２次形式と素数改訂版2

$$ \widehat{\theta}(x)=(\frac{x}{p})$$
$(\frac{x}{p})$はルジャンドル記号

$p-1$が自然数$N$の倍数のとき、

$T_N$を$ \mathbb{F}_{p}^{\times}$での、ある$1$の原始$N$乗根とします。
$x \neq 0$のとき、
$x^{\frac{p-1}{N}}$は$T_N$を用いて、
$x^{\frac{p-1}{N}}=T_N^v$となる、$v$が存在する。
$\zeta_N$を$\mathbb{C}^\times$でのある$1$の原始$N$乗根
$ \widehat{\theta}(x)=\zeta_N^v$で$\widehat{\theta}(x)$を定義できます。

$p=a^2+b^2$を満たす$p$は$4$で割って$1$余る素数
$G:= \lbrace g \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} | g^{p+1}=1 \rbrace $
$\theta(x):=(\frac{x}{p})$
$(\frac{x}{p})$はルジャンドル記号
$\mathbb{F}_{p} \cap G=G'=\lbrace \pm 1 \rbrace$

$p$は$4$で割って$1$余る素数のため、
$\theta(\pm1)=1$

$\mathbb{F}_{p}^\times G$の元は、
$p-1$と$p+1$の最小公倍数$\frac{p^2-1}{2}$乗すると$1$になるため、
$\mathbb{F}_{p}^\times G$の元は$\mathbb{F}_{p^2}^{\times}$の生成元$\tau$を用いて、
$\tau^{2n}$とあらせる。

$\tau^{2\frac{p-1}{4}+1} =\tau^{\frac{p+1}{2}}$は$p-1$乗すると
$-1$なので、オイラー規準より、
$\mathbb{F}_{p}$の平方非剰余な元$M$用いて、$\tau^{\frac{p+1}{2}}=\sqrt{M}$

$$\mathbb{F}_{p}^\times G \backslash \mathbb{F}_{p^2}^{\times} \simeq\lbrace 1,\tau \rbrace \simeq\lbrace 1,\tau^{2n+1} \rbrace \simeq\lbrace 1,\sqrt{M} \rbrace$$

$\alpha'(z)$はルジャンドル記号の整数性より整数

$p=\alpha'(1)^2+\alpha'(\sqrt{M})^2$

$a=\alpha'(1)$、$b=\alpha'(\sqrt{M})$となり、解の公式が得られた。

$p$を$8$で割って$3$余る素数

$G:= \lbrace g \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} | g^{\frac{p+1}{4}}=1 \rbrace $
$\theta(x):=(\frac{x}{p})$
$(\frac{x}{p})$はルジャンドル記号

$p=8q+3$とすると。
$\frac{p+1}{4}=2q+1$は奇数です。
$\frac{p+1}{4}$は$p-1$と互いに素です。

$\mathbb{F}_{p} \cap G=G'=\lbrace 1 \rbrace$
$\theta(1)=1$

$\mathbb{F}_{p}^\times G$の元は$\frac{p^2-1}{4}$乗で$1$になるため、
生成元$\tau$を用いて、
$\tau^{4n}$とあらせる。

$\mathbb{F}_{p}^\times G \backslash \mathbb{F}_{p^2}^{\times}$の代表元で計算しやすいものを探すと、
$\tau^{\frac{p^2-1}{4}}=\tau^{4(4q^2+3q)+2} $
$\tau^{\frac{p^2-1}{8}}= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \tau^{4(2q^2+3\frac{q}{2})+1} \ \ \ \ q \equiv 0\mod{2} \\ \tau^{4(2q^2+\frac{3q-1}{2})+3} \ \ \ \ q \equiv 1 \mod{2} \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$\tau^{3\frac{p^2-1}{8}}= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \tau^{4(6q^2+\frac{9q}{2})+3} \ \ \ \ q \equiv 0\mod{2} \\ \tau^{4(6q^2+\frac{9q+1}{2})+1} \ \ \ \ q \equiv 1 \mod{2} \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$\mathbb{F}_{p}^\times G \backslash \mathbb{F}_{p^2}^{\times} \simeq \lbrace 1,\tau , \tau^2 , \tau^3 \rbrace \simeq \lbrace 1,\tau^{\frac{p^2-1}{4}} ,\tau^{\frac{p^2-1}{8}} , \tau^{3\frac{p^2-1}{8}} \rbrace $
$G^p=G$,$t(g^pz^p)=t(gz)$より
$\alpha'(z^p)=\alpha'(z)$
$(\tau^{\frac{p^2-1}{4}})^p=\tau^{\frac{p^2-1}{4}p}=\tau^{\frac{p^2-1}{4}3}=-\tau^{\frac{p^2-1}{4}}$
$( \tau^{a\frac{p^2-1}{8}})^p=\tau^{3a\frac{p^2-1}{8}}$
$\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{4}} )=\alpha'((\tau^{\frac{p^2-1}{4}})^p)=\alpha'(-\tau^{\frac{p^2-1}{4}})=-\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{4}}) $
$\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{4}})=0$
$\theta(-1)=-1$を用いた。
$\alpha'( \tau^{\frac{p^2-1}{8}})= \alpha'(( \tau^{\frac{p^2-1}{8}})^p)=\alpha'( \tau^{3\frac{p^2-1}{8}})$

$\alpha'(z)$はルジャンドル記号の整数性より整数
$$p=\alpha'(1)^2+\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{4}})^2+\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{8}})^2+\alpha'(\tau^{3\frac{p^2-1}{8}})^2 \\ =\alpha'(1)^2+2\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{8}})^2$$

$a=\alpha'(1)$、$b=\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{8}})$となり、解の公式が得られた。

$p=a^2+2b^2$
$p$を$8$で割って$1$余る素数
$G:= \lbrace g \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} | g^{p+1}=1 \rbrace $
$T$を$ \mathbb{F}_{p}$での、$1$の原始$4$乗根の$1$つとする。
$x^{\frac{p-1}{4}}$は$T$を用いて、
$x^{\frac{p-1}{4}}=T^v$となる、整数$v$が存在する。
$\theta(x)={(\sqrt{-1})}^v$で$\theta(x)$を定義する。

$ \mathbb{F}_{p} \cap G=G'=\lbrace \pm 1 \rbrace$
$\frac{p-1}{4}$は偶数のため、
$\theta(\pm 1)=1$

$\mathbb{F}_{p} ^\times G \backslash \mathbb{F}_{p^2}^{\times} \simeq\lbrace 1,\sqrt{M} \rbrace $

$M$が平方非剰余で$\theta(M)=-\sqrt{-1}$なら
$M^3$も平方非剰余で$\theta(M^3)=\sqrt{-1}$
$\sqrt{M}$と$M\sqrt{M}$は$\mathbb{F}_{p} ^\times G$剰余類で同じ剰余類に入る。
以上より$\theta(M)=\sqrt{-1}$となるように$M$を選べる。

$\alpha'(z)$はガウス整数

$g=g_1+g_2\sqrt{M}$,$g \in G$,$g_1=t(g)$ならば,$g^{p+1}=g_1^2-Mg_2^2=1$を変形すると、
$(\frac{1}{g_1})^2-M\frac{(\sqrt{-1}g_2)^2}{g_1^2}=1$
($g_1=0$なら両辺の平方剰余、非剰余が異なるため$g_1\neq0$)
$j(g)=\frac{1}{g_1}+\sqrt{M}(\frac{\sqrt{-1}g_2}{g_1})\in G$
$j(j(g))=g^p$より$j(g)$は全単射
$t(j(g))=\frac{1}{g_1}$
$t(g)^{-1}=t(j(g))$

$$\overline{\alpha(1)}=\sum_{g \in G}{\overline{\theta(t(g))}} =\sum_{g \in G}{\theta(t(g)^{-1})}\\ =\sum_{g \in G}{\theta(t(j(g)))}=\sum_{g \in G}{\theta(t(g))}\\ =\alpha(1) $$

$\alpha(1)$は整数
$\alpha'(1)$も整数

$g=g_1+g_2\sqrt{M}$,$g \in G$,

$g^{p+1}=g_1^2-Mg_2^2=1$
$1+Mg_2^2=g_1^2$

$t(g\sqrt{M})=Mg_2$

任意の$x \in \mathbb{F}_{p}^\times$に対して、
$1+Mx^2$は平方剰余か平方非剰余のどちらか
($-1$が平方剰余、$M$が平方非剰余なので、$1+Mx^2=0$にはならいない。)
前者の場合
$1+Mx^2$が平方剰余なら$Mx=t(g\sqrt{M})$を満たす$g \in G$が$２$個あります、$1+Mx^2=y^2$なら$g=\pm y +x\sqrt{M}$の２つです。
後者の場合
$1+Mx^2$が平方非剰余なら$1+Mx^2=y^2M$より
$1+M\frac{1}{x^2M^2}=\frac{y^2}{x^2}$となり、
$\frac{1}{x}=t(g\sqrt{M})となるg \in G$が$２$個あります、
$1+Mx^2=y^2M$なら$g=\pm \frac{y}{x} +\frac{1}{xM}\sqrt{M}$

$x \in \mathbb{F}_{p}^\times$
次で関数$\chi(x)$を定義する。
$\chi(x)= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 1 \ \ \ \ \ \ 1+Mx^2=y^2\\ 0 \ \ \ \ \ \ 1+Mx^2=y^2M \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$\frac{1}{xM}$は$x$に関して対合で不動点はない。
上の場合分けより、
$1=\chi(x)+\chi(\frac{1}{xM}) \ \ \ x\neq0 $
$$\alpha(\sqrt{M})=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(x)2\theta(Mx)=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(x)2\sqrt{-1}\theta(x) $$

$$\alpha(\sqrt{M})=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(\frac{1}{xM})2\theta(\frac{1}{x})=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(\frac{1}{xM})2 \overline{\theta(x)} $$
$$-\sqrt{-1} \alpha(\sqrt{M})+\overline{\alpha(\sqrt{M})}=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}(\chi(x)+\chi(\frac{1}{xM}))2\theta(x)\\ =2\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\theta(x)=0$$
最後は$\theta(x)$の非自明性より

ガウス整数$\beta$が$-\sqrt{-1}\beta+\overline{\beta}=0$を満たすのは、
$b$を整数として、$\beta=b(1-\sqrt{-1})$
これにより、$\alpha(\sqrt{M})$は$1-\sqrt{-1}$の整数倍

$|\alpha'(\sqrt{M})|^2=2b^2$ で
$p=|\alpha'(1)|^2+|\alpha'(\sqrt{M})|^2=\alpha'(1)^2+2b^2$
となる。

$$a=\alpha'(1),b=\frac{\alpha'(\sqrt{M})}{1-\sqrt{-1}}$$
解の公式が得られた。

$p$を$12$で割って$1$余る素数

$G:= \lbrace g \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} | g^{p+1}=1 \rbrace $
$\mathbb{F}_{p} \cap G =G'=\lbrace \pm 1 \rbrace$

$T_3$を$ \mathbb{F}_{p}$での、$1$の原始$3$乗根の$1$つとする。
$x^{\frac{p-1}{3}}$は$T_3$を用いて、
$x^{\frac{p-1}{3}}=T_3^v$となる、$v$が存在する。
$\zeta_3$を$\mathbb{C}$での$1$の原始$3$乗根
$\theta(x)=\zeta_3^v$で$\theta(x)$を定義する。

$\theta(1)=1$
$\frac{p-1}{3}$は偶数ゆえに、
$\theta(-1)=1$

$\alpha(z)$はアイゼンシュタイン整数です。

例$5$と同じ推論により、
$$\overline{\alpha(1)}=\alpha(1) $$

$\alpha(1)$は実数である。
アイゼンシュタイン整数かつ実数は整数のため$\alpha(1)$は整数です。

同じく例$5$と同じ推論により、
$$\theta(M)\alpha(\sqrt{M})+\overline{\alpha(\sqrt{M})}=0$$

$\theta(M)=1$なら
$\alpha(\sqrt{M})$は純虚数である。
純虚数かつアイゼンシュタイン整数は、$\sqrt{-3}$の整数倍
$\alpha(\sqrt{M})=\sqrt{-3}b$

$\theta(M)\neq 1$なら
$\alpha(\sqrt{M})$は$1-\overline{\theta(M)}$の実数倍である。
$\theta(M)$は$\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$か$\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$
$|1-\overline{\theta(M)}|^2=(1-\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})(1-\frac{-1-\sqrt{-3}}{2})=3$
$\alpha(\sqrt{M})=(\frac{3\pm\sqrt{-3}}{2})b$

$a=\alpha'(1)$
$b$の方は上記の場合分けに応じて得られる。
一応解の公式が得られた、

$p$を$12$で割って$7$余る素数
$\frac{p-1}{N}$は偶数とする。
$G:= \lbrace g \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} | g^{p+1}=1 \rbrace $
$\mathbb{F}_{p} \cap G =G'=\lbrace \pm 1 \rbrace$

$\theta(x)$は例$6$と同じとします。

$\mathbb{F}_{p}^\times G$の元は、$\tau^{2 n}$と表せる。
$\mathbb{F}_{p^2}^{\times} /(\mathbb{F}_{p}^\times G)\simeq \lbrace 1,\tau \rbrace $

$\mathbb{F}_{p^2}$の基底として$(1,\sqrt{-1})$が取れます。
$G$の定義式は、
$g=g_1+g_2\sqrt{-1} \ \ \ g \in G$なら
$g^{p+1}=1=g_1^2+g_2^2$
$x^2-1$が平方非剰余なら、
$x=t(g)$となる、$g\in G$が$2$個ある。
$g=x\pm g_2 \sqrt{-1}$

$x^2-1$が平方剰余なら、
$x\neq 0$かつ
$x^2-1=y^2$なので、
$\frac{1}{x^2}-1=-\frac{y^2}{x^2}$
$\frac{1}{x}=t(g)$となる、$g\in G$が$2$個ある。
$g=\frac{1}{x} \pm \frac{y}{x} \sqrt{-1}$

$x= \pm1 $なら、
$x=t(g)$となる、$g\in G$が$1$個ある。
$x=g$

$\frac{1}{x}$は$x$に関して対合で不動点は$\pm 1$
$\chi(x)= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 1 \ \ \ x^2-1=y^2\neq 0\\ 0 \ \ \ x^2-1=-y^2\neq 0\\ \frac{1}{2} \ \ \ x^2-1=0 \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$1=\chi(x)+\chi(\frac{1}{x}) \ \ \ x\neq0 $
$$\alpha(1)=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(x)2\theta(x) $$

$$\alpha(1)=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(\frac{1}{x})2\theta(\frac{1}{x})=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(\frac{1}{x})2 \overline{\theta(x)} $$
$$\alpha(1)+\overline{\alpha(1)}=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}(\chi(x)+\chi(\frac{1}{x}))2\theta(x)\\ =2\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\theta(x)=0$$
最後は$\theta(x)$の非自明性より

$\alpha(1)$は純虚数
$\alpha(1)$はアイゼンシュタイン整数のため$\sqrt{-3}$の整数倍

$p=4q+3$
$\tau$を$\mathbb{F}_{p^2}^\times$の生成元としたとき、
$M=\tau^{p+1}$で$M$で定義する。
$M$は平方非剰余
$-1=\tau^{\frac{p^2-1}{2}}=M^{\frac{p-1}{2}}\\ =M^{\frac{p-3}{2}}M=M^{2q}M$

$(g\tau)^{p+1}=\tau^{p+1}=M$を満たす。
$g\tau=h_1+h_2\sqrt{-1}$としたとき、

$h_1^2+h_2^2=M$かつ$h_1\neq 0$
これを変形すると。
$h_1^2-M=-h_2^2$
$$\frac{M^2}{h_1^2}-M=M\frac{h_2^2}{h_1^2}=-{(\frac{h_2}{M^qh_1})}^2$$
このため、

$$j(g\tau)=\frac{M}{h_1}+\frac{h_2}{M^q h_1}\sqrt{-1}$$

$$j(j(g\tau))=(g\tau)^p$$
のため、$j(g\tau)$は全単射

$$ \alpha(\tau)=\sum_{g \in G}\theta(t(g\tau))=\sum_{g \in G}\theta(t(j(g\tau)))=\sum_{g \in G}\theta(\frac{M}{t(g\tau)})\\ $$ $$=\theta(M)\sum_{g \in G} \overline{\theta(t(g\tau))}\\$$
$$= \theta(M)\overline{\alpha(\tau)} $$
$\alpha(\tau)$は$1+\theta(M)$の実数倍
$\alpha(\tau)$はアイゼンシュタイン整数のため
$\alpha(\tau)$は$1+\theta(M)$の整数倍

$\theta(M)=1$つまり$M=y^3$なら
$\tau^{p+1}=y^3$右辺は$\frac{p-1}{3}$乗で$1$だが左辺は$1$でないため、
$\theta(M)$は$\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$か$\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$
$|1+\theta(M)|^2=(1+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})(1+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2})=1$

以上より
$\alpha'(1)=\sqrt{-3}b$
$|\alpha'(\tau)|=a$
$$p=|\alpha'(1)|^2+|\alpha'(\tau)|^2=a^2+3b^2$$

となり解の公式が得られた。