Hermite多項式の次数に関するある種の補間について

前の記事( Hermite多項式の変数付きの拡張について )において,
\begin{align*} \ell_n(x)&=(-1)^n\left(\frac 12\right)_n\frac{H_{2n}(\sqrt x)}{(2n)!} \end{align*}
によってHermite多項式の変種を導入したが, 今度は$H_{2n+1}$も使って非負整数$n$に対して次のように定義してみる.
\begin{align*} \ell_{n+\frac 12}(x)&=(-1)^n\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\frac{H_{2n+1}(\sqrt x)}{(2n+1)!} \end{align*}
すると級数表示は,
\begin{align*} \ell_{n+\frac 12}(x)=\frac 1{\sqrt{\pi}}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{k!\left(\frac 12\right)_{k+1}}x^{k+\frac 12} \end{align*}
であり, 直交性は$\beta_w:=\frac{\Gamma\left(w+\frac 12\right)}{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma(w+1)}$として,
\begin{align*} \frac 1{\sqrt{\pi}}\int_0^{\infty}\ell_{n+\frac 12}(x)\ell_{m+\frac 12}(x)e^{-x}\frac{dx}{\sqrt{x}}&=\beta_{n+\frac 12}\delta_{n,m}\\ \end{align*}
のようになる. $\ell_n$の直交性が,
\begin{align*} \frac 1{\sqrt{\pi}}\int_0^{\infty}\ell_n(x)\ell_m(x)e^{-x}\frac{dx}{\sqrt{x}}&=\beta_n\delta_{n,m}\\ \end{align*}
であったことを考えると, $\ell_{n+\frac 12}$は上手く定義できているように見える. 次に, 母関数を考えてみる.
\begin{align*} \sum_{0\leq n}t^{n+\frac 12}\ell_{n+\frac 12}(x)&=\frac 1{\sqrt{\pi}}\sum_{0\leq n}t^{n+\frac 12}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!\left(\frac 12\right)_{k+1}}(-1)^kx^{k+\frac 12}\\ &=\frac 1{\sqrt{\pi}}\sum_{0\leq n,k}t^{n}\frac{(n+k)!}{k! n!\left(\frac 12\right)_{k+1}}(-1)^k(xt)^{k+\frac 12}\\ &=\frac 1{\sqrt{\pi}}\sum_{0\leq k}\frac{1}{\left(\frac 12\right)_{k+1}}(-1)^k(xt)^{k+\frac 12}(1-t)^{-k-1}\\ &=\frac 1{\sqrt{1-t}}\sum_{0\leq k}\frac{(-1)^k}{\Gamma\left(k+\frac 32\right)}\left(\frac{xt}{1-t}\right)^{k+\frac 12}\\ \end{align*}
$\ell_n$の母関数が
\begin{align*} \sum_{0\leq n}t^n\ell_n(x)&=\frac 1{\sqrt{1-t}}\sum_{0\leq k}\frac{(-1)^k}{\Gamma(k+1)}\left(\frac{xt}{1-t}\right)^k \end{align*}
と書けることから, より一般的に$0\leq w<1$に対して,
\begin{align*} \sum_{0\leq n}t^{n+w}\ell_{n+w}(x)&=\frac 1{\sqrt{1-t}}\sum_{0\leq k}\frac{(-1)^k}{\Gamma(k+w+1)}\left(\frac{xt}{1-t}\right)^{k+w} \end{align*}
によって定義することにする. 定義域を$0\leq w<1$に制限した理由としては, $\lim_{w\to 1}\ell_{n+w}(x)=\ell_{n+1}(x)$が成り立たないという問題があるからである. 上の定義から, 級数表示を導出してみる.
\begin{align*} \frac 1{\sqrt{1-t}}\sum_{0\leq k}\frac{(-1)^k}{\Gamma(k+w+1)}\left(\frac{xt}{1-t}\right)^{k+w}&=\sum_{0\leq k,n}\frac{(-1)^k}{\Gamma(k+w+1)}(xt)^{k+w}\frac{\left(k+w+\frac 12\right)_n}{n!}t^n\\ &=\sum_{0\leq k\leq n}\frac{(-1)^k}{\Gamma(k+w+1)\left(w+\frac 12\right)_k}x^{k+w}\frac{\left(w+\frac 12\right)_n}{(n-k)!}t^{n+w}\\ &=\frac{\left(w+\frac 12\right)_n}{n!\Gamma(w)}\sum_{0\leq k\leq n}\frac{(-n)_k}{(w)_{k+1}\left(w+\frac 12\right)_k}x^{k+w}t^{n+w} \end{align*}
よって,
\begin{align*} \ell_{n+w}(x)&=\frac{\left(w+\frac 12\right)_n}{n!\Gamma(w)}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{(w)_{k+1}\left(w+\frac 12\right)_k}x^{k+w} \end{align*}
となることが分かる. この関数がHermite多項式の一般化としてどのような性質を持っているかについてはこれから研究していきたいと思う.