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Hermite多項式の次数に関するある種の補間について

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前の記事( Hermite多項式の変数付きの拡張について )において,
n(x)=(1)n(12)nH2n(x)(2n)!
によってHermite多項式の変種を導入したが, 今度はH2n+1も使って非負整数nに対して次のように定義してみる.
n+12(x)=(1)nn!πH2n+1(x)(2n+1)!
すると級数表示は,
n+12(x)=1πk=0n(n)kk!(12)k+1xk+12
であり, 直交性はβw:=Γ(w+12)Γ(12)Γ(w+1)として,
1π0n+12(x)m+12(x)exdxx=βn+12δn,m
のようになる. nの直交性が,
1π0n(x)m(x)exdxx=βnδn,m
であったことを考えると, n+12は上手く定義できているように見える. 次に, 母関数を考えてみる.
0ntn+12n+12(x)=1π0ntn+12k=0nn!k!(nk)!(12)k+1(1)kxk+12=1π0n,ktn(n+k)!k!n!(12)k+1(1)k(xt)k+12=1π0k1(12)k+1(1)k(xt)k+12(1t)k1=11t0k(1)kΓ(k+32)(xt1t)k+12
nの母関数が
0ntnn(x)=11t0k(1)kΓ(k+1)(xt1t)k
と書けることから, より一般的に0w<1に対して,
0ntn+wn+w(x)=11t0k(1)kΓ(k+w+1)(xt1t)k+w
によって定義することにする. 定義域を0w<1に制限した理由としては, limw1n+w(x)=n+1(x)が成り立たないという問題があるからである. 上の定義から, 級数表示を導出してみる.
11t0k(1)kΓ(k+w+1)(xt1t)k+w=0k,n(1)kΓ(k+w+1)(xt)k+w(k+w+12)nn!tn=0kn(1)kΓ(k+w+1)(w+12)kxk+w(w+12)n(nk)!tn+w=(w+12)nn!Γ(w)0kn(n)k(w)k+1(w+12)kxk+wtn+w
よって,
n+w(x)=(w+12)nn!Γ(w)k=0n(n)k(w)k+1(w+12)kxk+w
となることが分かる. この関数がHermite多項式の一般化としてどのような性質を持っているかについてはこれから研究していきたいと思う.

投稿日:2024319
更新日:2024319
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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