49と同じ性質をもつ自然数

$(10x^2-y^2)^2+10(2xy)^2=(10x^2+y^2)^2$の形に必ずできるので
このとき$10x^2-y^2$と$2xy$が互いに素でないと仮定すると
$y$は$2$または$5$の倍数である.
いずれの場合を考えても
$(5x^2-2y^2)^2+10(2xy)^2=(5x^2+2y^2)^2$
の形にできる.
一方$(5x^2-2y^2)^2+10(2xy)^2=(5x^2+2y^2)^2$において
$5x^2-2y^2$と$2xy$が互いに素でないと仮定すると
$x$が$2$の倍数または$y$が$5$の倍数である.
いずれの場合を考えても
$(10x^2-y^2)^2+10(2xy)^2=(10x^2+y^2)^2$
の形にできる.

解と係数の関係により
$$0<\alpha+\beta=-\frac{b}{a},0>\alpha \beta=\frac{c}{a}$$
よって$ab<0,ac<0$特に$D=b^2-4ac>b^2$

$a>0$の場合
$$-1<\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}<0<1<\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$$
より$2a+b<\sqrt{D}<2a-b$なので$b<0$である.
$2a+b<-\sqrt{D}$とすると$b+\sqrt{D}>0$に矛盾するので
$-\sqrt{D}<2a+b<\sqrt{D}<2a-b$である.
したがって
$(2a+b)^2< D<(2a-b)^2$
$4a^2+4ab<-4ac<4a^2-4ab$
$a+b<-c< a-b$より$b< a+c<-b$

$a<0$の場合
$$-1<\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}<0<1<\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$$
より$2a-b<-\sqrt{D}<2a+b$なので$b>0$である
$2a-b<-\sqrt{D}<2a+b<\sqrt{D}$が成り立つので
$(2a+b)^2< D<(2a-b)^2$より$-b< a+c< b$

整数$m$が存在し$l^2-D=4km$とすると2次形式$f(x,y)=kx^2+lxy+my^2$の判別式は$D$であり$x=1,y=0$のとき$f(1,0)=k$を満たす.

逆に$f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2=k$が互いに素な整数解$x=x_0,y=y_0$をもつならば$x_0 s - y_0 r = \pm 1$を満たす整数$r,s$が存在する.
$x_0,y_0$が互いに素でなければ$x_0,y_0,k$が共通の因数をもつので
$f(x_0,y_0)=k$の両辺が共通の因数で割りきれる.
互いに素な整数解を原始整数解とよぶことにすると
互いに素でない解は原始整数解の倍数として得られる.
そこで原始整数解についてのみ考えることにする.
2次方程式$ax^2+bx+c=0$の解のひとつを$\omega$とする.
$\omega'$を
$$\omega=\frac{x_0 \omega' +r}{y_0 \omega' +s}$$
と定めると
$a(x_0 \omega'+r)^2+b(x_0\omega'+r)(y_0\omega'+s)+c(y_0 \omega'+s)^2=0$である.
$\omega'$について整理すると
$(ax_0^2+bx_0 y_0+cy_0^2)\omega'^2+(2ax_0 r+bx_0 s+by_0 r+2cy_0 s)\omega'+(ar^2+brs+cs^2)=0$
より$\omega'$の係数を$l,ar^2+brs+cs^2=m$とおくと
$k\omega'^2+l\omega'+m=0$となる.
$x=x_0 X+rY,y=y_0 X+sY$と変換すると$x_0 s-y_0 r=\pm 1$より　
$ax^2+bxy+cy^2$と$kX^2+lXY+mY^2$は対等である.

$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} x & y \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right) = \end{eqnarray} $

$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} X & Y \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} x_0 & y_0 \\ r & s \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} x_0 & r \\ y_0 & s \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} X \\ Y \end{array} \right) = \end{eqnarray} $

$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} X & Y \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} k & \frac{l}{2} \\ \frac{l}{2} & m \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} X \\ Y \end{array} \right) \end{eqnarray} $

より$(ac-\frac{b^2}{4})(x_0 s-y_0 r)^2=km-\frac{l^2}{4}$となるので$l^2-4km=b^2-4ac=D$
したがって$l^2 \equiv D(\mod 4k)$を満たす整数$l$が存在する.