コンパクトハウスドルフ空間の連結成分について

位相空間論

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初めに

この記事の内容

　コンパクトハウスドルフ空間の連結成分は、その連結成分を含む「開かつ閉集合」全体の共通部分である、という命題について書きます。この命題についてはイメージが湧いていませんが、ひとまず記事を書いてみることにしました。

証明の流れ

簡単に証明の流れを書きます。詳細については本題で述べます。 $K$ を連結成分、 $L$ を $K$ を含む開かつ閉集合全体の共通部分とします。

★ 目標：

L

が連結であることを示すこと

step1. $L$ が連結でないと仮定
step2. $L$ を分割する閉集合を取ることができる
step3. step2 の閉集合を分離する開集合を取ることができる
step4. step3 の開集合を使って、 $K$ を含むが $L$ を含まない開かつ閉集合 $W$ を構成する←矛盾が生じた

証明の流れ step4

準備

　まず、コンパクトと有限交叉性について整理します。以下は【Mathpedia】定義 9.11 (有限交叉的な集合族) を参考にさせていただきました。

有限交叉性

位相空間 $X$ の部分集合族 $A$ が有限交叉性をもつとは、次が成り立つことをいう：

A

の任意の有限部分集合

B

に対して、

⋂_{B \in B} B \neq \emptyset

である

　次の補題は【Mathpedia】命題 9.12 (コンパクト性と有限交叉的な閉集合族) を参考にさせていただきました。

$X$ を位相空間、 $F_{X}$ を $X$ の閉集合全体とする。次は同値である：
(1) $X$ はコンパクトである。
(2) 有限交叉性をもつような任意の $A \subset F_{X}$ に対して、 $⋂_{A \in A} A \neq \emptyset$ である。

　次の補題は、参考文献[1]の p.81 H) を参考にさせていただきました。

$X$ をコンパクト位相空間、 $F_{X}$ を $X$ の閉集合全体、 $A \subset F_{X}$ とする。このとき, $⋂_{A \in A} A$ を含む任意の開集合 $O$ に対して, $⋂_{i = 1}^{n} A_{i} \subset O$ を満たすような $A_{1}, \dots, A_{n} \in A$ が存在する。

　 $A^{'} := {O^{c} \cap A | A \in A} \subset F_{X}$ とおくと、 $⋂_{A^{'} \in A^{'}} A^{'} = ⋂_{A \in A} (O^{c} \cap A) = O^{c} \cap F = \emptyset$ であるから、補題 1 により $A^{'}$ は有限交叉性をもたない. よってある $A_{1}, \dots, A_{n} \in A$ が存在して, $⋂_{i = 1}^{n} (O^{c} \cap A_{i}) = \emptyset$ となる。すなわち $⋂_{i = 1}^{n} A_{i} \subset O$ である。

本題

　以下は【数学についてのwebノート】位相空間における連結性の定義の「定義：連結位相空間」の(定義1)、「定義：連結部分集合･連結部分空間」の(定義2)を参考にさせていただきました。

連結

$X$ を位相空間、 $Y$ を $X$ の部分空間とする。
$(1)$ $X$ が連結であるとは、次を満たす $X$ の開集合 $U_{1}, U_{2}$ が存在しないことをいう：
$X = U_{1} \cup U_{2}, U_{1} \neq \emptyset, U_{2} \neq \emptyset, U_{1} \cap U_{2} = \emptyset$

$(2)$ $Y$ が連結であるとは、次を満たす $X$ の開集合 $U_{1}, U_{2}$ が存在しないことをいう：
$Y \subset U_{1} \cup U_{2}, U_{1} \cap Y \neq \emptyset, U_{2} \cap Y \neq \emptyset, U_{1} \cap U_{2} \cap Y = \emptyset$

　以下が本記事のメインとなる命題です。参考文献[1]の p.95 F) を参考にさせていただきました。

$X$ をコンパクトハウスドルフ空間、 $K$ を $X$ の連結成分、 $O_{X}$ を $X$ の開集合全体、 $F_{X}$ を $X$ の閉集合全体とする。このとき、
$K = ⋂_{K \subset A, A \in O_{X} \cap F_{X}} A$
が成り立つ。

　 $A := {A \in O_{X} \cap F_{X} | K \subset A}, L := ⋂_{A \in A} A$ とおく。 $L$ が連結ならば、 $K = L$ となる。そこで $L$ が連結でないと仮定すると、次を満たす $U_{1}, U_{2} \in F_{X}$ が存在する：
$L \subset U_{1} \cup U_{2}, L \cap U_{1} \neq \emptyset, L \cap U_{2} \neq \emptyset, L \cap U_{1} \cap U_{2} = \emptyset \dots (*)$

　 $K$ は連結であるから、 $K \subset U_{1}$ としてよい。 $L \cap U_{1}, L \cap U_{2} \in F_{X}$ であり、 $X$ は正規空間であるから、次を満たす $V_{1}, V_{2} \in O_{X}$ が存在する：
$L \cap U_{1} \subset V_{1}, L \cap U_{2} \subset V_{2}, V_{1} \cap V_{2} = \emptyset \dots (* *)$

　補題 2 より、 $⋂_{i = 1}^{n} A_{i} \subset V_{1} \cup V_{2}$ を満たす $A_{1}, \dots, A_{n} \in A$ が存在する。 $M := ⋂_{i = 1}^{n} A_{i}$ とおくと
$L \subset M \subset V_{1} \cup V_{2}, M \in O_{X} \cap F_{X}$
である。 $W_{1} := M \cap V_{1}, W_{2} := M \cap V_{2}$ とおくと、 $W_{1}, W_{2} \in O_{X}$ である。また、
$W_{1} \cup W_{2} = M, W_{1} \cap W_{2} = \emptyset$
であるから $W_{1}, W_{2} \in O_{X} \cap F_{X}$ である。さらに $K \subset L \cap U_{1} \subset M \cap V_{1} = W_{1}$ より、 $W_{1} \in A$ であるから $L \subset W_{1}$ である。しかし、 $(*)$ 、 $(* *)$ より $L ⊄ V_{1}$ であるから $L ⊄ W_{1}$ である。これは矛盾である。したがって $L$ は連結である。