コンパクトハウスドルフ空間の連結成分について

　$\mathcal{A}' := \lbrace \ O^c \cap A \ | \ A \in \mathcal{A} \ \rbrace \subset \mathcal{F}_X$ とおくと、$\displaystyle\bigcap_{A' \in \mathcal{A}'} A' = \displaystyle\bigcap_{A \in \mathcal{A}} (O^c \cap A) = O^c \cap F = \emptyset$ であるから、補題 1 により $\mathcal{A}'$ は有限交叉性をもたない. よってある $A_1,\ \cdots,\ A_n \in \mathcal{A}$ が存在して, $\displaystyle\bigcap_{i = 1}^n (O^c \cap A_i) = \emptyset$ となる。すなわち $\displaystyle\bigcap_{i = 1}^n A_i \subset O$ である。

　$\mathcal{A} := \lbrace \ A \in \mathcal{O}_X \cap \mathcal{F}_X \ |\ K\subset A \ \rbrace,\ L := \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{A}} A$ とおく。$L$ が連結ならば、$K = L$ となる。そこで $L$ が連結でないと仮定すると、次を満たす $U_1,\ U_2\in \mathcal{F}_X$ が存在する：
$$ L \subset U_1 \cup U_2,\ L\cap U_1 \neq \emptyset,\ L\cap U_2 \neq \emptyset,\ L\cap U_1 \cap U_2 = \emptyset \cdots (*)$$

　$K$ は連結であるから、$K \subset U_1$ としてよい。$L\cap U_1 ,\ L\cap U_2 \in \mathcal{F}_X$ であり、$X$ は正規空間であるから、次を満たす $V_1,\ V_2\in \mathcal{O}_X$ が存在する：
$$ L\cap U_1 \subset V_1,\ L\cap U_2 \subset V_2,\ V_1 \cap V_2 = \emptyset \cdots (**)$$

　補題 2 より、$\displaystyle \bigcap_{i=1}^n A_i \subset V_1 \cup V_2$ を満たす $A_1,\ \cdots,\ A_n \in \mathcal{A}$ が存在する。$M := \displaystyle \bigcap_{i=1}^n A_i$ とおくと
$$ L \subset M \subset V_1 \cup V_2,\ M \in \mathcal{O}_X \cap \mathcal{F}_X$$
である。$W_1 := M\cap V_1,\ W_2 := M\cap V_2$ とおくと、$W_1,\ W_2 \in \mathcal{O}_X$ である。また、
$$ W_1 \cup W_2 = M,\ W_1\cap W_2 = \emptyset$$
であるから $W_1,\ W_2 \in \mathcal{O}_X \cap \mathcal{F}_X$ である。さらに $K\subset L\cap U_1 \subset M \cap V_1 = W_1$ より、$ W_1 \in \mathcal{A}$ であるから $L \subset W_1$ である。しかし、$(*)$、$(**)$ より $L \not \subset V_1$ であるから $L\not \subset W_1$ である。これは矛盾である。したがって $L$ は連結である。