ガロア理論①　体に関する諸定義および主な性質

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はじめに

はじめまして。 Qualtagh です。本記事では，ガロア理論の有名な帰結の一つアーベル・ルフィニの定理（五次以上の代数方程式が代数的解法をもたない）を証明することを目標に，具体例を交えながら体論の初歩から解説していきます。余力があれば，正多角形や角度の作図問題についても触れる予定です。
なお，本記事では群論，環論，線形代数の基本的知識を仮定します。

体と部分体・拡大体

体

$0$ でない任意の元が乗法逆元をもつ可換環を体という。すなわち，可換環 $R$ が体であるとは，任意の $a \in R - {0}$ に対し， $b \in R$ が存在して $a b = 1$ を満たすことをいう。

上記の $b$ は $a$ に対して一意である。
そのことを示すために，体は整域であることを確かめておこう。

体は整域である。

ある $x, y \in R - {0}$ が $x y = 0$ を満たすと仮定する。 $R$ は体であったから， $y z = 1$ を満たす $z \in R$ が存在し，したがって仮定より $x y z = 0 \times z$ を得る。よって $x = 0$ となるが $x \in R - {0}$ に矛盾。□

上記の $b$ は $a$ に対して一意である。

$b, c \in R$ がともに $a b = 1, a c = 1$ を満たすとする。このとき $a (b - c) = 0$ を満たし，命題 $1$ および $a \neq 0$ から $b - c = 0$ すなわち $b = c$ が従う。□

上記の $b$ を $a$ の乗法逆元といい， $a^{- 1}$ と書く。このように書くことは乗法逆元の一意性によって正当化される。

体

$ℚ, ℝ, ℂ$ は体である。 $ℤ$ は可換環であるが体ではない。

部分体・拡大体

体 $F$ の部分集合 $K$ が体 $F$ と同じ演算に関して体をなすとき，体 $K$ を体 $F$ の部分体といい，体 $F$ を体 $K$ の拡大体という。

もちろん， $K$ は $F$ の零元と乗法単位元を含んでいなければならない。

部分体・拡大体

$ℚ$ は $ℝ$ の部分体， $ℂ$ は $ℝ$ の拡大体である。いずれの体においても零元は $0$ かつ乗法単位元は $1$ である。

体から体への写像

群や環に対して準同型を考えたように，体に対しても準同型を考えることができる。そこで，体の準同型を環としての準同型として定義する。このとき，次の二三の命題が導かれる。

体の準同型 $f$ に対し， $\ker f = {0}$

$f$ を体 $F$ から体 $K$ への準同型とする。 $0 \in \ker f$ は明らか。 $0$ でない $x \in F$ が $f (x) = 0$ を満たすと仮定すると， $1 = f (1) = f (x x^{- 1}) = f (x) f (x^{- 1}) = 0$ となり矛盾が生じる。□

体の準同型は単射である。

$f$ を体 $F$ から体 $K$ への準同型とし， $x, y \in F$ に対し $f (x) = f (y)$ とする。このとき， $f (x - y) = f (x) - f (y) = 0$ であるから $x - y \in \ker f$
命題 $3$ から $x - y = 0$ 　したがって $x = y$ 　□

$F, K$ を体とする。写像 $f : F \to K$ が全射準同型かつ逆写像 $f^{- 1} : K \to F$ も準同型であるとき， $f$ を体 $F$ から体 $K$ への同型写像という。また，同型写像 $f : F \to K$ が存在するとき，体 $F$ と体 $K$ は同型であるといい， $F ≅ K$ と書く。

実は， $f$ が全射準同型ならば $f^{- 1}$ も準同型であることが言える^[1]ので，後半の条件は不要である。その証明は読者の演習問題とする。

体の準同型・体の同型

$f : ℚ \to ℚ [x] / (x), a \mapsto a + (x)$ は準同型である。
任意の体は恒等写像によって自分自身と同型である。
$M = {(\begin{matrix} a & b \\ - b & a \end{matrix}) | a, b \in ℝ}$ とすると $M$ は体で， $g : M \to ℂ, (\begin{matrix} a & b \\ - b & a \end{matrix}) \mapsto a + b i$ は同型写像である。
$ℝ [X] / (X^{2} + 1) ≅ ℂ$
（ $h : \overset{―}{F (X)} \mapsto F (i)$ は同型写像^[2]）

体の埋め込み

$K, L$ を体とするとき，準同型 $f : K \to L$ を体 $K$ の体 $L$ への埋め込みという。

これは定義というよりむしろ用語の導入なのであるが，「埋め込み」という用語は今後重要となるのでここで紹介しておくこととする。
さて，準同型 $f : K \to L$ が存在するとき， $K$ は $Im f \subset L$ と同型であるから， $K$ は $Im f$ と体として同一視できる。この意味で $K$ は $f$ を介して $L$ に"埋め込める"のである。