前の記事( Hermite多項式の変数付きの拡張について )において,ℓn(x)=(−1)n(12)nH2n(x)(2n)!によってHermite多項式の変種を導入したが, 今度はH2n+1も使って非負整数nに対して次のように定義してみる.ℓn+12(x)=(−1)nn!πH2n+1(x)(2n+1)!すると級数表示は,ℓn+12(x)=1π∑k=0n(−n)kk!(12)k+1xk+12であり, 直交性はβw:=Γ(w+12)Γ(12)Γ(w+1)として,1π∫0∞ℓn+12(x)ℓm+12(x)e−xdxx=βn+12δn,mのようになる. ℓnの直交性が,1π∫0∞ℓn(x)ℓm(x)e−xdxx=βnδn,mであったことを考えると, ℓn+12は上手く定義できているように見える. 次に, 母関数を考えてみる.∑0≤ntn+12ℓn+12(x)=1π∑0≤ntn+12∑k=0nn!k!(n−k)!(12)k+1(−1)kxk+12=1π∑0≤n,ktn(n+k)!k!n!(12)k+1(−1)k(xt)k+12=1π∑0≤k1(12)k+1(−1)k(xt)k+12(1−t)−k−1=11−t∑0≤k(−1)kΓ(k+32)(xt1−t)k+12ℓnの母関数が∑0≤ntnℓn(x)=11−t∑0≤k(−1)kΓ(k+1)(xt1−t)kと書けることから, より一般的に0≤w<1に対して,∑0≤ntn+wℓn+w(x)=11−t∑0≤k(−1)kΓ(k+w+1)(xt1−t)k+wによって定義することにする. 定義域を0≤w<1に制限した理由としては, limw→1ℓn+w(x)=ℓn+1(x)が成り立たないという問題があるからである. 上の定義から, 級数表示を導出してみる.11−t∑0≤k(−1)kΓ(k+w+1)(xt1−t)k+w=∑0≤k,n(−1)kΓ(k+w+1)(xt)k+w(k+w+12)nn!tn=∑0≤k≤n(−1)kΓ(k+w+1)(w+12)kxk+w(w+12)n(n−k)!tn+w=(w+12)nn!Γ(w)∑0≤k≤n(−n)k(w)k+1(w+12)kxk+wtn+wよって,ℓn+w(x)=(w+12)nn!Γ(w)∑k=0n(−n)k(w)k+1(w+12)kxk+wとなることが分かる. この関数がHermite多項式の一般化としてどのような性質を持っているかについてはこれから研究していきたいと思う.
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