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半順序集合の完備性について
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$$\newcommand{dotge}[0]{\dot\ge}
\newcommand{F}[0]{\mathbb{F}}
\newcommand{id}[0]{\mathrm{id}}
\newcommand{im}[0]{\mathrm{Im}}
\newcommand{ker}[0]{\mathrm{Ker}}
\newcommand{mapsdown}[0]{\overline{\downarrow}}
\newcommand{mapsup}[0]{\underline{\uparrow}}
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{subsettotal}[0]{\underset{total}{\subset}}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
自分用のノート
ACCについて： https://mathlog.info/articles/PeSr2Lte3hK3nF9hVlgF
定義
有向集合とは、前順序集合であって、任意の二元の上界が存在するもののことを言う。
半順序集合が有向完備であるとは、任意の空でない有向部分集合が上限を持つことを言う。
半順序集合が鎖完備であるとは、任意の空でない鎖が上限を持つことを言う。
濃度$γ$に対し、
半順序集合が$γ$-鎖完備とは、任意の濃度$γ$の鎖が上限を持つことを言う。
半順序集合が条件付き完備であるとは、任意の上界を持つ空でない部分集合が上限を持つことを言う。
半順序集合が完備束であるとは、任意の部分集合が上限を持つことを言う。
お気持ち
空間に隙間がないことを完備と言うが、これはどこかに近づいて行ったときにその極限が中に入っていることを言う。
大きくなっていった先が存在する的なことだから、任意の有向集合に上限があることを完備と言うのだと思う。。。多分。
命題
任意の部分集合が上限を持つ ⇔ 任意の部分集合が下限を持つ
概略
任意の部分集合が下限を持つとき、$\bigwedge↑^PA$が$A$の上限になる。
($P$は半順序集合、$A \subset P$、$↑^PA$は$A$の上界全体)
よって、上半完備束 ⇔ 下半完備束 ⇔ 完備束
Markowskyの定理
有向完備 ⇔ 鎖完備
[⇒]
任意の鎖は有向集合であるから、有向完備ならば鎖完備である。
[⇐]
参考文献[1]
$P$がACCを満たす ⇒ $P$は鎖完備
$P$はACCを満たすから、任意の鎖が最大元を持ち、それは上限でもある。
参考文献
[1]
George Markowsky, Chain-complete posets and directed sets with applications, Birkhäuser Verlag
投稿日：1日前
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