従うが、これは$N$の元ではないから矛盾が従う。以上から$N$は自由$B$加群出ないことがわかり、$N$は(ii)を満たしている。
以上から
$$ {\color{red}N=\left\langle\frac{1}{x-\frac{1}{2}},\frac{1}{y-\frac{1}{2}}\right\rangle_B} $$
が所望の$B$加群である。
投稿日：2023年10月10日
更新日：11日前
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