便利さんの積分・級数botを解く⑤
級数を解く
どうも、らららです。
積分・級数botの級数を解いていこうかと思います。
解く級数
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(n+x)^2}=\frac{\pi^2}{\sin^2\pi x}$$
ツイート
の方は$n\in\mathbb{Z}$で書いてるんですがわたしは$-\infty,\infty$の方が好きなのでこの表記で書いていきます。
解いていきます。
アベルプラナ和公式
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)=-\pi\sum_{k=1}^{m}\underset{z=\alpha_k}{\mathrm{Res}}f(z)\cot\pi z$$
級数を留数の足し合わせで書けるという公式です。
条件と証明は
こちらのツイート
を見れば分かると思います
級数を解く
留数を計算して級数を解いていきます。
条件の確認は読者への課題とします。
留数計算
条件は満たしていたので$f(z)\cot\pi z$の$z=-x$での留数を計算し級数を求めていきます。
\begin{align} \underset{z=-x}{\mathrm{Res}}f(z)\cot\pi z&=\underset{z=-x}{\mathrm{Res}}\frac{\cot\pi z}{(z+x)^2} \\&=\lim_{z\to-x}\frac{\partial}{\partial z}\frac{\cot\pi z}{(z+x)^2}(z+x)^2 \\&=\lim_{z\to-x}\frac{d}{dz}\cot\pi z \\&=-\frac{\pi}{\sin^2\pi x} \end{align}
\begin{align} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(n+x)^2}&=-\pi\underset{z=-x}{\mathrm{Res}}\frac{\cot\pi z}{(z+x)^2} \\&=\frac{\pi^2}{\sin^2\pi z} \end{align}
でたー！！
級数が$-\infty,\infty$だった場合、ポワソン和公式かアベルプラナ和公式を使ったらある程度解けると思ってます。
気が向いたらポワソン和公式の記事もあげるかもしれません。
おしまい！！