東大数理院試過去問解答例(2022B07)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2022B07の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2022B07

境界を持たないコンパクトな $3$ 次元 $C^{\infty}$ 級多様体 $M$ から $R^{4}$ へのはめ込み $f : M \to R^{4}$ を考える。このとき任意の $p \in R^{4}$ いついて
(R1) $| f^{- 1} (p) | \leq 2$
(R2) $| f^{- 1} (p) | = 2$ を満たす任意の $p$ について、相異なる $x, y \in f^{- 1} (p)$ を取ったとき、
$(d f)_{x} (T_{x} M) + (d f)_{y} (T_{y} M) = T_{p} R^{4}$
が成り立つ
を満たすとする。このとき以下の問いに答えなさい。
(1) 集合
$D := {(x, y) \in M \times M | x \neq y f (x) = f (y)}$
は $M \times M$ の $2$ 次元 $C^{\infty}$ 級部分多様体であることを示せ。
(2) 集合
$S := {x \in M | | f^{- 1} (f (x)) | = 2}$
は $M$ の $2$ 次元 $C^{\infty}$ 級部分多様体であることを示せ。

まず $C^{\infty}$ 級写像
$\begin{aligned} Y := {(s, t) \in M \times M | s \neq t} & \to R^{4} \\ (x, y) & \mapsto f (x) - f (y) \end{aligned}$
を考える。このとき条件(ii)から $0 \in R^{4}$ は正則値であるから、正則値定理より $D = f^{- 1} (0)$ は $Y$ の部分多様体である。 $Y$ は $M \times M$ の開部分集合であるから、 $D$ は $M \times M$ の部分多様体である。そしてその次元は $3 + 3 - 4 = 2$ である。
まずはめ込みは局所的に埋め込みであるから、任意の $(p, q) \in D$ 及びそれらの $M$ に於ける近傍 $U_{p}, U_{q}$ を取ったとき、 $f (U_{p})$ 及び $f (U_{q})$ は $R^{4}$ の部分多様体を定めている。ここで陰関数定理から $f (p)$ の $f (U_{q})$ に於ける近傍の局所座標 $(f_{1}, \dots, f_{4})$ を適切にとることで、 $f (U_{p})$ の方程式が局所的に $f_{4} = 0$ で定義されるようにとることができる。ここで $f_{4}$ は $f (U_{p})$ 上 $f (p)$ の近傍で定義された関数である。このとき $f (U_{p})$ と $f (U_{q})$ の共通部分は方程式 $f_{4} |_{f (U_{p})}^{- 1} (0)$ で定義される。ここで関数 $f_{4} : f (U_{p}) \to R$ を考えたとき、条件(ii)から $(d f_{4})_{f (p)} x \neq 0$ なる $x \in T_{f (p)} M$ が存在する。よって正則値定理から
$X = {p \in R^{4} | | f^{- 1} (p) | = 2}$
は $R^{4}$ の $2$ 次元部分多様体である。ここで $S = f^{- 1} (X)$ である。任意の $p \in X$ 及び相異なる $x, y \in f^{- 1} (p)$ について、互いに交わらない $M$ に於ける充分小さい近傍 $U_{x}, U_{y}$ をとり、 $V_{x} = U_{x} \cap S$ 及び $V_{y} = U_{y} \cap S$ とおく。ここで任意の $p$ の $X$ に於ける近傍 $W$ を取ったとき、 $f (U_{x}) \cap X$ 及び $f (U_{y}) \cap X$ が $X$ に於いて開集合であったことを考慮すると、同相
$f : V_{x} \cap f^{- 1} (W) ≃ f (V_{x}) \cap W$
及び
$f : V_{y} \cap f^{- 1} (W) ≃ f (V_{y}) \cap W$
が取れる。よって任意の $x \in S$ に於いて $x$ のある近傍は局所的に $p$ の $X$ に於ける近傍に微分同相である。よって $S$ は $M$ の $2$ 次元 $C^{\infty}$ 級部分多様体である。

投稿日：2023年10月30日

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