この積分を第二種Euler積分ということもあります。
ここで
となり、
となり、ガウス積分と一致します。
ガウス積分の値は
さて、ガンマ関数にはもう一つ定義があります。そちらも確認しておきましょう。
これをEulerの乗積表示と言います。これは次回紹介するWeierstrassの乗積表示に必要になってきますのでここで紹介しておきます。
また後ほど、この二つの定義のガンマ関数が等しいことを証明したいと思います。
ここで、ガンマ関数の性質を二つ紹介します。
系として次の定理を得ることができます。
これを示すには、
このことから、ガンマ関数は階乗の一般化ともされています。
これを第一種Euler積分と言います。
ここでベータ関数に関する定理を2つ紹介してEulerの乗積表示から第二種Euler積分を導いてみましょう。
左辺に定理3を
ここで
今、
となり、2つのガンマ関数の表示が一致していることがわかりました。
ベータ関数を少し変形してみましょう。
この結果から、
という式を得ることができます。
これはいわゆる
それでは、ベータ関数の特殊値を計算するための定理を一つ紹介します。
ここで、
ここでは簡単なガンマ関数とベータ関数の関係、そして
ここで
今、
のように書き換えられます。
ここで
上の定理7において
となり、
さて、
となります。さらに、
となり、おそらくみなさんが馴染んでいるであろう形になりました。
それでは今回はここら辺で終わりにしたいと思います。
読んでいただきありがとうございました。