ランダム強制法はKnasterの性質を満たす (The random forcing satisfies the Knaster property)
ランダム強制法がKnasterの性質を満たすことを示す．
ランダム強制法とは，
$$
\mathbb{B} = \{ p \subseteq 2^\omega : p\text{はBorel集合で }\mu(p) > 0 \}
$$
で通常の包含関係で順序を入れた強制概念を指す．ここで$\mu$は$2^\omega$上の通常の測度．
強制概念$P$がKnasterの性質を満たすとは，どんな非可算な部分集合$A \subseteq P$についても非可算な部分集合$B \subseteq A$がとれて，$B$のどの2元も両立することを意味する．
Knasterの性質を満たす強制概念はcccを満たすことは明らかである．
またランダム強制法がcccを満たすことはとてもよく知られた事実である．
実はより強いKnasterの性質を満たすことを見ていく．
この証明はJorge Antonio Cruz Chapital氏に教えていただいた．
次のErdős-Dushnik-Millerの定理はこの記事では証明せず認めて使う．証明はJechの本などを参照のこと．
$\omega_1 \rightarrow (\omega_1, \omega)^2$である．
言い換えると，どんな色塗り$c \colon [\omega_1]^2 \to 2$についても次のどちらかが成り立つ．
- ある$H \in [\omega_1]^{\omega_1}$があって，$c$は$[H]^2$上で定数$0$を取る．
- ある$K \in [\omega_1]^{\omega}$があって，$c$は$[K]^2$上で定数$1$を取る．
ランダム強制法はKnasterの性質を満たす．
$\mathbb{B}$の非可算部分集合$A$を任意にとる．$A$を縮めてサイズ$\aleph_1$にしておく．
$A_n = \{ p \in A : \mu(p) > 1/n \}$とおくと$A = \bigcup_{n \in \omega_{>0}} A_n$であるため，ある$n$が存在して$A_n$が非可算なので，はじめからこの$A_n$が$A$であったとして，すべての$p \in A$について$\mu(p) > 1/n$としてよい．
$A$上の色塗り$c \colon A \to 2$を
$$
c(p, q) = \begin{cases} 0 & \text{$p$と$q$が両立可能なとき} \\ 1 & \text{$p$と$q$が両立不能なとき} \end{cases}
$$
と定める．
Erdős-Dushnik-Millerの定理の条件1か条件2のどちらかが成り立つが，条件2はありえない．
なぜなら，$P$の元であって互いに両立不能なものはたかだか$n$個しかないからだ．
よって，条件1が成り立つ．すなわち濃度$\aleph_1$の$B \subseteq A$がとれて，$c$は$[B]^2$上で定数$1$をとるが，$c$の定義よりこれはKnasterの性質の証拠となる部分集合である．