以下の部分(伊藤確率論 定理3.16の証明 p.145)が個人的に自明でなかったので示しました.
$\dots$任意の開集合$G$の指示関数$1_G$は$0$と$1$との間の値をとる連続関数の列の極限としてあらわされるから,$\dots$
有界収束定理をいうための命題であることから,関数列の極限とは各点収束のことだと分かります.よって,以下のように命題を定めます.
距離空間$S$における任意の開集合$G\subset S$について,ある関数列$\{f_n\}$
$$
f_n:S\to[0,1] \ (f_n\text{は連続} \ , \ n=1,2,\dots)
$$
が存在して,各点$x$で
$$
1_G(x)=\lim_{n \to \infty}f_n(x)
$$
$$
f_n(x) = \min\{1, n\cdot d(x, S\backslash G)\}
$$
$$
d(x, S\backslash G) = \inf\{d(x,y) \ | \ y\in S\backslash G\}
$$
によって$f_n$を定める.
任意の$x, \ \varepsilon >0$に対して,