ガンマ関数とベータ関数

$\Gamma(z+1)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^ze^{-t}dt$
　　　　　 $=\left[-t^ze^{-t}\right]^{t=\infty}_{t=0}+z\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$
　　　　　 $=0+z\Gamma(z)$

$\Gamma(z+1)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^{z+1}n!}{\prod_{k=0}^n(z+1+k)}$
　　　　　 $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n\cdot z}{z+1+n}\cdot\dfrac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n(z+k)}$
　　　　　 $=z\Gamma(z)$

$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}dt$
　　　 $=\left[-e^{-t}\right]^{\infty}_0$
　　　 $=0-(-1)=1$

$\Gamma(1)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n\cdot n!}{\prod_{k=0}^n(1+k)}$
　　　 $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n\cdot n!}{(n+1)!}$
　　　 $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}\to1$

$B(a,b)=\displaystyle\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$
　　　　$\ $$=\left[\dfrac{1}{a}x^a(1-x)^{b-1}\right]^1_0+\dfrac{b-1}{a}\displaystyle\int_0^1x^a(1-x)^{b-2}dx$
　　　　$\ $$=\dfrac{b-1}{a}B(a+1,b-1)$

左辺に定理３を$n$回適用して、
$B(a,n+1)=\dfrac{n\cdot(n-1)\cdots1}{a\cdot(a+1)\cdots(a+n-1)}\cdot B(a+n,1)$
　　　　　$\ $$=\dfrac{n!}{\prod_{k=0}^{n-1}(a+k)}\cdot\dfrac{1}{a+n}$
　　　　　$\ $$=\dfrac{n!}{\prod_{k=0}^n(a+k)}$

$\dfrac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n(z+k)}=n^zB(z,n+1)$
　　　　　　　$\ $$=n^z\displaystyle\int_0^1x^{z-1}(1-x)^ndx$
ここで$x\mapsto\dfrac{x}{n}$とすると
$\dfrac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n(z+k)}=n^{z-(z-1)-1}\displaystyle\int_0^nx^{z-1}\left(1-\dfrac{x}{n}\right)^ndx$
今、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{x}{n}\right)^n=e^{-x}$は区間$[0,n]$で一様収束するので
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n(z+k)}=\lim_{n\to\infty}\int_0^nx^{z-1}\left(1-\dfrac{x}{n}\right)^ndx=\int_0^{\infty}x^{z-1}e^{-x}dx$
となり、2つのガンマ関数の表示が一致していることがわかりました。

$B(a,b)=\displaystyle\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$において
$x\mapsto\sin^2x$とすると
$B(a,b)=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2a-2}x\cos^{2b-2}x\cdot2\sin x\cos xdx$
　　　$\ $$=2\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2a-1}x\cos^{2b-1}xdx$

$\Gamma(a)\Gamma(b)=\displaystyle\int_0^{\infty}x^{a-1}e^{-x}dx\int_0^{\infty}y^{b-1}e^{-y}dy$
　　　　　 $=\displaystyle\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}x^{a-1}y^{b-1}e^{-x-y}dxdy$
ここで$x+y\mapsto t$とすると
$\Gamma(a)\Gamma(b)=\displaystyle\int_0^{\infty}\int_x^{\infty}x^{a-1}(t-x)^{b-1}dtdx$
今、$t$は$x$から$\infty$まで動き、その$x$は$0$から$\infty$まで動くため、$t$も$0$から$\infty$まで動くことがわかります。そのことから、積分範囲は
$\displaystyle\int_0^{\infty}\int_0^tx^{a-1}(t-x)^{b-1}e^{-t}dxdt$
のように書き換えられます。
ここで$x\mapsto tx$とすると
$\Gamma(a)\Gamma(b)=\displaystyle\int_0^{\infty}\int_0^1(tx)^{a-1}(t-tx)^{b-1}e^{-t}\cdot tdxdt$
　　　　 $=\displaystyle\int_0^{\infty}\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}t^{a-1+b-1+1}e^{-t}dxdt$
　　　　$=\displaystyle\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx\int_0^{\infty}t^{a+b-1}e^{-t}dt$
　　　　$=B(a,b)\Gamma(a+b)$
$$ ∴B(a,b)=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} $$