どうも、らららです。積分・級数botの級数を解いていこうかと思います。
∑n=−∞∞1(n+x)2=π2sin2πx
ツイート の方はn∈Zで書いてるんですがわたしは−∞,∞の方が好きなのでこの表記で書いていきます。解いていきます。
∑n=−∞∞f(n)=−π∑k=1mResz=αkf(z)cotπz
級数を留数の足し合わせで書けるという公式です。条件と証明は こちらのツイート を見れば分かると思います
留数を計算して級数を解いていきます。条件の確認は読者への課題とします。
条件は満たしていたのでf(z)cotπzのz=−xでの留数を計算し級数を求めていきます。
Resz=−xf(z)cotπz=Resz=−xcotπz(z+x)2=limz→−x∂∂zcotπz(z+x)2(z+x)2=limz→−xddzcotπz=−πsin2πx
∑n=−∞∞1(n+x)2=−πResz=−xcotπz(z+x)2=π2sin2πz
でたー!!級数が−∞,∞だった場合、ポワソン和公式かアベルプラナ和公式を使ったらある程度解けると思ってます。気が向いたらポワソン和公式の記事もあげるかもしれません。
おしまい!!
バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。