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ガロア理論① 体に関する諸定義および主な性質

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はじめに

はじめまして。 Qualtagh です。本記事では,ガロア理論の有名な帰結の一つアーベル・ルフィニの定理(五次以上の代数方程式が代数的解法をもたない)を証明することを目標に,具体例を交えながら体論の初歩から解説していきます。余力があれば,正多角形や角度の作図問題についても触れる予定です。
なお,本記事では群論,環論,線形代数の基本的知識を仮定します。

目次

1.体と部分体・拡大体
2.体から体への写像

体と部分体・拡大体

$0$でない任意の元が乗法逆元をもつ可換環を体という。すなわち,可換環$R$が体であるとは,任意の$a∈R-\{0\}$に対し,$b∈R$が存在して$ab=1$を満たすことをいう。

上記の$b$$a$に対して一意である。
そのことを示すために,体は整域であることを確かめておこう。

体は整域である。

ある$x,y∈R-\{0\}$$xy=0$を満たすと仮定する。$R$は体であったから,$yz=1$を満たす$z∈R$が存在し,したがって仮定より$xyz=0×z$を得る。よって $x=0$となるが$x∈R-\{0\}$に矛盾。□

上記の$b$$a$に対して一意である。

$b,c∈R$がともに$ab=1,ac=1$を満たすとする。このとき$a(b-c)=0$を満たし,命題$1$および$a≠0$から$b-c=0$すなわち$b=c$が従う。□

上記の$b$$a$の乗法逆元といい,$a^{-1}$と書く。このように書くことは乗法逆元の一意性によって正当化される。

$ℚ,ℝ,ℂ$は体である。$ℤ$は可換環であるが体ではない。

部分体・拡大体

$F$の部分集合$K$が体$F$と同じ演算に関して体をなすとき,体$K$を体$F$部分体といい,体$F$を体$K$拡大体という。

もちろん,$K$$F$の零元と乗法単位元を含んでいなければならない。

部分体・拡大体

$ℚ$$ℝ$の部分体,$ℂ$$ℝ$の拡大体である。いずれの体においても零元は$0$かつ乗法単位元は$1$である。

体から体への写像

群や環に対して準同型を考えたように,体に対しても準同型を考えることができる。そこで,体の準同型を環としての準同型として定義する。このとき,次の二三の命題が導かれる。

体の準同型$f$に対し,$\ker{f}=\{0\}$

$f$を体$F$から体$K$への準同型とする。$0∈\ker{f}$ は明らか。$0$でない$x∈F$$f(x)=0$を満たすと仮定すると,$1=f(1)=f(xx^{-1})=f(x)f(x^{-1})=0$となり矛盾が生じる。□

体の準同型は単射である。

$f$を体$F$から体$K$への準同型とし,$x,y∈F$に対し$f(x)=f(y)$とする。このとき,$f(x-y)=f(x)-f(y)=0$であるから$x-y∈\ker{f}$
命題$3$から$x-y=0$ したがって$x=y$ □

$F,K$を体とする。写像$f:F→K$が全射準同型かつ逆写像$f^{-1}:K→F$も準同型であるとき,$f$を体$F$から体$K$への同型写像という。また,同型写像$f:F→K$が存在するとき,体$F$と体$K$同型であるといい,$F≅K$と書く。

実は,$f$が全射準同型ならば$f^{-1}$も準同型であることが言える[1]ので,後半の条件は不要である。その証明は読者の演習問題とする。

体の準同型・体の同型
  • $f:ℚ→ℚ[x]/(x),a↦a+(x)$は準同型である。
  • 任意の体は恒等写像によって自分自身と同型である。
  • $M=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\\\end{pmatrix}\big|a,b∈ℝ\right\}$とすると$M$は体で,$g:M→ℂ,\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\\\end{pmatrix}↦a+bi$ は同型写像である。
  • $ℝ[X]/(X^2+1)≅ℂ$
    $h:\overline{F(X)}↦F(i)$は同型写像[2]
体の埋め込み

$K,L$を体とするとき,準同型$f:K→L$を体$K$の体$L$への埋め込みという。

これは定義というよりむしろ用語の導入なのであるが,「埋め込み」という用語は今後重要となるのでここで紹介しておくこととする。
さて,準同型$f:K→L$が存在するとき,$K$$\mathrm{Im}f⊂L$と同型であるから,$K$$\mathrm{Im}f$と体として同一視できる。この意味で$K$$f$を介して$L$に"埋め込める"のである。

体の埋め込み

$3$$f$はまさに$ℚ$$ℚ[x]/(x)$への埋め込みである。

次の記事では,体を"拡げる"ということをしていきます。体の拡大の様子を調べることで,体の性質を探ることができます。




[1]: 一般の圏では,全単射準同型が同型射であるとは限りません。


[2]: $h$は写像として$\mathrm{well-defined}$です。

投稿日:2023310

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Qualtagh
Qualtagh
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数学徒 じゅけんせいのすがた 扱う分野:位相空間論 群論 環論 体論 位相幾何

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