初めに
記事の内容 を位相群、 を のコンパクト開集合とします。この記事では以下について書きます。
● に作用する の部分集合 について● がハウスドルフ位相群の場合には、 に含まれるコンパクト開部分群が存在すること本記事は参考文献[1]の p.142 定理 16 を参考にさせていただきました。
に作用する の部分集合について
ここでは以下の作用を考えます。
1自明な作用 2left multiplication 3共役作用 left multiplication は、
【Wikipedia】 Group action
を参考にさせていただきました。これは群に定義された演算による作用です。これら 3 つのケースではいずれも は の開集合となります。
1 自明な作用
を位相群、 を のコンパクト開集合、 は に自明に作用するとする。このとき、 に自明に作用する の元全体 は の開集合である。
2 left multiplication
を位相群、 を のコンパクト開集合、 とする。このとき、 は の開集合である。
任意の をとる。 となる の開集合 が存在することを示す。 は開集合であるから、任意の に対して、 より
となる の開集合 が存在する。 は の開被覆であるから、ここから有限個選んで を覆うことができる:
とおくと は における の開近傍であり、 であるから である。
3 共役作用
を位相群、 を のコンパクト開集合、 とする。このとき、 は の開集合である。
任意の をとる。 となる の開集合 が存在することを示す。 は開集合であるから、任意の に対して、 より
となる の開集合 が存在する。 は の開被覆であるから、ここから有限個選んで を覆うことができる:
とおくと は における の開近傍であり、任意の に対して であるから である。
ハウスドルフ位相群の場合
この場合、補題 2 の はさらに閉集合となります。
をハウスドルフ位相群、 を のコンパクト開集合、 とする。このとき、 は の開かつ閉集合である。
◆開集合であること 補題 2 よりしたがう。
◆閉集合であること が の開集合であることを示す。任意の に対して、 となる が存在する。 はハウスドルフより は の開集合であるから、 となる の開近傍 が存在する。 より である。
補題 3 の は の演算に関して閉じており、 の単位元 を含みます。 のうち にも含まれている元を選ぶことで、 に含まれる部分群の存在が示されます。 かつ ですので、 は の中に含まれる の部分群のうち最大の部分群になります。
をハウスドルフ位相群、 を の単位元 を含むコンパクト開集合とする。このとき、 となるようなコンパクト開部分群 が存在する。
とおくと、 より であり、補題 4 より は の閉集合であるから、 は のコンパクト開集合である。よって、 は のコンパクト開集合である。
の定義より任意の に対して であるから、 は の部分群である。