直交多項式のChristoffel変換

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参考文献：『直交多項式理論からみえてくる可積分系／前田一貴, 三木啓司, 辻本諭, 京都大学大学院情報学研究科』

直交多項式の定義

最高次の係数が $1$ の直交多項式（モニック直交多項式）は以下の何れかによって与えられるらしいです．

定義 $\deg p_{n}^{} (x) = n$ とする多項式列 ${p_{n}^{} (x)}_{n = 0}^{\infty}$ が，任意の $m, n \in N_{0}^{} = {0, 1, 2, \dots}$ に対して直交関係式

\begin{array}{r} L [p_{m}^{} (x) p_{n}^{} (x)] = h_{n}^{} δ_{m, n}^{} \end{array}

を満たす． $L$ は $C [x]$ から $C$ への線型汎関数とし， $h_{n}^{} \in C^{\times} = C - {0}$ を直交定数とよぶ．
定義 $0 \leq k < n$ に対して $L [x^{k} p_{n}^{} (x)] = 0$ かつ $L [x^{n} p_{n}^{} (x)] \neq 0$
定義任意の $N_{0}^{}$ に対して次の三項間漸化式が成り立つ： $x p_{n}^{} (x) = p_{n + 1}^{} (x) + b_{n}^{} p_{n}^{} (x) + u_{n}^{} p_{n - 1}^{} (x)$
$b_{n}^{}, u_{n}^{} \in C$ であり， $u_{0}^{} = 0$ かつ $u_{k}^{} \neq 0, k \in N = {1, 2, 3, \dots} .$
定義任意の $N$ に対して定数列 ${c_{k}^{}}_{k = 0}^{\infty}$ を用いた行列式表示を持つ：

\begin{array}{r} p_{n}^{} (x) = \frac{1}{Δ_{n}^{}} | \begin{array}{c} c_{0}^{} & c_{1}^{} & \dots & c_{n}^{} \\ c_{1}^{} & c_{2}^{} & \dots & c_{n + 1}^{} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{n - 1}^{} & c_{n}^{} & \dots & c_{2 n - 1}^{} \\ 1 & x & \dots & x^{n} \end{array} | \end{array}

$Δ_{n}^{}$ は $Δ_{0}^{} = 1, Δ_{n}^{} = {| c_{i + j}^{} |}_{0 \leq i, j < n} \neq 0$ で定義される $n$ 次 $H a n k e l$ 行列式である．

$✓$ $b_{n}^{}, u_{n}^{}$ の表示

\begin{aligned} L [x p_{n}^{} (x) \cdot p_{n}^{} (x)] & = L [(p_{n + 1}^{} (x) + b_{n}^{} p_{n}^{} (x) + u_{n}^{} p_{n - 1}^{} (x)) p_{n}^{} (x)] \\ = b_{n}^{} h_{n}^{} \\ L [x p_{n - 1}^{} (x) \cdot p_{n}^{} (x)] & = L [(p_{n}^{} (x) + b_{n - 1}^{} p_{n - 1}^{} (x) + u_{n - 1}^{} p_{n - 2}^{} (x)) p_{n}^{} (x)] \\ = h_{n}^{} \\ L [x p_{n}^{} (x) \cdot p_{n - 1}^{} (x)] & = L [(p_{n + 1}^{} (x) + b_{n}^{} p_{n}^{} (x) + u_{n}^{} p_{n - 1}^{} (x)) p_{n - 1}^{} (x)] \\ = u_{n}^{} h_{n - 1}^{} \end{aligned}

などから $b_{n}^{} = \frac{L [x p_{n}^{} (x)^{2}]}{h_{n}^{}}, u_{n}^{} = \frac{h_{n}^{}}{h_{n - 1}^{}}$ と書けます．

$C h r i s t o f f e l$ 変換

$Christoffel-Darboux$ 恒等式

\begin{array}{r} \sum_{k = 0}^{n} u_{k + 1}^{} u_{k + 2}^{} \dots u_{n}^{} p_{k}^{} (x) p_{k}^{} (λ) = \frac{p_{n + 1}^{} (x) p_{n}^{} (λ) - p_{n}^{} (x) p_{n + 1}^{} (λ)}{x - λ} \end{array}

は三項間漸化式から導かれます．（変数が $x$ の場合と $λ$ の場合の二式から $b_{n}^{}$ を消去する）
ここで $p_{n}^{} (λ) \neq 0$ としてモニックな多項式列 ${p_{n}^{*} (x)}_{n = 0}^{\infty}$ を

\begin{array}{r} p_{n}^{*} (x) = \frac{p_{n + 1}^{} (x) + A_{n}^{} p_{n}^{} (x)}{x - λ}, A_{n}^{} = - \frac{p_{n + 1}^{} (λ)}{p_{n}^{} (λ)} \end{array}

とし，線型汎関数 $L^{*} : C [x] \to C$ を

\begin{array}{r} L^{*} [f (x)] = L [(x - λ) f (x)] \end{array}

と定義すれば，多項式列 ${p_{n}^{*} (x)}_{n = 0}^{\infty}$ は $L^{*}$ に関する直交多項式をなします：

\begin{array}{r} L^{*} [p_{m}^{*} (x) p_{n}^{*} (x)] = h_{n}^{*} δ_{m, n}^{}, h_{n}^{*} = A_{n}^{} h_{n}^{} \neq 0 \end{array}

この変換 ${p_{n}^{} (x)} \mapsto {p_{n}^{*} (x)}$ を $C h r i s t o f f e l$ 変換とよびます．また，逆変換 ${p_{n}^{*} (x)} \mapsto {p_{n}^{} (x)}$ は

\begin{array}{r} p_{n}^{} (x) = p_{n}^{*} (x) + B_{n}^{} p_{n - 1}^{*} (x), B_{n}^{} = \frac{h_{n}^{}}{h_{n - 1}^{*}} \end{array}

で与えられ， $G e r o n i m u s$ 変換とよびます．
$C h r i s t o f f e l$ 変換を繰り返し施すことで離散的に変化します．文献では，その離散的なパラメータを連続的なものとして導入し，難しそうな話が続きますが，さっぱりわかりません．

$L e g e n d r e$ 多項式

$L e g e n d r e$ 多項式 $P_{n}^{} (x)$ の場合は，モニックとなるように $p_{n}^{} (x) = \frac{2^{n}}{(\binom{2 n}{n})} P_{n}^{} (x)$ とし，簡単の為 $λ = 1$ とすれば，

\begin{aligned} ✓ L [f (x)] = \int_{- 1}^{1} f (x) d x \\ ✓ L [p_{m}^{} (x) p_{n}^{} (x)] = \frac{2^{2 n + 1}}{(2 n + 1) {(\binom{2 n}{n})}^{2}} δ_{m, n}^{} \\ ✓ p_{n}^{*} (x) = \frac{1}{x - 1} (p_{n + 1}^{} (x) - \frac{n + 1}{2 n + 1} p_{n}^{} (x)) \\ ✓ L^{*} [f (x)] = L [(x - 1) f (x)] \\ ✓ L^{*} [p_{m}^{*} (x) p_{n}^{*} (x)] = - \frac{2^{2 n + 1}}{(2 n + 1) {(\binom{2 n}{n})}^{2}} δ_{m, n}^{} \end{aligned}

となります．つまり

\begin{array}{r} P_{n}^{*} (x) = \frac{P_{n + 1}^{} (x) - P_{n}^{} (x)}{x - 1} \end{array}

とするとき

\begin{array}{r} \int_{- 1}^{1} (x - 1) P_{m}^{*} (x) P_{n}^{*} (x) d x = - \frac{2}{n + 1} δ_{m, n}^{} \end{array}

となります．これをみると， $P_{n}^{*} (x)$ は重み $1 - x$ の直交多項式ですが，「 $P_{n + 1}^{} (x) - P_{n}^{} (x)$ は重み $\frac{1}{1 - x}$ の直交多項式」とも言えるのではないでしょうか．
また， $P_{n}^{*} (x)$ は

\begin{aligned} P_{2 n}^{*} (x) & = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} (\binom{n}{k}) (\binom{k + n}{k}) \frac{β_{k + n}^{}}{β_{k}^{}} \frac{2 k + 2 n + 1}{2 n + 1} x^{2 k} + \sum_{k = 0}^{n - 1} (- 1)^{n - 1 - k} (\binom{n - 1}{k}) (\binom{k + n - 1}{k}) \frac{β_{k + n - 1}^{}}{β_{k}^{}} \frac{(2 k + 2 n - 1) (2 k + 2 n + 1)}{(2 k + 1) (2 n + 1)} x^{2 k + 1} \\ P_{2 n + 1}^{*} (x) & = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} (\binom{n}{k}) (\binom{k + n}{k}) \frac{β_{k + n}^{}}{β_{k}^{}} \frac{2 k + 2 n + 1}{2 n + 2} x^{2 k} + \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} (\binom{n}{k}) (\binom{k + n}{k}) \frac{β_{k + n}^{}}{β_{k}^{}} \frac{(2 k + 2 n + 1) (2 k + 2 n + 3)}{(2 k + 1) (2 n + 2)} x^{2 k + 1} \end{aligned}

と書けるようです． $β_{r}^{} \equiv 2^{- 2 r} (\binom{2 r}{r})$ です．
$P_{n}^{} (x)$ と重み $1 - x$ は相性があまり良くなさそう（根拠は無い）なので，重みを $1 - x^{2}$ にしたいと思いました．となれば， $λ = - 1$ とした $C h r i s t o f f e l$ 変換をさらに施せばよさそうです．実際に計算してみると，

\begin{array}{r} P_{n}^{(2)} (x) = \frac{P_{n}^{} (x) - P_{n + 2}^{} (x)}{1 - x^{2}} \end{array}

とするとき，

\begin{array}{r} \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) P_{m}^{(2)} (x) P_{n}^{(2)} (x) d x = \frac{2 (2 n + 3)}{(n + 1) (n + 2)} δ_{m, n}^{} \end{array}

となります．これは使いどころがありそうです．たぶん．

投稿日：2023年12月14日

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