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a-Hermite多項式の次数に関する補間について

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前の記事( Hermite多項式の次数に関するある種の補間について )において, Hermite多項式の次数に関するある形の補間について考えたが, 今回はそれをa類似に一般化したいと思う. 関数の双対性とa-Hermite多項式 において, a-Hermite多項式の関数が
0nn(a)(x)tn=(1t)aextt1
となることを示した. 前の記事と同様に, 0w<1に対して,
0nn+w(a)(x)tn+w=(1t)a0k(1)kΓ(k+w+1)(xt1t)k+w
と定義する. 前回の記事と同様に, 級数表示を導出すると,
n+w(a)(x)=(w+a)nn!Γ(w)k=0n(n)k(w)k+1(w+a)kxk+w
となることが分かる. ここで, 特にw=1aとすると,
n+1a(a)(x)=1Γ(1a)k=0n(n)kk!(1a)k+1xk+1a=n!Γ(2a+n)x1an(2a)(x)
となって, (2a)-Hermite多項式で書くことができる. よって, n+1a(a)n(a)と同じ区間と重み関数における直交関数であることが分かる. [a]w:=Γ(a+w)Γ(a)Γ(w+1)という記号を用いると,
1Γ(a)0n(a)(x)m(a)(x)xa1exdx=[a]nδn,m1Γ(a)0n+1a(a)(x)m+1a(a)(x)xa1exdx=[a]n+1aδn,m
というように同じような直交性を満たす. よって, n+1a(a)n+12の良いa類似になっていると考えられる. このように, 奇数次のHermite多項式から定義されたものにも良いa類似が構成できるのは興味深いと思うので, このような現象についてさらに深く研究していきたいと思う.

投稿日:2024319
更新日:2024320
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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