行列の演習問題とその解答

$K$を可換体として，$K$に成分をもつ$2$次正方行列の全体を$\mathbb{M}_2(K)$で表す．$\mathbf{A}=[a_{ij}]\in\mathbb{M}_2(K)$を固定して，${\color{red}\mathrm{C}_\mathbf{A}}:=\{\mathbf{B}\in\mathbb{M}_2(K)\mid\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}\}$とする．行列の基本変形を "$\to$" で表す．

$\mathbf{B}=[b_{ij}]\in\mathbb{M}_2(K)$について，$\mathbf{B}\in\mathrm{C}_\mathbf{A}$というのは任意の$1\le i,j\le2$に対して
$${a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}=a_{1j}b_{i1}+a_{2j}b_{i2}}$$
が成り立つことと同値である．$(i,j)=(1,1),(2,2)$のときこれは$a_{21}b_{12}-a_{12}b_{21}=0$と表され，$(i,j)=(1,2),(2,1)$のときは$a_{12}b_{11}+(a_{22}-a_{11})b_{12}-a_{12}b_{22}=0$及び$a_{21}b_{11}+(a_{22}-a_{11})b_{21}-a_{21}b_{22}=0$と表されるので，これは$\Biggl[\begin{smallmatrix} b_{11}\\ b_{12}\\ b_{21}\\ b_{22} \end{smallmatrix}\Biggr]$が$\Biggl[\begin{smallmatrix} 0&a_{21}&-a_{12}&0\\ a_{12}&a_{22}-a_{11}&0&-a_{12}\\ a_{21}&0&a_{22}-a_{11}&-a_{21} \end{smallmatrix}\Biggr]$の解空間
$${\Biggl\{\mathbf{x}\in K^4\,\,\Biggl|\Biggr.\,\,\Biggl[\begin{smallmatrix} 0&a_{21}&-a_{12}&0\\ a_{12}&a_{22}-a_{11}&0&-a_{12}\\ a_{21}&0&a_{22}-a_{11}&-a_{21} \end{smallmatrix}\Biggr]\mathbf{x}=\biggl[\begin{smallmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{smallmatrix}\biggr]\Biggr\}}$$
に属していることと同値である．

$a_{12}=a_{21}=0$かつ$a_{11}=a_{22}$の場合:

$\Biggl[\begin{smallmatrix} 0&a_{21}&-a_{12}&0\\ a_{12}&a_{22}-a_{11}&0&-a_{12}\\ a_{21}&0&a_{22}-a_{11}&-a_{21} \end{smallmatrix}\Biggr] = \biggl[\begin{smallmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{smallmatrix}\biggr]$より$\mathrm{C}_\mathbf{A}=\mathbb{M}_2(K)$を得る．

$a_{12}=a_{21}=0$かつ$a_{11}\ne a_{22}$の場合:

$${\Biggl[\begin{smallmatrix} 0&a_{21}&-a_{12}&0\\ a_{12}&a_{22}-a_{11}&0&-a_{12}\\ a_{21}&0&a_{22}-a_{11}&-a_{21} \end{smallmatrix}\Biggr] = \Biggl[\begin{smallmatrix} 0&0&0&0\\ 0&a_{22}-a_{11}&0&0\\ 0&0&a_{22}-a_{11}&0 \end{smallmatrix}\Biggr] \to \biggl[\begin{smallmatrix} 0&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0 \end{smallmatrix}\biggr]}$$
より
$${\begin{align} \mathrm{C}_\mathbf{A}&=\Bigl\{\Bigl[\begin{smallmatrix} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22} \end{smallmatrix}\Bigr]\in\mathbb{M}_2(K)\,\Bigl|\Bigr.\,{\scriptsize(b_{12}=0)\land(b_{21}=0)}\Bigr\}\\ &=\Bigl\{\Bigl[\begin{smallmatrix} b_{11}&0\\ 0&b_{22} \end{smallmatrix}\Bigr]\in\mathbb{M}_2(K)\,\Bigl|\Bigr.\,{\scriptsize b_{11},b_{22}\in K}\Bigr\}\\ &=K\Bigl[\begin{smallmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{smallmatrix}\Bigr] \oplus K\Bigl[\begin{smallmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{smallmatrix}\Bigr] \end{align}}$$
を得る．

$a_{12}=0$かつ$a_{21}\ne0$の場合:

$${\begin{align} \Biggl[\begin{smallmatrix} 0&a_{21}&-a_{12}&0\\ a_{12}&a_{22}-a_{11}&0&-a_{12}\\ a_{21}&0&a_{22}-a_{11}&-a_{21} \end{smallmatrix}\Biggr] &=\Biggl[\begin{smallmatrix} 0&a_{21}&0&0\\ 0&a_{22}-a_{11}&0&0\\ a_{21}&0&a_{22}-a_{11}&-a_{21} \end{smallmatrix}\Biggr]\\ &\to\Biggl[\begin{smallmatrix} 0&1&0&0\\ 0&a_{22}-a_{11}&0&0\\ 1&0&(a_{22}-a_{11})/a_{21}&-1 \end{smallmatrix}\Biggr]\\ &\to\Biggl[\begin{smallmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 1&0&(a_{22}-a_{11})/a_{21}&-1 \end{smallmatrix}\Biggr]\\ &\to\Biggl[\begin{smallmatrix} 1&0&(a_{22}-a_{11})/a_{21}&-1\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&0 \end{smallmatrix}\Biggr] \end{align}}$$
より
$${\begin{align} \mathrm{C}_\mathbf{A}&=\Bigl\{\Bigl[\begin{smallmatrix} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22} \end{smallmatrix}\Bigr]\in\mathbb{M}_2(K)\,\Bigl|\Bigr.\,{\scriptsize\bigl(b_{11}+\frac{a_{22}-a_{11}}{a_{21}}\,b_{21}-b_{22}=0\bigr)\land(b_{12}=0)}\Bigr\}\\ &=\Bigl\{\Bigl[\begin{smallmatrix} b_{11}&0\\ b_{21}&b_{11}+[(a_{22}-a_{11})/a_{21}]b_{21} \end{smallmatrix}\Bigr]\in\mathbb{M}_2(K)\,\Bigl|\Bigr.\,{\scriptsize b_{11},b_{21}\in K}\Bigr\}\\ &=K\Bigl[\begin{smallmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{smallmatrix}\Bigr] \oplus K \Bigl[\begin{smallmatrix} 0&1\\ 0&(a_{22}-a_{11})/a_{21} \end{smallmatrix}\Bigr] \end{align}}$$
を得る．

$a_{12}\ne0$かつ$a_{21}=0$の場合:

$${\begin{align} \Biggl[\begin{smallmatrix} 0&a_{21}&-a_{12}&0\\ a_{12}&a_{22}-a_{11}&0&-a_{12}\\ a_{21}&0&a_{22}-a_{11}&-a_{21} \end{smallmatrix}\Biggr] &=\Biggl[\begin{smallmatrix} 0&0&-a_{12}&0\\ a_{12}&a_{22}-a_{11}&0&-a_{12}\\ 0&0&a_{22}-a_{11}&0 \end{smallmatrix}\Biggr]\\ &\to\Biggl[\begin{smallmatrix} 0&0&1&0\\ 1&(a_{22}-a_{11})/a_{12}&0&-1\\ 0&0&a_{22}-a_{11}&0 \end{smallmatrix}\Biggr]\\ &\to\Biggl[\begin{smallmatrix} 0&0&1&0\\ 1&(a_{22}-a_{11})/a_{12}&0&-1\\ 0&0&0&0 \end{smallmatrix}\Biggr]\\ &\to\Biggl[\begin{smallmatrix} 1&(a_{22}-a_{11})/a_{12}&0&-1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&0 \end{smallmatrix}\Biggr] \end{align}}$$
より
$${\begin{align} \mathrm{C}_\mathbf{A}&=\Bigl\{\Bigl[\begin{smallmatrix} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22} \end{smallmatrix}\Bigr]\in\mathbb{M}_2(K)\,\Bigl|\Bigr.\,{\scriptsize\bigl(b_{11}+\frac{a_{22}-a_{11}}{a_{12}}\,b_{12}-b_{22}=0\bigr)\land(b_{21}=0)}\Bigr\}\\ &=\Bigl\{\Bigl[\begin{smallmatrix} b_{11}&b_{12}\\ 0&b_{11}+[(a_{22}-a_{11})/a_{12}]b_{12} \end{smallmatrix}\Bigr]\Bigl|\Bigr.\,{\scriptsize b_{11},b_{12}\in K}\Bigr\}\\ &=K\Bigl[\begin{smallmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{smallmatrix}\Bigr] \oplus K \Bigl[\begin{smallmatrix} 0&1\\ 0&(a_{22}-a_{11})/a_{12} \end{smallmatrix}\Bigr] \end{align}}$$
を得る．

$a_{12}\ne0$かつ$a_{21}\ne0$の場合:

$${\begin{align} \Biggl[\begin{smallmatrix} 0&a_{21}&-a_{12}&0\\ a_{12}&a_{22}-a_{11}&0&-a_{12}\\ a_{21}&0&a_{22}-a_{11}&-a_{21} \end{smallmatrix}\Biggr] &\to\Biggl[\begin{smallmatrix} 0&a_{21}&-a_{12}&0\\ 1&(a_{22}-a_{11})/a_{12}&0&-1\\ a_{21}&0&a_{22}-a_{11}&-a_{21} \end{smallmatrix}\Biggr]\\ &\to\Biggl[\begin{smallmatrix} 0&a_{21}&-a_{12}&0\\ 1&(a_{22}-a_{11})/a_{12}&0&-1\\ 0&-a_{21}(a_{22}-a_{11})/a_{12}&a_{22}-a_{11}&0 \end{smallmatrix}\Biggr]\\ &\to\Biggl[\begin{smallmatrix} 0&1&-a_{12}/a_{21}&0\\ 1&(a_{22}-a_{11})/a_{12}&0&-1\\ 0&-a_{21}(a_{22}-a_{11})/a_{12}&a_{22}-a_{11}&0 \end{smallmatrix}\Biggr]\\ &\to\Biggl[\begin{smallmatrix} 0&1&-a_{12}/a_{21}&0\\ 1&0&(a_{22}-a_{11})/a_{21}&-1\\ 0&0&0&0 \end{smallmatrix}\Biggr]\\ &\to\Biggl[\begin{smallmatrix} 1&0&(a_{22}-a_{11})/a_{21}&-1\\ 0&1&-a_{12}/a_{21}&0\\ 0&0&0&0 \end{smallmatrix}\Biggr] \end{align}}$$
より
$${\begin{align} \mathrm{C}_\mathbf{A}&=\Bigl\{\Bigl[\begin{smallmatrix} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22} \end{smallmatrix}\Bigr]\in\mathbb{M}_2(K)\,\Bigl|\Bigr.\,{\scriptsize\bigl(b_{11}+\frac{a_{22}-a_{11}}{a_{12}}\,b_{12}-b_{22}=0\bigr)\land\bigl(b_{12}-\frac{a_{12}}{a_{21}}b_{21}=0\bigr)}\Bigr\}\\ &=\Bigl\{\Bigl[\begin{smallmatrix} b_{11}&b_{12}\\ (a_{21}/a_{12})b_{12}&b_{11}+[(a_{22}-a_{11})/a_{12}]b_{12} \end{smallmatrix}\Bigr]\Bigl|\Bigr.\,{\scriptsize b_{11},b_{12}\in K}\Bigr\}\\ &=K\Bigl[\begin{smallmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{smallmatrix}\Bigr] \oplus K \Bigl[\begin{smallmatrix} 0&1\\ a_{21}/a_{12}&(a_{22}-a_{11})/a_{12} \end{smallmatrix}\Bigr] \end{align}}$$
を得る．

$\mathbf{C}_1,\mathbf{C}_2\in\mathbb{M}_2(K)$に対して，$\mathbf{C}_1$と$\mathbf{C}_2$が可換なら$K\mathbf{C}_1\oplus K\mathbf{C}_2$の任意の$2$元も可換になることに注意すれば，以下を得る:

まとめ

上の問題は Twitter でフォロワーの方が呟いていたものを簡単にした (一般の次元で考えていたものを$2$次元にした) ものです．ただ計算しただけなので，線形代数を使った見通しが良い解答などがあれば是非教えてください．(追記: $K=\mathbb{C}$の場合について，delta さんが Jordan 標準形を使った証明をコメントで与えてくださいました．ありがとうございます．)

高次元の場合の反例について

解答にある主張のうち「(1)$\Rightarrow$(2)$\Leftrightarrow$(3)」は次元を$2$以上の整数$n$に広げても成り立ちますが，「(1)$\Leftarrow$(3)」については，$K$の標数が$2$でなく$n$が$4$以上の偶数のときに反例があります (こちらの user1551 氏の回答 を参考にしました)．$n=4$の場合には，例えば$\mathbf{A}=\Biggl[\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&-1 \end{smallmatrix}\Biggr]$が反例になります．実際，$\mathbf{A}$は単位行列の定数倍ではなく，$\mathbf{B}_1=\Biggl[\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{smallmatrix}\Biggr]$と$\mathbf{B}_2=\Biggl[\begin{smallmatrix}0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{smallmatrix}\Biggr]$は
$${\begin{align} \mathbf{A}\mathbf{B}_1&=\Biggl[\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&1 \end{smallmatrix}\Biggr]=\mathbf{B}_1\mathbf{A},\\ \mathbf{A}\mathbf{B}_2&=\Biggl[\begin{smallmatrix}0&0&1&0\\ 0&0&0&-1\\ 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0 \end{smallmatrix}\Biggr]=\mathbf{B}_2\mathbf{A}, \end{align}}$$
より共に$\mathbf{A}$と可換ですが，
$${\mathbf{B}_1\mathbf{B}_2=\Biggl[\begin{smallmatrix}0&0&1&0\\ 0&0&1&0\\ -1&0&0&1\\ 0&-1&0&0 \end{smallmatrix}\Biggr]\ne\Biggl[\begin{smallmatrix}0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{smallmatrix}\Biggr]=\mathbf{B}_2\mathbf{B}_1,}$$
よりこれらは可換ではないので，$\mathbf{A}$は (3) をみたすが (1) をみたさない例になっています．$n=6,8,10,12,14,\dots$の場合にも同様の手法により反例が作れます．