伊藤確率論　定理3.16の証明　p.145で出てきた開集合の指示関数に収束する関数列について

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以下の部分（伊藤確率論　定理3.16の証明　p.145）が個人的に自明でなかったので示しました．

　 $\dots$ 任意の開集合 $G$ の指示関数 $1_{G}$ は $0$ と $1$ との間の値をとる連続関数の列の極限としてあらわされるから， $\dots$

有界収束定理をいうための命題であることから，関数列の極限とは各点収束のことだと分かります．よって，以下のように命題を定めます．

距離空間 $S$ における任意の開集合 $G \subset S$ について，ある関数列 ${f_{n}}$
$f_{n} : S \to [0, 1] (f_{n} は連続, n = 1, 2, \dots)$
が存在して，各点 $x$ で
$1_{G} (x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (x)$

$f_{n} (x) = min {1, n \cdot d (x, S ∖ G)}$
$d (x, S ∖ G) = inf {d (x, y) | y \in S ∖ G}$
によって $f_{n}$ を定める．
任意の $x, ε > 0$ に対して，

$x \in G$ のとき
$G$ が開であることからある $x$ の近傍 $U (x, δ)$ が存在して， $U (x, δ) \subset G$ ．従って，
$N = ⌈ \frac{1}{d (x, S ∖ G)} ⌉$
によって $N$ を定めれば，任意の $n \geq N$ について $n \cdot d (x, S ∖ G) \geq 1$ より，
$| f_{n} (x) - 1_{G} (x) | = 1 - 1 = 0 < ε$
$x \notin G$ のとき
$d (x, S ∖ G) = 0$ より，任意の $n$ について
$| f_{n} (x) - 1_{G} (x) | = 0 - 0 = 0 < ε$