ランダム強制法はKnasterの性質を満たす (The random forcing satisfies the Knaster property)

集合論,強制法

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ランダム強制法がKnasterの性質を満たすことを示す．

ランダム強制法とは，
$B = {p \subseteq 2^{ω} : p はBorel集合で μ (p) > 0}$
で通常の包含関係で順序を入れた強制概念を指す．ここで $μ$ は $2^{ω}$ 上の通常の測度．

強制概念 $P$ がKnasterの性質を満たすとは，どんな非可算な部分集合 $A \subseteq P$ についても非可算な部分集合 $B \subseteq A$ がとれて， $B$ のどの2元も両立することを意味する．

Knasterの性質を満たす強制概念はcccを満たすことは明らかである．
またランダム強制法がcccを満たすことはとてもよく知られた事実である．
実はより強いKnasterの性質を満たすことを見ていく．

この証明はJorge Antonio Cruz Chapital氏に教えていただいた．

次のErdős-Dushnik-Millerの定理はこの記事では証明せず認めて使う．証明はJechの本などを参照のこと．

Erdős-Dushnik-Millerの定理

$ω_{1} \to (ω_{1}, ω)^{2}$ である．
言い換えると，どんな色塗り $c : [ω_{1}]^{2} \to 2$ についても次のどちらかが成り立つ．

ある $H \in [ω_{1}]^{ω_{1}}$ があって， $c$ は $[H]^{2}$ 上で定数 $0$ を取る．
ある $K \in [ω_{1}]^{ω}$ があって， $c$ は $[K]^{2}$ 上で定数 $1$ を取る．

ランダム強制法はKnasterの性質を満たす．

$B$ の非可算部分集合 $A$ を任意にとる． $A$ を縮めてサイズ $ℵ_{1}$ にしておく．
$A_{n} = {p \in A : μ (p) > 1 / n}$ とおくと $A = ⋃_{n \in ω_{> 0}} A_{n}$ であるため，ある $n$ が存在して $A_{n}$ が非可算なので，はじめからこの $A_{n}$ が $A$ であったとして，すべての $p \in A$ について $μ (p) > 1 / n$ としてよい．
$A$ 上の色塗り $c : A \to 2$ を
$c (p, q) = {\begin{cases} 0 & p と q が両立可能なとき \\ 1 & p と q が両立不能なとき \end{cases}$
と定める．
Erdős-Dushnik-Millerの定理の条件1か条件2のどちらかが成り立つが，条件2はありえない．
なぜなら， $P$ の元であって互いに両立不能なものはたかだか $n$ 個しかないからだ．
よって，条件1が成り立つ．すなわち濃度 $ℵ_{1}$ の $B \subseteq A$ がとれて， $c$ は $[B]^{2}$ 上で定数 $1$ をとるが， $c$ の定義よりこれはKnasterの性質の証拠となる部分集合である．