一般Laguerre多項式の積分

まず, 一般Laguerre多項式は
$\begin{aligned} L_{n}^{(a)} (x) & = \frac{(1 + a)_{n}}{n!} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- n)_{k}}{k! (1 + a)_{k}} x^{k} \end{aligned}$
によって定義される. 今回はその積分に関して成り立つ式を示す.

$- 1 < c$ に対して, 以下の等式が成り立つ.
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} x^{c} L_{n}^{(a)} (x) L_{m}^{(b)} (x) e^{- x} d x & = \sum_{0 \leq k} \frac{(a - c)_{n - k}}{(n - k)!} \frac{(b - c)_{m - k}}{(m - k)!} \frac{Γ (c + k + 1)}{k!} \end{aligned}$

母関数を考えると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n, m} s^{m} t^{n} \int_{0}^{\infty} x^{c} L_{n}^{(a)} (x) L_{m}^{(b)} (x) e^{- x} d x & = \frac{1}{(1 - s)^{a + 1} (1 - t)^{b + 1}} \int_{0}^{\infty} x^{c} e^{- x (\frac{s}{1 - s} + \frac{t}{1 - t} + 1)} d x \\ = \frac{1}{(1 - s)^{a + 1} (1 - t)^{b + 1}} \frac{Γ (c + 1)}{{(\frac{s}{1 - s} + \frac{t}{1 - t} + 1)}^{c + 1}} \\ = \frac{1}{(1 - s)^{a - c} (1 - t)^{b - c}} \frac{Γ (c + 1)}{{(1 - s t)}^{c + 1}} \\ = \frac{1}{(1 - s)^{a - c} (1 - t)^{b - c}} \sum_{0 \leq k} \frac{Γ (c + k + 1)}{k!} (s t)^{k} \\ = \sum_{0 \leq n, m} s^{n} t^{m} \sum_{0 \leq k} \frac{(a - c)_{n - k}}{(n - k)!} \frac{(b - c)_{m - k}}{(m - k)!} \frac{Γ (c + k + 1)}{k!} \end{aligned}$
となって示される.

$- 1 < a + b$ に対して, 以下の等式が成り立つ.
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} x^{a + b} L_{n}^{(a)} (x) L_{m}^{(b)} (x) e^{- x} d x & = Γ (a + b + 1) \frac{(1 + a)_{n}}{n!} \frac{(1 + b)_{m}}{m!} \frac{(- 1)^{n + m}}{(1 + a)_{n - m} (1 + b)_{m - n}} \end{aligned}$

前の命題より,
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} x^{a + b} L_{n}^{(a)} (x) L_{m}^{(b)} (x) e^{- x} d x & = \sum_{0 \leq k} \frac{(- b)_{n - k}}{(n - k)!} \frac{(- a)_{m - k}}{(m - k)!} \frac{Γ (a + b + k + 1)}{k!} \\ = Γ (a + b + 1) \frac{(- b)_{n}}{n!} \frac{(- a)_{m}}{m!} \sum_{0 \leq k} \frac{(- n, - m, a + b + 1)_{k}}{k! (1 - n + b, 1 - m + a)_{k}} \end{aligned}$
ここで, Saalschützの和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(- n, - m, a + b + 1)_{k}}{k! (1 - n + b, 1 - m + a)_{k}} & = \frac{(- n - a, 1 - n + b + m)_{n}}{(1 - n + b, - n - a + m)_{n}} \\ = \frac{(1 + a, 1 + b - m)_{n}}{(- b, 1 + a - m)_{n}} \\ = (- 1)^{n + m} \frac{(1 + a)_{n} (1 + b)_{m}}{(- b)_{n} (- a)_{m} (1 + a)_{n - m} (1 + b)_{m - n}} \end{aligned}$
であることから示される.

$a$ -Hermite多項式

前回の記事( a-Hermite多項式の次数に関する補間について )における
$\begin{aligned} ℓ_{n}^{(a)} (x) & := \frac{(a)_{n}}{n!} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- n)_{k}}{k! (a)_{k}} x^{k} \\ ℓ_{n + 1 - a}^{(a)} & := \frac{1}{Γ (1 - a)} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- n)_{k}}{k! (1 - a)_{k + 1}} x^{k + 1 - a} \end{aligned}$
の間の関係を考える. $ℓ_{n}^{(a)} (x) = L_{n}^{(a - 1)} (x), ℓ_{n + 1 - a}^{(a)} (x) = \frac{n!}{Γ (2 - a + n)} L_{n}^{(1 - a)} (x)$ であることから, 前の命題における $a, b$ を $a - 1, 1 - a$ に置き換えて整理すると, $[a]_{n} := \frac{(a)_{n}}{n!}, π_{a} := \frac{π}{\sin π a}$ として,
$\begin{aligned} \frac{1}{Γ (a)} \int_{0}^{\infty} ℓ_{n}^{(a)} (x) ℓ_{m + 1 - a}^{(a)} (x) x^{a - 1} e^{- x} d x & = π_{a} \frac{[a]_{n}}{m - n + 1 - a} \end{aligned}$
が得られる. これによって, $ℓ_{n}^{(a)}, ℓ_{n + 1 - a}^{(a)}$ の間の関係を具体的に書き表すと,
$\begin{aligned} ℓ_{n + 1 - a}^{(a)} (x) & = \frac{1}{π_{a}} \sum_{0 \leq k} \frac{1}{n - k + 1 - a} ℓ_{k}^{(a)} (x) \\ ℓ_{n}^{(a)} (x) & = \frac{[a]_{n}}{π_{a}} \sum_{0 \leq k} \frac{[a]_{k + 1 - a}^{- 1}}{k - n + 1 - a} ℓ_{k + 1 - a}^{(a)} (x) \end{aligned}$
を得る.
$\begin{aligned} ℓ_{n}^{(a)} (x) & = \frac{[a]_{n}}{π_{a}^{2}} \sum_{0 \leq k} \frac{[a]_{k + 1 - a}^{- 1}}{k - n + 1 - a} \sum_{0 \leq m} \frac{1}{k - m + 1 - a} ℓ_{m}^{(a)} (x) \\ ℓ_{n + 1 - a}^{(a)} (x) & = \frac{1}{π_{a}^{2}} \sum_{0 \leq k} \frac{[a]_{k}}{n - k + 1 - a} \sum_{0 \leq m} \frac{[a]_{m + 1 - a}^{- 1}}{m - k + 1 - a} ℓ_{m + 1 - a}^{(a)} (x) \end{aligned}$
においてそれぞれ, $ℓ_{n}^{(a)} (x), ℓ_{n + 1 - a}^{(a)} (x)$ の係数を比較することによって, 2つの離散的な直交関係
$\begin{aligned} \frac{1}{π_{a}^{2}} \sum_{0 \leq k} \frac{[a]_{k + 1 - a}^{- 1}}{(k - n + 1 - a) (k - m + 1 - a)} & = [a]_{n}^{- 1} δ_{n, m} \\ \frac{1}{π_{a}^{2}} \sum_{0 \leq k} \frac{[a]_{k}}{(n - k + 1 - a) (m - k + 1 - a)} & = [a]_{n + 1 - a} δ_{n, m} \end{aligned}$
を得ることができる. このように, 2つの完全直交系が与えられた場合にその間の関係式を積分を計算することで比較的簡単に調べることができるのは面白いと思った.