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直交多項式のChristoffel変換

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$$\newcommand{BA}[0]{\begin{align*}} \newcommand{BE}[0]{\begin{equation}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol} \newcommand{BM}[0]{\begin{matrix}} \newcommand{D}[0]{\displaystyle} \newcommand{EA}[0]{\end{align*}} \newcommand{EE}[0]{\end{equation}} \newcommand{EM}[0]{\end{matrix}} \newcommand{h}[0]{\boldsymbol{h}} \newcommand{k}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{L}[0]{\left} \newcommand{l}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{m}[0]{\boldsymbol{m}} \newcommand{n}[0]{\boldsymbol{n}} \newcommand{R}[0]{\right} \newcommand{vep}[0]{\varepsilon} $$

参考文献:『 直交多項式理論からみえてくる可積分系/前田 一貴, 三木 啓司, 辻本 諭, 京都大学大学院情報学研究科

直交多項式の定義

$\hspace{5pt}$最高次の係数が$1$の直交多項式(モニック直交多項式)は以下の何れかによって与えられるらしいです.

定義$\hspace{5pt}$$\deg p_n^{}(x)=n$とする多項式列$\{p_n^{}(x)\}_{n=0}^\infty$が,任意の$m,n\in{\mathbb N_0^{}}=\{0,1,2,\cdots\}$に対して直交関係式

$\BA\D {\cal L}[p_m^{}(x)p_n^{}(x)]=h_n^{}\delta_{m,n}^{} \EA$

$\hspace{5pt}$を満たす.$\cal L$${\mathbb C}[x]$から$\mathbb C$への線型汎関数とし,$h_n^{}\in{\mathbb C}^{\times}={\mathbb C}-\{0\}$を直交定数とよぶ.
定義$\hspace{5pt}$$0\le k< n$に対して${\cal L}[x^kp_n^{}(x)]=0$かつ${\cal L}[x^np_n^{}(x)]\neq0$
定義$\hspace{5pt}$任意の${\mathbb N_0^{}}$に対して次の三項間漸化式が成り立つ:$xp_n^{}(x)=p_{n+1}^{}(x)+b_n^{}p_n^{}(x)+u_n^{}p_{n-1}^{}(x)$
$\hspace{5pt}$$b_n^{},u_n^{}\in{\mathbb C}$であり,$u_0^{}=0$かつ$u_k^{}\neq0,~k\in{\mathbb N}=\{1,2,3,\cdots\}.$
定義$\hspace{5pt}$任意の${\mathbb N}$に対して定数列$\{c_k^{}\}_{k=0}^\infty$を用いた行列式表示を持つ:

$\BA\D p_n^{}(x)=\frac{1}{\Delta_n^{}}\L|\begin{matrix}c_0^{} & c_1^{} & \cdots & c_n^{} \\ c_1^{} & c_2^{} & \cdots & c_{n+1}^{} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n-1}^{} & c_n^{} & \cdots & c_{2n-1}^{} \\ 1 & x & \cdots & x^n \end{matrix}\R| \EA$

$\hspace{5pt}$$\Delta_n^{}$$\Delta_0^{}=1,~\Delta_n^{}=\L|c_{i+j}^{}\R|_{0\le i,j< n}\neq0$で定義される$n$$\rm Hankel$行列式である.

$\checkmark$$b_n^{},u_n^{}$の表示

$\BA\D {\cal L}[xp_n^{}(x)\cdot p_n^{}(x)]&={\cal L}[\L(p_{n+1}^{}(x)+b_n^{}p_n^{}(x)+u_n^{}p_{n-1}^{}(x)\R)p_n^{}(x)]\\ &=b_n^{}h_n^{}\\ {\cal L}[xp_{n-1}^{}(x)\cdot p_n^{}(x)]&={\cal L}[\L(p_{n}^{}(x)+b_{n-1}^{}p_{n-1}^{}(x)+u_{n-1}^{}p_{n-2}^{}(x)\R)p_n^{}(x)]\\ &=h_n^{}\\ {\cal L}[xp_n^{}(x)\cdot p_{n-1}^{}(x)]&={\cal L}[\L(p_{n+1}^{}(x)+b_n^{}p_n^{}(x)+u_n^{}p_{n-1}^{}(x)\R)p_{n-1}^{}(x)]\\ &=u_n^{}h_{n-1}^{}\\ \EA$

などから$\D b_n^{}=\frac{{\cal L}[xp_n^{}(x)^2]}{h_n^{}}, ~ u_n^{}=\frac{h_n^{}}{h_{n-1}^{}}$と書けます.

$\rm Christoffel$変換

$\hspace{5pt}$$\textrm{Christoffel-Darboux}$恒等式

$\BA\D \sum_{k=0}^n u_{k+1}^{}u_{k+2}^{}\cdots u_n^{}p_k^{}(x)p_k^{}(\lambda)=\frac{p_{n+1}^{}(x)p_{n}^{}(\lambda)-p_{n}^{}(x)p_{n+1}^{}(\lambda)}{x-\lambda} \EA$

は三項間漸化式から導かれます.(変数が$x$の場合と$\lambda$の場合の二式から$b_n^{}$を消去する)
ここで$p_n^{}(\lambda)\neq0$としてモニックな多項式列$\{p_n^*(x)\}_{n=0}^\infty$

$\BA\D p_n^*(x)=\frac{p_{n+1}^{}(x)+A_n^{}p_n^{}(x)}{x-\lambda}, \quad A_n^{}=-\frac{p_{n+1}^{}(\lambda)}{p_n^{}(\lambda)} \EA$

とし,線型汎関数${\cal L}^*:{\mathbb C}[x]\to{\mathbb C}$

$\BA\D {\cal L}^*[f(x)]={\cal L}[(x-\lambda)f(x)] \EA$

と定義すれば,多項式列$\{p_n^*(x)\}_{n=0}^\infty$${\cal L}^*$に関する直交多項式をなします:

$\BA\D {\cal L}^*[p_m^*(x)p_n^*(x)]=h_n^*\delta_{m,n}^{},\quad h_n^*=A_n^{}h_n^{}\neq0 \EA$

この変換$\{p_n^{}(x)\}\mapsto\{p_n^*(x)\}$$\rm Christoffel$変換とよびます.また,逆変換$\{p_n^*(x)\}\mapsto\{p_n^{}(x)\}$

$\BA\D p_n^{}(x)=p_n^*(x)+B_n^{}p_{n-1}^*(x), \quad B_n^{}=\frac{h_n^{}}{h_{n-1}^*} \EA$

で与えられ,$\rm Geronimus$変換とよびます.
$\hspace{5pt}$$\rm Christoffel$変換を繰り返し施すことで離散的に変化します.文献では,その離散的なパラメータを連続的なものとして導入し,難しそうな話が続きますが,さっぱりわかりません.

$\rm Legendre$多項式

$\hspace{5pt}\rm Legendre$多項式$P_n^{}(x)$の場合は,モニックとなるように$\D p_n^{}(x)=\frac{2^n}{\binom{2n}{n}}P_n^{}(x)$とし,簡単の為$\lambda=1$とすれば,

$\BA\D & \checkmark\quad {\cal L}[f(x)]=\int_{-1}^1 f(x)\,dx\\ & \checkmark\quad {\cal L}[p_m^{}(x)p_n^{}(x)]=\frac{2^{2n+1}}{(2n+1)\binom{2n}{n}^2}\,\delta_{m,n}^{}\\ & \checkmark\quad p_n^*(x)=\frac{1}{x-1}\L(p_{n+1}^{}(x)-\frac{n+1}{2n+1}p_{n}^{}(x)\R)\\ & \checkmark\quad {\cal L}^*[f(x)]={\cal L}[(x-1)f(x)]\\ & \checkmark\quad {\cal L}^*[p_m^*(x)p_n^*(x)]=-\frac{2^{2n+1}}{(2n+1)\binom{2n}{n}^2}\,\delta_{m,n}^{} \EA$

となります.つまり

$\BA\D P_n^*(x)=\frac{P_{n+1}^{}(x)-P_{n}^{}(x)}{x-1} \EA$

とするとき

$\BA\D \int_{-1}^1 (x-1)P_m^*(x)P_n^*(x)\,dx=-\frac{2}{n+1}\,\delta_{m,n}^{} \EA$

となります.これをみると,$P_n^*(x)$は重み$1-x$の直交多項式ですが,「$P_{n+1}^{}(x)-P_n^{}(x)$は重み$\D\frac{1}{1-x}$の直交多項式」とも言えるのではないでしょうか.
また,$P_n^*(x)$

$\BA\D P_{2n}^*(x)&=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k}\binom{k+n}{k}\frac{\beta_{k+n}^{}}{\beta_k^{}}\frac{2k+2n+1}{2n+1}x^{2k} +\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{n-1-k}\binom{n-1}{k}\binom{k+n-1}{k}\frac{\beta_{k+n-1}^{}}{\beta_k^{}}\frac{(2k+2n-1)(2k+2n+1)}{(2k+1)(2n+1)}x^{2k+1}\\ P_{2n+1}^*(x)&=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k}\binom{k+n}{k}\frac{\beta_{k+n}^{}}{\beta_k^{}}\frac{2k+2n+1}{2n+2}x^{2k} +\sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\binom{n}{k}\binom{k+n}{k}\frac{\beta_{k+n}^{}}{\beta_k^{}}\frac{(2k+2n+1)(2k+2n+3)}{(2k+1)(2n+2)}x^{2k+1} \EA$

と書けるようです.$\D\beta_r^{}\equiv2^{-2r}\binom{2r}{r}$です.
$\hspace{5pt}$$P_n^{}(x)$と重み$1-x$は相性があまり良くなさそう(根拠は無い)なので,重みを$1-x^2$にしたいと思いました.となれば,$\lambda=-1$とした$\rm Christoffel$変換をさらに施せばよさそうです.実際に計算してみると,

$\BA\D P_n^{(2)}(x)=\frac{P_n^{}(x)-P_{n+2}^{}(x)}{1-x^2} \EA$

とするとき,

$\BA\D \int_{-1}^1 (1-x^2)P_m^{(2)}(x)P_n^{(2)}(x)\,dx=\frac{2(2n+3)}{(n+1)(n+2)}\,\delta_{m,n}^{} \EA$

となります.これは使いどころがありそうです.たぶん.

投稿日:20231214

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