$$\newcommand{BA}[0]{\begin{align*}}
\newcommand{BE}[0]{\begin{equation}}
\newcommand{bl}[0]{\boldsymbol}
\newcommand{BM}[0]{\begin{matrix}}
\newcommand{D}[0]{\displaystyle}
\newcommand{EA}[0]{\end{align*}}
\newcommand{EE}[0]{\end{equation}}
\newcommand{EM}[0]{\end{matrix}}
\newcommand{h}[0]{\boldsymbol{h}}
\newcommand{k}[0]{\boldsymbol{k}}
\newcommand{L}[0]{\left}
\newcommand{l}[0]{\boldsymbol{l}}
\newcommand{m}[0]{\boldsymbol{m}}
\newcommand{n}[0]{\boldsymbol{n}}
\newcommand{R}[0]{\right}
\newcommand{vep}[0]{\varepsilon}
$$
参考文献：『
直交多項式理論からみえてくる可積分系／前田 一貴, 三木 啓司, 辻本 諭, 京都大学大学院情報学研究科
』
直交多項式の定義
$\hspace{5pt}$最高次の係数が$1$の直交多項式（モニック直交多項式）は以下の何れかによって与えられるらしいです．
定義$\hspace{5pt}$$\deg p_n^{}(x)=n$とする多項式列$\{p_n^{}(x)\}_{n=0}^\infty$が，任意の$m,n\in{\mathbb N_0^{}}=\{0,1,2,\cdots\}$に対して直交関係式
$\BA\D
{\cal L}[p_m^{}(x)p_n^{}(x)]=h_n^{}\delta_{m,n}^{}
\EA$
$\hspace{5pt}$を満たす．$\cal L$は${\mathbb C}[x]$から$\mathbb C$への線型汎関数とし，$h_n^{}\in{\mathbb C}^{\times}={\mathbb C}-\{0\}$を直交定数とよぶ．
定義$\hspace{5pt}$$0\le k< n$に対して${\cal L}[x^kp_n^{}(x)]=0$かつ${\cal L}[x^np_n^{}(x)]\neq0$
定義$\hspace{5pt}$任意の${\mathbb N_0^{}}$に対して次の三項間漸化式が成り立つ：$xp_n^{}(x)=p_{n+1}^{}(x)+b_n^{}p_n^{}(x)+u_n^{}p_{n-1}^{}(x)$
$\hspace{5pt}$$b_n^{},u_n^{}\in{\mathbb C}$であり，$u_0^{}=0$かつ$u_k^{}\neq0,~k\in{\mathbb N}=\{1,2,3,\cdots\}.$
定義$\hspace{5pt}$任意の${\mathbb N}$に対して定数列$\{c_k^{}\}_{k=0}^\infty$を用いた行列式表示を持つ：
$\BA\D
p_n^{}(x)=\frac{1}{\Delta_n^{}}\L|\begin{matrix}c_0^{} & c_1^{} & \cdots & c_n^{} \\ c_1^{} & c_2^{} & \cdots & c_{n+1}^{} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n-1}^{} & c_n^{} & \cdots & c_{2n-1}^{} \\ 1 & x & \cdots & x^n \end{matrix}\R|
\EA$
$\hspace{5pt}$$\Delta_n^{}$は$\Delta_0^{}=1,~\Delta_n^{}=\L|c_{i+j}^{}\R|_{0\le i,j< n}\neq0$で定義される$n$次$\rm Hankel$行列式である．
$\checkmark$$b_n^{},u_n^{}$の表示
$\BA\D
{\cal L}[xp_n^{}(x)\cdot p_n^{}(x)]&={\cal L}[\L(p_{n+1}^{}(x)+b_n^{}p_n^{}(x)+u_n^{}p_{n-1}^{}(x)\R)p_n^{}(x)]\\
&=b_n^{}h_n^{}\\
{\cal L}[xp_{n-1}^{}(x)\cdot p_n^{}(x)]&={\cal L}[\L(p_{n}^{}(x)+b_{n-1}^{}p_{n-1}^{}(x)+u_{n-1}^{}p_{n-2}^{}(x)\R)p_n^{}(x)]\\
&=h_n^{}\\
{\cal L}[xp_n^{}(x)\cdot p_{n-1}^{}(x)]&={\cal L}[\L(p_{n+1}^{}(x)+b_n^{}p_n^{}(x)+u_n^{}p_{n-1}^{}(x)\R)p_{n-1}^{}(x)]\\
&=u_n^{}h_{n-1}^{}\\
\EA$
などから$\D b_n^{}=\frac{{\cal L}[xp_n^{}(x)^2]}{h_n^{}}, ~ u_n^{}=\frac{h_n^{}}{h_{n-1}^{}}$と書けます．
$\rm Christoffel$変換
$\hspace{5pt}$$\textrm{Christoffel-Darboux}$恒等式
$\BA\D
\sum_{k=0}^n u_{k+1}^{}u_{k+2}^{}\cdots u_n^{}p_k^{}(x)p_k^{}(\lambda)=\frac{p_{n+1}^{}(x)p_{n}^{}(\lambda)-p_{n}^{}(x)p_{n+1}^{}(\lambda)}{x-\lambda}
\EA$
は三項間漸化式から導かれます．（変数が$x$の場合と$\lambda$の場合の二式から$b_n^{}$を消去する）
ここで$p_n^{}(\lambda)\neq0$としてモニックな多項式列$\{p_n^*(x)\}_{n=0}^\infty$を
$\BA\D
p_n^*(x)=\frac{p_{n+1}^{}(x)+A_n^{}p_n^{}(x)}{x-\lambda}, \quad A_n^{}=-\frac{p_{n+1}^{}(\lambda)}{p_n^{}(\lambda)}
\EA$
とし，線型汎関数${\cal L}^*:{\mathbb C}[x]\to{\mathbb C}$を
$\BA\D
{\cal L}^*[f(x)]={\cal L}[(x-\lambda)f(x)]
\EA$
と定義すれば，多項式列$\{p_n^*(x)\}_{n=0}^\infty$は${\cal L}^*$に関する直交多項式をなします：
$\BA\D
{\cal L}^*[p_m^*(x)p_n^*(x)]=h_n^*\delta_{m,n}^{},\quad h_n^*=A_n^{}h_n^{}\neq0
\EA$
この変換$\{p_n^{}(x)\}\mapsto\{p_n^*(x)\}$を$\rm Christoffel$変換とよびます．また，逆変換$\{p_n^*(x)\}\mapsto\{p_n^{}(x)\}$は
$\BA\D
p_n^{}(x)=p_n^*(x)+B_n^{}p_{n-1}^*(x), \quad B_n^{}=\frac{h_n^{}}{h_{n-1}^*}
\EA$
で与えられ，$\rm Geronimus$変換とよびます．
$\hspace{5pt}$$\rm Christoffel$変換を繰り返し施すことで離散的に変化します．文献では，その離散的なパラメータを連続的なものとして導入し，難しそうな話が続きますが，さっぱりわかりません．
$\rm Legendre$多項式
$\hspace{5pt}\rm Legendre$多項式$P_n^{}(x)$の場合は，モニックとなるように$\D p_n^{}(x)=\frac{2^n}{\binom{2n}{n}}P_n^{}(x)$とし，簡単の為$\lambda=1$とすれば，
$\BA\D
& \checkmark\quad {\cal L}[f(x)]=\int_{-1}^1 f(x)\,dx\\
& \checkmark\quad {\cal L}[p_m^{}(x)p_n^{}(x)]=\frac{2^{2n+1}}{(2n+1)\binom{2n}{n}^2}\,\delta_{m,n}^{}\\
& \checkmark\quad p_n^*(x)=\frac{1}{x-1}\L(p_{n+1}^{}(x)-\frac{n+1}{2n+1}p_{n}^{}(x)\R)\\
& \checkmark\quad {\cal L}^*[f(x)]={\cal L}[(x-1)f(x)]\\
& \checkmark\quad {\cal L}^*[p_m^*(x)p_n^*(x)]=-\frac{2^{2n+1}}{(2n+1)\binom{2n}{n}^2}\,\delta_{m,n}^{}
\EA$
となります．つまり
$\BA\D
P_n^*(x)=\frac{P_{n+1}^{}(x)-P_{n}^{}(x)}{x-1}
\EA$
とするとき
$\BA\D
\int_{-1}^1 (x-1)P_m^*(x)P_n^*(x)\,dx=-\frac{2}{n+1}\,\delta_{m,n}^{}
\EA$
となります．これをみると，$P_n^*(x)$は重み$1-x$の直交多項式ですが，「$P_{n+1}^{}(x)-P_n^{}(x)$は重み$\D\frac{1}{1-x}$の直交多項式」とも言えるのではないでしょうか．
また，$P_n^*(x)$は
$\BA\D
P_{2n}^*(x)&=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k}\binom{k+n}{k}\frac{\beta_{k+n}^{}}{\beta_k^{}}\frac{2k+2n+1}{2n+1}x^{2k}
+\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{n-1-k}\binom{n-1}{k}\binom{k+n-1}{k}\frac{\beta_{k+n-1}^{}}{\beta_k^{}}\frac{(2k+2n-1)(2k+2n+1)}{(2k+1)(2n+1)}x^{2k+1}\\
P_{2n+1}^*(x)&=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k}\binom{k+n}{k}\frac{\beta_{k+n}^{}}{\beta_k^{}}\frac{2k+2n+1}{2n+2}x^{2k}
+\sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\binom{n}{k}\binom{k+n}{k}\frac{\beta_{k+n}^{}}{\beta_k^{}}\frac{(2k+2n+1)(2k+2n+3)}{(2k+1)(2n+2)}x^{2k+1}
\EA$
と書けるようです．$\D\beta_r^{}\equiv2^{-2r}\binom{2r}{r}$です．
$\hspace{5pt}$$P_n^{}(x)$と重み$1-x$は相性があまり良くなさそう（根拠は無い）なので，重みを$1-x^2$にしたいと思いました．となれば，$\lambda=-1$とした$\rm Christoffel$変換をさらに施せばよさそうです．実際に計算してみると，
$\BA\D
P_n^{(2)}(x)=\frac{P_n^{}(x)-P_{n+2}^{}(x)}{1-x^2}
\EA$
とするとき，
$\BA\D
\int_{-1}^1 (1-x^2)P_m^{(2)}(x)P_n^{(2)}(x)\,dx=\frac{2(2n+3)}{(n+1)(n+2)}\,\delta_{m,n}^{}
\EA$
となります．これは使いどころがありそうです．たぶん．
