a-Hermite多項式の次数に関する補間について

前の記事( Hermite多項式の次数に関するある種の補間について )において, Hermite多項式の次数に関するある形の補間について考えたが, 今回はそれを$a$類似に一般化したいと思う. 関数の双対性とa-Hermite多項式 において, $a$-Hermite多項式の関数が
\begin{align*} \sum_{0\leq n}\ell_n^{(a)}(x)t^n&=(1-t)^{-a}e^{\frac{xt}{t-1}} \end{align*}
となることを示した. 前の記事と同様に, $0\leq w<1$に対して,
\begin{align*} \sum_{0\leq n}\ell_{n+w}^{(a)}(x)t^{n+w}&=(1-t)^{-a}\sum_{0\leq k}\frac{(-1)^k}{\Gamma(k+w+1)}\left(\frac{xt}{1-t}\right)^{k+w} \end{align*}
と定義する. 前回の記事と同様に, 級数表示を導出すると,
\begin{align*} \ell_{n+w}^{(a)}(x)&=\frac{(w+a)_n}{n!\Gamma(w)}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{(w)_{k+1}(w+a)_k}x^{k+w} \end{align*}
となることが分かる. ここで, 特に$w=1-a$とすると,
\begin{align*} \ell_{n+1-a}^{(a)}(x)&=\frac 1{\Gamma(1-a)}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{k!(1-a)_{k+1}}x^{k+1-a}=\frac {n!}{\Gamma(2-a+n)}x^{1-a}\ell^{(2-a)}_n(x) \end{align*}
となって, $(2-a)$-Hermite多項式で書くことができる. よって, $\ell_{n+1-a}^{(a)}$は$\ell_n^{(a)}$と同じ区間と重み関数における直交関数であることが分かる. $[a]_w:=\frac{\Gamma(a+w)}{\Gamma(a)\Gamma(w+1)}$という記号を用いると,
\begin{align*} \frac 1{\Gamma(a)}\int_0^{\infty} \ell^{(a)}_n(x)\ell^{(a)}_m(x) x^{a-1}e^{-x}\,dx&=[a]_n\delta_{n,m}\\ \frac 1{\Gamma(a)}\int_0^{\infty}\ell^{(a)}_{n+1-a}(x)\ell^{(a)}_{m+1-a}(x)x^{a-1}e^{-x}\,dx&=[a]_{n+1-a}\delta_{n,m} \end{align*}
というように同じような直交性を満たす. よって, $\ell_{n+1-a}^{(a)}$は$\ell_{n+\frac 12}$の良い$a$類似になっていると考えられる. このように, 奇数次のHermite多項式から定義されたものにも良い$a$類似が構成できるのは興味深いと思うので, このような現象についてさらに深く研究していきたいと思う.