一般Laguerre多項式の積分
まず, 一般Laguerre多項式は
\begin{align*}
L_n^{(a)}(x)&=\frac{(1+a)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{k!(1+a)_k}x^k
\end{align*}
によって定義される. 今回はその積分に関して成り立つ式を示す.
$-1< c$に対して, 以下の等式が成り立つ.
\begin{align*}
\int_0^{\infty}x^cL_n^{(a)}(x)L_m^{(b)}(x)e^{-x}\,dx&=\sum_{0\leq k}\frac{(a-c)_{n-k}}{(n-k)!}\frac{(b-c)_{m-k}}{(m-k)!}\frac{\Gamma(c+k+1)}{k!}
\end{align*}
母関数を考えると,
\begin{align*}
\sum_{0\leq n,m}s^mt^n\int_0^{\infty}x^cL_n^{(a)}(x)L_m^{(b)}(x)e^{-x}\,dx&=
\frac 1{(1-s)^{a+1}(1-t)^{b+1}}\int_0^{\infty}x^ce^{-x\left(\frac{s}{1-s}+\frac{t}{1-t}+1\right)}\,dx\\
&=\frac 1{(1-s)^{a+1}(1-t)^{b+1}}\frac{\Gamma(c+1)}{\left(\frac{s}{1-s}+\frac{t}{1-t}+1\right)^{c+1}}\\
&=\frac 1{(1-s)^{a-c}(1-t)^{b-c}}\frac{\Gamma(c+1)}{\left(1-st\right)^{c+1}}\\
&=\frac 1{(1-s)^{a-c}(1-t)^{b-c}}\sum_{0\leq k}\frac{\Gamma(c+k+1)}{k!}(st)^k\\
&=\sum_{0\leq n,m}s^nt^m\sum_{0\leq k}\frac{(a-c)_{n-k}}{(n-k)!}\frac{(b-c)_{m-k}}{(m-k)!}\frac{\Gamma(c+k+1)}{k!}
\end{align*}
となって示される.
$-1< a+b$に対して, 以下の等式が成り立つ.
\begin{align*}
\int_0^{\infty}x^{a+b}L_n^{(a)}(x)L_m^{(b)}(x)e^{-x}\,dx&=\Gamma(a+b+1)\frac{(1+a)_n}{n!}\frac{(1+b)_m}{m!}\frac{(-1)^{n+m}}{(1+a)_{n-m}(1+b)_{m-n}}
\end{align*}
前の命題より,
\begin{align*}
\int_0^{\infty}x^{a+b}L_n^{(a)}(x)L_m^{(b)}(x)e^{-x}\,dx&=\sum_{0\leq k}\frac{(-b)_{n-k}}{(n-k)!}\frac{(-a)_{m-k}}{(m-k)!}\frac{\Gamma(a+b+k+1)}{k!}\\
&=\Gamma(a+b+1)\frac{(-b)_n}{n!}\frac{(-a)_m}{m!}\sum_{0\leq k}\frac{(-n,-m,a+b+1)_k}{k!(1-n+b,1-m+a)_k}
\end{align*}
ここで, Saalschützの和公式より,
\begin{align*}
\sum_{0\leq k}\frac{(-n,-m,a+b+1)_k}{k!(1-n+b,1-m+a)_k}&=\frac{(-n-a,1-n+b+m)_n}{(1-n+b,-n-a+m)_n}\\
&=\frac{(1+a,1+b-m)_n}{(-b,1+a-m)_n}\\
&=(-1)^{n+m}\frac{(1+a)_n(1+b)_m}{(-b)_n(-a)_m(1+a)_{n-m}(1+b)_{m-n}}
\end{align*}
であることから示される.
$a$-Hermite多項式
前回の記事(
a-Hermite多項式の次数に関する補間について
)における
\begin{align*}
\ell_n^{(a)}(x)&:=\frac{(a)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{k!(a)_k}x^k\\
\ell_{n+1-a}^{(a)}&:=\frac 1{\Gamma(1-a)}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{k!(1-a)_{k+1}}x^{k+1-a}
\end{align*}
の間の関係を考える. $\ell_n^{(a)}(x)=L_n^{(a-1)}(x), \ell_{n+1-a}^{(a)}(x)=\frac{n!}{\Gamma(2-a+n)}L_n^{(1-a)}(x)$であることから, 前の命題における$a,b$を$a-1,1-a$に置き換えて整理すると, $[a]_n:=\frac{(a)_n}{n!}, \pi_a:=\frac{\pi}{\sin\pi a}$として,
\begin{align*}
\frac 1{\Gamma(a)}\int_0^{\infty}\ell^{(a)}_n(x)\ell^{(a)}_{m+1-a}(x)x^{a-1}e^{-x}\,dx&=\pi_a \frac{[a]_n}{m-n+1-a}
\end{align*}
が得られる. これによって, $\ell_n^{(a)},\ell_{n+1-a}^{(a)}$の間の関係を具体的に書き表すと,
\begin{align*}
\ell_{n+1-a}^{(a)}(x)&=\frac 1{\pi_a}\sum_{0\leq k}\frac 1{n-k+1-a}\ell_k^{(a)}(x)\\
\ell_n^{(a)}(x)&=\frac{[a]_n}{\pi_a}\sum_{0\leq k}\frac{[a]_{k+1-a}^{-1}}{k-n+1-a}\ell_{k+1-a}^{(a)}(x)
\end{align*}
を得る.
\begin{align*}
\ell_n^{(a)}(x)&=\frac{[a]_n}{\pi_a^2}\sum_{0\leq k}\frac{[a]_{k+1-a}^{-1}}{k-n+1-a}\sum_{0\leq m}\frac 1{k-m+1-a}\ell_m^{(a)}(x)\\
\ell_{n+1-a}^{(a)}(x)&=\frac 1{\pi_a^2}\sum_{0\leq k}\frac{[a]_k}{n-k+1-a}\sum_{0\leq m}\frac{[a]_{m+1-a}^{-1}}{m-k+1-a}\ell_{m+1-a}^{(a)}(x)
\end{align*}
においてそれぞれ, $\ell_n^{(a)}(x),\ell_{n+1-a}^{(a)}(x)$の係数を比較することによって, 2つの離散的な直交関係
\begin{align*}
\frac 1{\pi_a^2}\sum_{0\leq k}\frac{[a]_{k+1-a}^{-1}}{(k-n+1-a)(k-m+1-a)}&=[a]_n^{-1}\delta_{n,m}\\
\frac 1{\pi_a^2}\sum_{0\leq k}\frac{[a]_k}{(n-k+1-a)(m-k+1-a)}&=[a]_{n+1-a}\delta_{n,m}
\end{align*}
を得ることができる. このように, 2つの完全直交系が与えられた場合にその間の関係式を積分を計算することで比較的簡単に調べることができるのは面白いと思った.
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