収束列の平均について

117

次の命題はよく知られている:

任意の収束列 $(a_{n})_{n = 0, 1, \dots}$ に対し，
$\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} \frac{a_{0} + \dots + a_{n}}{n + 1} = lim_{n \to \infty} a_{n} . \end{array}$

これは次のように言い換えることができる． $N$ で非負整数の集合を表す．

$N$ 値確率変数の列 $N_{0}$ , $N_{1}$ , $\dots$ について， $N_{k}$ の分布は ${0, \dots, k}$ 上の一様分布 $U_{k}$ に従うとする．このとき任意の収束列 $(a_{n})$ に対して
$\begin{array}{r} lim_{k \to \infty} E [a_{N_{k}}] = lim_{n \to \infty} a_{n} . \end{array}$

与えられた $N$ 値確率変数の列に対し，このような性質を持つための必要十分条件を与える．

$N_{0}$ , $N_{1}$ , $\dots$ を $N$ 値確率変数の列とする．TFAE:
(い) 任意の収束列 $(a_{n})$ に対して $lim_{k \to \infty} E [a_{N_{k}}] = lim_{n \to \infty} a_{n}$ である．
(ろ) 任意の $n \in N$ に対して $lim_{k \to \infty} P [N_{k} = n] = 0$ である．
(は) 任意の有限部分集合 $A \subset N$ に対して $lim_{k \to \infty} P [N_{k} \in A] = 0$ である．

[(い) $\Rightarrow$ (ろ)]任意の $n_{0} \in N$ をとる．このとき ${n_{0}}$ の定義関数 $δ_{n_{0}}$ について，列 $(δ_{n_{0}} (n))$ は $0$ に収束するので，
$\begin{array}{r} 0 = lim_{k \to \infty} E [δ_{n_{0}} (N_{k})] = lim_{k \to \infty} P [N_{k} = n_{0}] \end{array}$
を得る．
[(ろ) $\Rightarrow$ (は)] $lim_{k \to \infty} P [N_{k} \in A] = lim_{k \to \infty} \sum_{n \in A} P [N_{k} = n] = 0$ ．
[(は) $\Rightarrow$ (い)] $(a_{n})$ を任意の収束列とする．極限を $α$ として，列 $(a_{n} - α)$ を考えることで $α = 0$ としてよい．収束列は有界であるので， $M > 0$ があって，任意の $n \in N$ に対し $| a_{n} | \leq M$ とできる．このとき任意の $m \in N$ に対し
$\begin{aligned} | E [a_{N_{k}}] | & \leq (\sum_{n = 0}^{m} + \sum_{n > m}) P [N_{k} = n] \cdot | a_{n} | \\ \leq M \cdot P [N_{k} \leq m] + sup_{n > m} | a_{n} | \cdot P [N_{k} > m] \end{aligned}$
である．よって
$\begin{aligned} \underset{k \to \infty}{\lim^{―}} | E [a_{N_{k}}] | \leq sup_{n > m} | a_{n} | \to 0 & (m \to \infty) \end{aligned}$
を得る．

$N$ 値確率変数の列 $N_{0}$ , $\dots$ が定理の３条件を満たすとする．このとき $+ \infty$ に発散する実数列 $(a_{n})$ に対しても $lim_{k \to \infty} E [a_{N_{k}}] = + \infty$ が成り立つ．実際， $a_{n} > 0$ としてよく，このときマルコフ不等式より，任意の $m > 0$ に対し
$\begin{array}{r} m \cdot P [a_{N_{k}} \geq m] \leq E [a_{N_{k}}] \end{array}$
を得る．よって ${\lim_{―}}_{k \to \infty} E [a_{N_{k}}] \geq m$ を得る．
特に，期待値について $lim_{k \to \infty} E [N_{k}] = + \infty$ が成り立つ．

与えられた数列 $(a_{n})$ に対し，部分和 $s_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k}$ の列 $(s_{n})$ を考える． $N$ 値確率変数 $N$ について，形式的に和を入れ替えれば
$\begin{array}{r} E [s_{N}] = \sum_{n = 0}^{\infty} P [N = n] \sum_{k = 0}^{n} a_{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\sum_{n = k}^{\infty} P [N = n]) a_{k} \end{array}$
となる．これは $N$ が期待値を持つとき正当化される．

$N$ を期待値を持つ $N$ 値確率変数とする．このとき任意の有界列 $(a_{n})$ に対し， $\sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} P [N = n] a_{k}$ は絶対収束する．

$| a_{n} | \leq M$ として，
$\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} P [N = n] | a_{k} | \leq M \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) P [N = n] < \infty . \end{array}$

アーベルの連続性定理

$γ_{p}$ を成功確率 $1 - p$ の幾何分布とする;
$\begin{aligned} P [γ_{p} = n] = (1 - p) \cdot p^{n} & (n \in N) . \end{aligned}$
$(γ_{p})$ は $p ↑ 1$ のとき定理の条件(ろ)をみたす(正確には $p_{n} ↑ 1$ なる任意の列 $(p_{n})$ を考える)．
$\begin{array}{r} \sum_{n = k}^{\infty} P [γ_{p} = n] = (1 - p) \sum_{n = k}^{\infty} p^{n} = p^{k} \end{array}$
である．よって部分和の列 $(s_{n})$ が収束するとき
$\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} = lim_{p ↑ 1} E [s_{γ_{p}}] = lim_{p ↑ 1} \sum_{n = 0}^{\infty} p^{n} a_{n} \end{array}$
である．

投稿日：2023年3月8日

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

dnbkssk

1453

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

dnbkssk

収束列の平均について