東大数理院試過去問解答例(2022B07)

境界を持たないコンパクトな$3$次元$C^\infty$級多様体$M$から$\mathbb{R}^4$へのはめ込み$f:M\to \mathbb{R}^4$を考える。このとき任意の$p\in\mathbb{R}^4$いついて
(R1) $|f^{-1}(p)|\leq2$
(R2) $|f^{-1}(p)|=2$を満たす任意の$p$について、相異なる$x,y\in f^{-1}(p)$を取ったとき、
$$ (df)_x(T_xM)+(df)_y(T_yM)=T_p\mathbb{R}^4 $$
が成り立つ
を満たすとする。このとき以下の問いに答えなさい。
(1) 集合
$$ D:=\left\{(x,y)\in M\times M\middle|x\neq y\quad f(x)=f(y)\right\} $$
は$M\times M$の$2$次元$C^\infty$級部分多様体であることを示せ。
(2) 集合
$$ S:=\left\{x\in M\middle|\left|f^{-1}(f(x))\right|=2\right\} $$
は$M$の$2$次元$C^\infty$級部分多様体であることを示せ。