ガロア理論①　体に関する諸定義および主な性質

2023

はじめに

はじめまして。 Qualtagh です。本記事では，ガロア理論の有名な帰結の一つアーベル・ルフィニの定理（五次以上の代数方程式が代数的解法をもたない）を証明することを目標に，具体例を交えながら体論の初歩から解説していきます。余力があれば，正多角形や角度の作図問題についても触れる予定です。
なお，本記事では群論，環論，線形代数の基本的知識を仮定します。

体と部分体・拡大体

体

$0$でない任意の元が乗法逆元をもつ可換環を体という。すなわち，可換環$R$が体であるとは，任意の$a∈R-\{0\}$に対し，$b∈R$が存在して$ab=1$を満たすことをいう。

上記の$b$は$a$に対して一意である。
そのことを示すために，体は整域であることを確かめておこう。

体は整域である。

ある$x,y∈R-\{0\}$が$xy=0$を満たすと仮定する。$R$は体であったから，$yz=1$を満たす$z∈R$が存在し，したがって仮定より$xyz=0×z$を得る。よって $x=0$となるが$x∈R-\{0\}$に矛盾。□

上記の$b$は$a$に対して一意である。

$b,c∈R$がともに$ab=1,ac=1$を満たすとする。このとき$a(b-c)=0$を満たし，命題$1$および$a≠0$から$b-c=0$すなわち$b=c$が従う。□

上記の$b$を$a$の乗法逆元といい，$a^{-1}$と書く。このように書くことは乗法逆元の一意性によって正当化される。

体

$ℚ,ℝ,ℂ$は体である。$ℤ$は可換環であるが体ではない。

部分体・拡大体

体$F$の部分集合$K$が体$F$と同じ演算に関して体をなすとき，体$K$を体$F$の部分体といい，体$F$を体$K$の拡大体という。

もちろん，$K$は$F$の零元と乗法単位元を含んでいなければならない。

部分体・拡大体

$ℚ$は$ℝ$の部分体，$ℂ$は$ℝ$の拡大体である。いずれの体においても零元は$0$かつ乗法単位元は$1$である。

体から体への写像

群や環に対して準同型を考えたように，体に対しても準同型を考えることができる。そこで，体の準同型を環としての準同型として定義する。このとき，次の二三の命題が導かれる。

体の準同型$f$に対し，$\ker{f}=\{0\}$

$f$を体$F$から体$K$への準同型とする。$0∈\ker{f}$ は明らか。$0$でない$x∈F$が$f(x)=0$を満たすと仮定すると，$1=f(1)=f(xx^{-1})=f(x)f(x^{-1})=0$となり矛盾が生じる。□

体の準同型は単射である。

$f$を体$F$から体$K$への準同型とし，$x,y∈F$に対し$f(x)=f(y)$とする。このとき，$f(x-y)=f(x)-f(y)=0$であるから$x-y∈\ker{f}$
命題$3$から$x-y=0$　したがって$x=y$　□

$F,K$を体とする。写像$f:F→K$が全射準同型かつ逆写像$f^{-1}:K→F$も準同型であるとき，$f$を体$F$から体$K$への同型写像という。また，同型写像$f:F→K$が存在するとき，体$F$と体$K$は同型であるといい，$F≅K$と書く。

実は，$f$が全射準同型ならば$f^{-1}$も準同型であることが言える^[1]ので，後半の条件は不要である。その証明は読者の演習問題とする。

体の準同型・体の同型

$f:ℚ→ℚ[x]/(x),a↦a+(x)$は準同型である。
任意の体は恒等写像によって自分自身と同型である。
$M=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\\\end{pmatrix}\big|a,b∈ℝ\right\}$とすると$M$は体で，$g:M→ℂ,\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\\\end{pmatrix}↦a+bi$ は同型写像である。
$ℝ[X]/(X^2+1)≅ℂ$
（$h:\overline{F(X)}↦F(i)$は同型写像^[2]）

体の埋め込み

$K,L$を体とするとき，準同型$f:K→L$を体$K$の体$L$への埋め込みという。

これは定義というよりむしろ用語の導入なのであるが，「埋め込み」という用語は今後重要となるのでここで紹介しておくこととする。
さて，準同型$f:K→L$が存在するとき，$K$は$\mathrm{Im}f⊂L$と同型であるから，$K$は$\mathrm{Im}f$と体として同一視できる。この意味で$K$は$f$を介して$L$に"埋め込める"のである。