前の記事(
Hermite多項式の次数に関するある種の補間について
)において, Hermite多項式の次数に関するある形の補間について考えたが, 今回はそれを類似に一般化したいと思う.
関数の双対性とa-Hermite多項式
において, -Hermite多項式の関数が
となることを示した. 前の記事と同様に, に対して,
と定義する. 前回の記事と同様に, 級数表示を導出すると,
となることが分かる. ここで, 特にとすると,
となって, -Hermite多項式で書くことができる. よって, はと同じ区間と重み関数における直交関数であることが分かる. という記号を用いると,
というように同じような直交性を満たす. よって, はの良い類似になっていると考えられる. このように, 奇数次のHermite多項式から定義されたものにも良い類似が構成できるのは興味深いと思うので, このような現象についてさらに深く研究していきたいと思う.