位相群とそのコンパクト開集合について
初めに
記事の内容$G$ を位相群、$K$ を $G$ のコンパクト開集合とします。この記事では以下について書きます。
●$K$ に作用する $G$ の部分集合 $U$ について●$G$ がハウスドルフ位相群の場合には、$K$ に含まれるコンパクト開部分群が存在すること本記事は参考文献[1]の p.142 定理 16 を参考にさせていただきました。
$K$ に作用する $G$ の部分集合について
ここでは以下の作用を考えます。
1自明な作用 2left multiplication 3共役作用left multiplication は、 【Wikipedia】 Group action を参考にさせていただきました。これは群に定義された演算による作用です。これら 3 つのケースではいずれも $U$ は $G$ の開集合となります。
1 自明な作用
$G$ を位相群、$K$ を $G$ のコンパクト開集合、$G$ は $K$ に自明に作用するとする。このとき、$K$ に自明に作用する $G$ の元全体 $U$ は $G$ の開集合である。
$U = G$ であるから $U$ は $G$ の開集合である。
2 left multiplication
$G$ を位相群、$K$ を $G$ のコンパクト開集合、$U:=\lbrace\ x\in G\ |\ xK \subset K \ \rbrace$ とする。このとき、$U$ は $G$ の開集合である。
任意の $x\in U$ をとる。$x\in V \subset U$ となる $G$ の開集合 $V$ が存在することを示す。$K$ は開集合であるから、任意の $y\in K$ に対して、$xy\in K$ より
$$ x\in V_y,\ y\in W_y,\ V_yW_y\subset K$$
となる $G$ の開集合 $V_y,\ W_y$ が存在する。$\lbrace W_y\rbrace_{y\in K}$ は $K$ の開被覆であるから、ここから有限個選んで $K$ を覆うことができる：$K \subset \displaystyle \bigcup_{i=1}^n W_{y_i}.$
$W := \displaystyle \bigcup_{i=1}^n W_{y_i},\ V := \displaystyle \bigcap_{i=1}^n V_{y_i}$ とおくと$V$ は $G$ における $x$ の開近傍であり、$VK\subset VW\subset K$ であるから $V\subset U$ である。
3 共役作用
$G$ を位相群、$K$ を $G$ のコンパクト開集合、$U:=\lbrace\ x\in G\ |\ xKx^{-1} \subset K \ \rbrace$ とする。このとき、$U$ は $G$ の開集合である。
任意の $x\in U$ をとる。$x\in V \subset U$ となる $G$ の開集合 $V$ が存在することを示す。$K$ は開集合であるから、任意の $y\in K$ に対して、$xyx^{-1}\in K$ より
$$ x\in V_y,\ y\in W_y,\ V_yW_yV_y^{-1}\subset K$$
となる $G$ の開集合 $V_y,\ W_y$ が存在する。$\lbrace W_y\rbrace_{y\in K}$ は $K$ の開被覆であるから、ここから有限個選んで $K$ を覆うことができる：$K \subset \displaystyle \bigcup_{i=1}^n W_{y_i}.$
$W := \displaystyle \bigcup_{i=1}^n W_{y_i},\ V := \displaystyle \bigcap_{i=1}^n V_{y_i}$ とおくと$V$ は $G$ における $x$ の開近傍であり、任意の $z\in V$ に対して $zKz^{-1}\subset zWz^{-1}\subset K$ であるから $V\subset U$ である。
ハウスドルフ位相群の場合
この場合、補題 2 の $U$ はさらに閉集合となります。
$G$ をハウスドルフ位相群、$K$ を $G$ のコンパクト開集合、$U:=\lbrace\ x\in G\ |\ xK \subset K \ \rbrace$ とする。このとき、$U$ は $G$ の開かつ閉集合である。
補題 2 よりしたがう。
◆閉集合であること$G\setminus U$ が $G$ の開集合であることを示す。任意の $x\in G\setminus U$ に対して、$xy\in G\setminus K$ となる $y\in K$ が存在する。$G$ はハウスドルフより $G\setminus K$ は $G$ の開集合であるから、$Vy\subset G\setminus K$ となる $x$ の開近傍 $V$ が存在する。$Vy\subset G\setminus K$ より $V\subset G\setminus U$ である。
補題 3 の $U$ は $G$ の演算に関して閉じており、$G$ の単位元 $e$ を含みます。$U$ のうち $U^{-1}$ にも含まれている元を選ぶことで、$K$ に含まれる部分群の存在が示されます。$x\in U$ かつ $x^{-1}\in U$ $ \Longleftrightarrow $ $x\in U \cap U^{-1}$ ですので、$U\cap U^{-1}$ は $U$ の中に含まれる $G$ の部分群のうち最大の部分群になります。
$G$ をハウスドルフ位相群、$K$ を $G$ の単位元 $e$ を含むコンパクト開集合とする。このとき、$H\subset K$ となるようなコンパクト開部分群 $H$ が存在する。
$U:=\lbrace\ x\in G\ |\ xK \subset K \ \rbrace$ とおくと、$e\in K$ より $U\subset K$ であり、補題 4 より $U$ は $K$ の閉集合であるから、$U$ は $G$ のコンパクト開集合である。よって、$H:= U\cap U^{-1}$ は $G$ のコンパクト開集合である。
$H$ の定義より任意の $x\in H$ に対して $x^{-1} \in H$ であるから、$H$ は $G$ の部分群である。
