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S-rSを書き並べる必要はない(その2)

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathrm{div}} \newcommand{division}[0]{÷} \newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ } \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ } \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前回 の続きです。

今回は、$f(n)$$g(n+1)-g(n)$に変形する方法について扱う。

$f(n)=a$のとき

$$ f(n)=a\{(n+1)-n\} $$
よって$g(n)=an$のとき$f(n)=g(n+1)-g(n)$

$f(n)=an+b$のとき

$$ \begin{eqnarray} f(n) &=& \frac{a}{2}(2n+1)+\left(b-\frac{a}{2}\right)\\ &=& \frac{a}{2}\{(n+1)^2-n^2\}+\left(b-\frac{a}{2}\right)\{(n+1)-n\}\\ \end{eqnarray}\\ $$
$$ \therefore\ g(n)=\frac{a}{2}n^2+\left(b-\frac{a}{2}\right)n $$
$(n+1)^2-n^2=2n+1$となることを意識して変形すると良い。


おまけ $f(n)=an^2+bn+c$のとき
$(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1$となることを意識して変形すると良い。
\begin{eqnarray} f(n) &=& \frac{a}{3}(3n^2+3n+1)+(b-a)n+\left(c-\frac{a}{3}\right)\\ &=& \frac{a}{3}\{(n+1)^3-n^3\}+(b-a)n+\left(c-\frac{a}{3}\right)\\ \end{eqnarray}
$\displaystyle(b-a)n+\left(c-\frac{a}{3}\right)$は直前の公式を用いて変形して
$\displaystyle\frac{b-a}{2}n^2+\left(c-\frac{a}{3}-\frac{b-a}{2}\right)n$が得られることを考慮する
$ \displaystyle\therefore\ g(n)=\frac{a}{3}n^3+\frac{b-a}{2}n^2+\left(c-\frac{b}{2}+\frac{a}{6}\right)n $

上記のような2次を階差型に変形することについては、普通にΣ計算をしたほうが早いと思われる。
$f(n)=r^n$のとき

$$ \begin{eqnarray} f(n) &=& \frac{r-1}{r-1}\cdot r^n\\ &=& \frac{r^{n+1}-r^n}{r-1}\\ &=& \frac{r^{n+1}}{r-1}-\frac{r^{n}}{r-1}\\ \end{eqnarray}\\ $$
$ \begin{eqnarray} \therefore\ g(n)&=&\frac{r^n}{r-1}\\ &=&\frac{r}{r-1}\cdot r^{n-1}\\ \end{eqnarray}\\ $

$f(n)=n\cdot r^n$のとき

$$ \begin{eqnarray} f(n) &=& \frac{r-1}{r-1}\cdot nr^n\\ &=& \frac{n\cdot r^{n+1}}{r-1}-\frac{n\cdot r^{n}}{r-1}\\ &=& \frac{\{(n+1)-1\}\cdot r^{n+1}}{r-1}-\frac{n\cdot r^{n}}{r-1}\\ &=& \frac{(n+1)\cdot r^{n+1}}{r-1}-\frac{n\cdot r^{n}}{r-1}-\frac{r^{n+1}}{r-1}\\ &=& \frac{(n+1)\cdot r^{n+1}}{r-1}-\frac{n\cdot r^{n}}{r-1}-\frac{1}{r-1}\left(\frac{r^{n+2}}{r-1} -\frac{r^{n+1}}{r-1}\right)\\ \end{eqnarray}\\ $$
$$ \begin{eqnarray} \therefore\ g(n)&=&\frac{n\cdot r^{n}}{r-1}-\frac{1}{r-1}\left(\frac{r^{n+1}}{r-1}\right)\\ &=&\frac{r}{r-1}\left(n-\displaystyle\frac{r}{r-1}\right)\cdot r^{n-1}\\ \end{eqnarray}\\ $$

実用例として(等差等比)×(等比数列)混合型の数列の和を計算することに使える。

等差等比混合型 数列の和

$\displaystyle S_{n}= \sum_{k=1}^{n} (4k-3)5^{k-1}$を計算せよ

$S_{1}=1$
\begin{eqnarray} S_{n+1}-S{n}&=&\{4(n+1)-3\}5^{(n+1)-1}\\ &=& (4n+1)\cdot \frac{5^{n+1}-5^{n}}{5-1}\\ &=& \left(n+\frac{1}{4}\right)\left(5^{n+1}-5^{n}\right)\\ &=& \left(n+1+\frac{1}{4}\right)5^{n+1}-\left(n+\frac{1}{4}\right)5^{n}-5^{n}\\ &=& \left(n+1+\frac{1}{4}\right)5^{n+1}-\left(n+\frac{1}{4}\right)5^{n}-\left(\frac{5^{n+1}}{5-1}-\frac{5^{n}}{5-1}\right)\\ \end{eqnarray}
よって$\displaystyle g(n)=\left(n+\frac{1}{4}\right)5^{n-1}-\frac{5^{n}}{5-1}=\left(n-1\right)5^{n-1}$のとき
全ての自然数に対して
$\displaystyle S_{n+1}-S{n}=g(n+1)-g(n)$が成り立つので、
$\displaystyle S_{n}-g(n)=S_{n-1}-g(n-1)=\cdots=S_{1}-g(1)$
$\displaystyle S_{n}=g(n)+S_{1}-g(1)$となる。
以上より、$\displaystyle S_{n}=\left(n-1\right)5^{n-1}+1\quad\blacksquare$

確かに答案の見た目はきれいになるが、$S-rS$の場合は$n=1$を確認する必要が無いので、初学者にわざわざこの方法で教える必要性は無いと感じる。

投稿日:2023221

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