文献あり

位相群とそのコンパクト開集合について

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初めに

記事の内容

　 $G$ を位相群、 $K$ を $G$ のコンパクト開集合とします。この記事では以下について書きます。

●

K

に作用する

G

の部分集合

U

について●

G

がハウスドルフ位相群の場合には、

K

に含まれるコンパクト開部分群が存在すること

本記事は参考文献[1]の p.142 定理 16 を参考にさせていただきました。

$K$ に作用する $G$ の部分集合について

　ここでは以下の作用を考えます。

1自明な作用　2left multiplication　3共役作用　

left multiplication は、【Wikipedia】 Group action を参考にさせていただきました。これは群に定義された演算による作用です。これら 3 つのケースではいずれも $U$ は $G$ の開集合となります。

1 自明な作用

$G$ を位相群、 $K$ を $G$ のコンパクト開集合、 $G$ は $K$ に自明に作用するとする。このとき、 $K$ に自明に作用する $G$ の元全体 $U$ は $G$ の開集合である。

　 $U = G$ であるから $U$ は $G$ の開集合である。

2 left multiplication

$G$ を位相群、 $K$ を $G$ のコンパクト開集合、 $U := {x \in G | x K \subset K}$ とする。このとき、 $U$ は $G$ の開集合である。

　任意の $x \in U$ をとる。 $x \in V \subset U$ となる $G$ の開集合 $V$ が存在することを示す。 $K$ は開集合であるから、任意の $y \in K$ に対して、 $x y \in K$ より
$x \in V_{y}, y \in W_{y}, V_{y} W_{y} \subset K$
となる $G$ の開集合 $V_{y}, W_{y}$ が存在する。 ${W_{y}}_{y \in K}$ は $K$ の開被覆であるから、ここから有限個選んで $K$ を覆うことができる： $K \subset ⋃_{i = 1}^{n} W_{y_{i}} .$
　 $W := ⋃_{i = 1}^{n} W_{y_{i}}, V := ⋂_{i = 1}^{n} V_{y_{i}}$ とおくと $V$ は $G$ における $x$ の開近傍であり、 $V K \subset V W \subset K$ であるから $V \subset U$ である。

3 共役作用

$G$ を位相群、 $K$ を $G$ のコンパクト開集合、 $U := {x \in G | x K x^{- 1} \subset K}$ とする。このとき、 $U$ は $G$ の開集合である。

　任意の $x \in U$ をとる。 $x \in V \subset U$ となる $G$ の開集合 $V$ が存在することを示す。 $K$ は開集合であるから、任意の $y \in K$ に対して、 $x y x^{- 1} \in K$ より
$x \in V_{y}, y \in W_{y}, V_{y} W_{y} V_{y}^{- 1} \subset K$
となる $G$ の開集合 $V_{y}, W_{y}$ が存在する。 ${W_{y}}_{y \in K}$ は $K$ の開被覆であるから、ここから有限個選んで $K$ を覆うことができる： $K \subset ⋃_{i = 1}^{n} W_{y_{i}} .$
　 $W := ⋃_{i = 1}^{n} W_{y_{i}}, V := ⋂_{i = 1}^{n} V_{y_{i}}$ とおくと $V$ は $G$ における $x$ の開近傍であり、任意の $z \in V$ に対して $z K z^{- 1} \subset z W z^{- 1} \subset K$ であるから $V \subset U$ である。

ハウスドルフ位相群の場合

　この場合、補題 2 の $U$ はさらに閉集合となります。

$G$ をハウスドルフ位相群、 $K$ を $G$ のコンパクト開集合、 $U := {x \in G | x K \subset K}$ とする。このとき、 $U$ は $G$ の開かつ閉集合である。

◆開集合であること

　補題 2 よりしたがう。

◆閉集合であること

　 $G ∖ U$ が $G$ の開集合であることを示す。任意の $x \in G ∖ U$ に対して、 $x y \in G ∖ K$ となる $y \in K$ が存在する。 $G$ はハウスドルフより $G ∖ K$ は $G$ の開集合であるから、 $V y \subset G ∖ K$ となる $x$ の開近傍 $V$ が存在する。 $V y \subset G ∖ K$ より $V \subset G ∖ U$ である。

　補題 3 の $U$ は $G$ の演算に関して閉じており、 $G$ の単位元 $e$ を含みます。 $U$ のうち $U^{- 1}$ にも含まれている元を選ぶことで、 $K$ に含まれる部分群の存在が示されます。 $x \in U$ かつ $x^{- 1} \in U$ $⟺$ $x \in U \cap U^{- 1}$ ですので、 $U \cap U^{- 1}$ は $U$ の中に含まれる $G$ の部分群のうち最大の部分群になります。

$G$ をハウスドルフ位相群、 $K$ を $G$ の単位元 $e$ を含むコンパクト開集合とする。このとき、 $H \subset K$ となるようなコンパクト開部分群 $H$ が存在する。

　 $U := {x \in G | x K \subset K}$ とおくと、 $e \in K$ より $U \subset K$ であり、補題 4 より $U$ は $K$ の閉集合であるから、 $U$ は $G$ のコンパクト開集合である。よって、 $H := U \cap U^{- 1}$ は $G$ のコンパクト開集合である。
　 $H$ の定義より任意の $x \in H$ に対して $x^{- 1} \in H$ であるから、 $H$ は $G$ の部分群である。