Fourier級数展開の魅力

はじめまして。わにと申します。思いつきでやっていこうと思います。

いまフーリエ解析について勉強していて、そこで魅力的な級数を見つけたので挨拶代わりにそちらを載せようと思います。

$\sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{1 + n^{2}} = \frac{π}{\sinh π}$

$f (x) = e^{x}$ として $a_{n}, b_{n}$ を計算してフーリエ級数展開すると
$f (x) \frac{e^{π} - e^{- π}}{π} {\frac{1}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{1 + n^{2}} (\cos n x - n \sin n x)}$

$x = 0$ を代入して整理すると
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{1 + n^{2}} = \frac{π}{e^{π} - e^{- π}} - \frac{1}{2}$
これを $n = 0,$ また負の整数まで拡張すると以下の美しい結論が求まる.

$\sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{1 + n^{2}} = \frac{2 π}{e^{π} - e^{- π}} = \frac{π}{\sinh π}$

目次やら綺麗な囲いがどうするのかまだ分からないのでやりながら覚えようと思います。
良ければフォローなり反応いただければ幸いです。

投稿日：2020年11月9日

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