Fourier級数展開の魅力

$f(x)=e^x$として$a_n, b_n$を計算してフーリエ級数展開すると
$\displaystyle f(x)~\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{\pi}\left\{\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^2}(\cos nx-n\sin nx)\right\}$

$x=0$を代入して整理すると
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^2}=\frac{\pi}{e^{\pi}-e^{-\pi}}-\frac{1}{2}$
これを$n=0, $また負の整数まで拡張すると以下の美しい結論が求まる.

$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^2}=\frac{2\pi}{e^{\pi}-e^{-\pi}}=\frac{\pi}{\sinh \pi}$