超フィルター全体の集合の上のRudin-Keisler順序が全順序でないことの証明

(1)の証明．$A\in \mathcal{S}$を取ると，独立性の定義より$A\notin \mathcal{F}$．よって，$\mathcal{F}$は真のフィルターである．

(2)の証明．
$\mathcal{S}\setminus \mathcal{A}$から任意に元$X_1,\dots ,X_n,Y_1,\dots ,Y_m$を取る．
示すべきは，
$$X_1^{\mathrm{c}}\cup \cdots \cup X_n^{\mathrm{c}}\cup Y_1\cup \cdots \cup Y_m\notin ((\mathcal{F}\cup \mathcal{A}))$$
である．背理法でそうでないとするとある$F\in \mathcal{F}$と$A_1,\dots ,A_k\in \mathcal{A}$について
$$F\cap A_1\cap \cdots \cap A_k\subset X_1^{\mathrm{c}}\cup \cdots \cup X_n^{\mathrm{c}}\cup Y_1\cup \cdots \cup Y_m$$
を得る．この包含関係を変形すると
$$F\subset X_1^{\mathrm{c}}\cup \cdots \cup X_n^{\mathrm{c}}\cup Y_1\cup \cdots \cup Y_m\cup A_1^{\mathrm{c}}\cup \cdots \cup A_k^{\mathrm{c}}$$
である．これは仮定「$\mathcal{S}$が$\mathcal{F}$を法として独立」に矛盾している．

(3)は(2)と同様に示せる．

(4)は定義より明らか． ■

$A\in \mathcal{S}$を一つ取り固定する．

: $\mathcal{S}\setminus \{A\}$が$((\mathcal{G}\cup \{f^{-1}(A{)}^c\}))$を法として独立なとき．
このとき，${\mathcal{S}}^{\prime }=\mathcal{S}\setminus \{A\},{\mathcal{G}}^{\prime }=((\mathcal{G}\cup \{f^{-1}(A{)}^c\})),{\mathcal{F}}^{\prime }=((\mathcal{F}\cup \{A\})),B=A$が補題の結論を満たす．

${\mathcal{S}}^{\prime }$が${\mathcal{G}}^{\prime }$を法として独立なことはケース1の仮定そのものである．
${\mathcal{S}}^{\prime }$が${\mathcal{F}}^{\prime }$を法として独立なことは補題2の(2)よりよい．

: $\mathcal{S}\setminus \{A\}$が$((\mathcal{G}\cup \{f^{-1}(A{)}^c\}))$を法として独立でないとき．
このとき独立性の定義より，互いに異なる$X_1,\dots ,X_n,Y_1,\dots ,Y_m$が$\mathcal{S}\setminus \{A\}$の中に取れて，また，$G\in \mathcal{G}$が取れて，
$$X_1^{\mathrm{c}}\cup \cdots \cup X_n^{\mathrm{c}}\cup Y_1\cup \cdots \cup Y_m\supset G\cap f^{-1}(A{)}^{\mathrm{c}}.$$
を満たす．
したがって，両辺の補集合を取って，$G$を「移項」すると
$$X_1\cap \cdots \cap X_n\cap Y_1^{\mathrm{c}}\cap \cdots \cap Y_m^{\mathrm{c}}\cap G\subset f^{-1}(A).$$
を得る．
ここで，${\mathcal{G}}^{\prime }=((G\cup \{X_1,\dots ,X_n,Y_1^{\mathrm{c}},\dots ,Y_m^{\mathrm{c}}\}))$とおくと$f^{-1}(A^c{)}^c=f^{-1}(A)\in {\mathcal{G}}^{\prime }$である．
また，${\mathcal{F}}^{\prime }=((\mathcal{F}\cup \{A^c\}))$とおき，${\mathcal{S}}^{\prime }=\mathcal{S}\setminus \{A,X_1,\dots ,X_n,Y_1^c,\dots ,Y_m^c\}$とおき，$B=A^c$とおく．
このとき補題2より${\mathcal{S}}^{\prime }$は${\mathcal{F}}^{\prime }$と${\mathcal{G}}^{\prime }$の両方を法として独立であることがわかる． ■

長さ$\mathfrak{c}$の再帰的構成による．

$(f_{\alpha }:\alpha <\mathfrak{c})$を$\omega$から$\omega$への関数の枚挙とする．

再帰的に$({\mathcal{F}}_{\alpha },{\mathcal{G}}_{\alpha },{\mathcal{S}}_{\alpha }:\alpha <\mathfrak{c})$で次を満たすものを構成する．

1. 各${\mathcal{F}}_{\alpha },G_{\alpha }$は$\omega$上のフィルターであり，列$({\mathcal{F}}_{\alpha }:\alpha <\mathfrak{c}),({\mathcal{G}}_{\alpha }:\alpha <\mathfrak{c})$は単調増大かつ連続である．
2. ${\mathcal{F}}_0$と${\mathcal{G}}_0$はフレシェフィルター．
3. 各$\alpha$について$X\in {\mathcal{F}}_{\alpha +1}$があって，$f_{\alpha }^{-1}(X{)}^c\in {\mathcal{G}}_{\alpha +1}$を満たす．また，各$\alpha$について$Y\in {\mathcal{G}}_{\alpha +1}$があって，$f_{\alpha }^{-1}(Y{)}^c\in {\mathcal{F}}_{\alpha +1}$を満たす．
4. 各$\alpha$について${\mathcal{S}}_{\alpha }$は${\mathcal{F}}_{\alpha }$と$G_{\alpha }$の両方を法として独立であり，濃度$\mathfrak{c}$を持つ．
5. 列$({\mathcal{S}}_{\alpha }:\alpha <\mathfrak{c})$は単調減少かつ連続である．
6. 各$\alpha$について${\mathcal{S}}_{\alpha }\setminus {\mathcal{S}}_{\alpha +1}$は有限集合である．

(3)が肝心な条件である．

この構成が終わったあと，$p$を$\bigcup _{\alpha <\mathfrak{c}}{\mathcal{F}}_{\alpha }$を拡大して得られる超フィルター，$q$を$\bigcup _{\alpha <\mathfrak{c}}{\mathcal{G}}_{\alpha }$を拡大して得られる超フィルターとする．
このとき$\omega$から$\omega$への関数をすべて枚挙していたことと，条件(3)より$p{\nleqq }_{\mathrm{RK}}q$かつ$q{\nleqq }_{\mathrm{RK}}p$が分かる．

独立集合の列$({\mathcal{S}}_{\alpha }:\alpha <\mathfrak{c})$は補助的なものである．
これなしで(1)-(3)だけで帰納法が回ればそれでよかったのであるが，残念ながら回らない．

さて，$({\mathcal{F}}_{\alpha },{\mathcal{G}}_{\alpha },{\mathcal{S}}_{\alpha }:\alpha <\mathfrak{c})$の構成方法を見よう．

$\alpha =0$のとき，${\mathcal{F}}_0,{\mathcal{G}}_0$はフレシェフィルターとして，${\mathcal{S}}_0$はFichtenholz-Kantorovitch, Hausdorffにより定まるサイズ$\mathfrak{c}$の独立集合とすればよい．

$\alpha$が極限順序数のとき．${\mathcal{F}}_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal{F}}_{\beta }$, ${\mathcal{G}}_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal{G}}_{\beta }$, ${\mathcal{S}}_{\alpha }=\bigcap _{\beta <\alpha }{\mathcal{S}}_{\beta }$とする．これで条件(4)が満たされることは容易に確かめられる．

$\alpha =\beta +1$が後続順序数のとき．
補題3を2回適用すればよい．なお，そのうちのちょうど1回は$\mathcal{F}$と$\mathcal{G}$の役割を入れ替えることに注意する． ■