ここでは東大数理の修士課程の院試の2022B07の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
境界を持たないコンパクトな$3$次元$C^\infty$級多様体$M$から$\mathbb{R}^4$へのはめ込み$f:M\to \mathbb{R}^4$を考える。このとき任意の$p\in\mathbb{R}^4$いついて
(R1) $|f^{-1}(p)|\leq2$
(R2) $|f^{-1}(p)|=2$を満たす任意の$p$について、相異なる$x,y\in f^{-1}(p)$を取ったとき、
$$
(df)_x(T_xM)+(df)_y(T_yM)=T_p\mathbb{R}^4
$$
が成り立つ
を満たすとする。このとき以下の問いに答えなさい。
(1) 集合
$$
D:=\left\{(x,y)\in M\times M\middle|x\neq y\quad f(x)=f(y)\right\}
$$
は$M\times M$の$2$次元$C^\infty$級部分多様体であることを示せ。
(2) 集合
$$
S:=\left\{x\in M\middle|\left|f^{-1}(f(x))\right|=2\right\}
$$
は$M$の$2$次元$C^\infty$級部分多様体であることを示せ。