大学数学基礎解説

ガロア理論②　体を拡げる

代数学,体論,ガロア理論

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はじめに

前回の記事で，拡大体を定義しました。今回は，実際に体を"拡げる"ということをしていきます。が，その前に，前回導入を忘れていた記法を導入しておきます。

体$L$が体$K$の拡大体であることを$L/K$と書く。

ということで本題に移りましょう。

中間体・添加した体

中間体

体$L$を体$K$の拡大体とする。体$M$が体$K$の拡大体かつ体$L$の部分体であるとき，体$M$を$L/K$の中間体といい，$L/M/K$と書く。

包含関係は$K⊆M⊆L$となる。

中間体

$ℝ$は$ℂ/ℚ$の中間体である。
$ℚ[\sqrt2]=\{p+q\sqrt2|p,q∈ℚ\}$は$ℝ/ℚ$の中間体である。

添加した体

$L/K$および$A⊆L$に対し，$A$を含む最小の中間体を$K$に$A$を添加した体といい，$K(A)$と書く。特に$A$が有限集合$\{a_1,a_2,…,a_n\}$のとき，単に$K(a_1,a_2,…,a_n)$と書く。
$L/M/K$に対し$α∈L$が存在して$M=K(α)$を満たすとき$M\bs K$を単拡大といい，$α$を$M/K$の生成元という。

$K$に$A$の元を追加しただけでは一般には$K(A)$にはならない。

インフォーマルな言い方をすれば，$K(A)$とは$K,A$の元を使った四則演算^[1]によって表されるような$L$の元だけを すべて 集めてできる体である。もちろん，$A⊆K$ならば$K(A)=K$となる。

添加した体

$ℚ(\sqrt2)$ は例$1$の$ℚ[\sqrt2]$に一致する。
$ℚ(\sqrt2,\sqrt3)=ℚ(\sqrt2+\sqrt3)$
$ℂ=ℝ(i)$

上の例はどれも単拡大である。議論に慣れるため，最初の二つを簡単に証明しておこう（最後の例は明らかであろう）。

$ℚ(\sqrt2)=ℚ[\sqrt2]$

$ℚ[\sqrt2]⊆ℚ(\sqrt2)$は定義から明らかなので，逆の包含関係を示す。そのためには
$\displaystyle\frac{1}{p+q\sqrt2}∈ℚ[\sqrt2]\;(p,q∈ℚ∧(p,q)≠(0,0))$をいえば十分であるが，
$\displaystyle\frac{1}{p+q\sqrt2}=\frac{p}{p^2-2q^2}-\frac{q}{p^2-2q^2}\sqrt2$
から直ちに示される。□

$ℚ(\sqrt2,\sqrt3)=ℚ(\sqrt2+\sqrt3)$

$ℚ(\sqrt2+\sqrt3)⊆ℚ(\sqrt2,\sqrt3)$は明らかなので，逆の包含関係を示す。そのためには$\sqrt2,\sqrt3∈ℚ(\sqrt2+\sqrt3)$をいえば十分である。$\displaystyle x=\sqrt2+\sqrt3,y=\sqrt2-\sqrt3\left(=-\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\right)$ は$ℚ(\sqrt2+\sqrt3)$の元であり，$\displaystyle\sqrt2=\frac{x+y}{2},\sqrt3=\frac{x-y}{2}$ であるから，$\sqrt2,\sqrt3∈ℚ(\sqrt2+\sqrt3)$　□

拡大次数

$L/K$を$K$-線形空間と見なしたときの次元を$L/K$の拡大次数といい，$[L:K]$と書く。$[L:K]<∞$であるとき，$L/K$は有限次拡大であるといい，そうでないとき無限次拡大であるという。

$L/K$が線形空間の公理を満足することは各自で確かめよ。定義によれば，$[L:K]=n(<∞)$とは「$n$個の一次独立な$L$の元が存在して，その$K$係数の一次結合によって$L$の任意の元が表せること」に他ならない。

拡大次数

$[ℚ(\sqrt2):ℚ]=2$（基底として$\{1,\sqrt2\}$がとれる）
$[ℚ(\sqrt[3]{2}):ℚ]=3$（基底として$\{1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2^2}\}$がとれる）
$[ℚ(\sqrt2+\sqrt3):ℚ]=4$（基底として$\{1,\sqrt2,\sqrt3,\sqrt6\}$がとれる）

これも，議論に慣れるため最初の例について証明する（他の二つの例について同じように示そうとするとやや面倒である）。

上で示したように$ℚ(\sqrt2)=\{p+q\sqrt2|p,q∈ℚ\}$であるから，$<1,\sqrt2>$は$ℚ(\sqrt2)$を生成する。
次に$p+q\sqrt2=0$とし，このとき$q≠0$と仮定すると，$\displaystyle\frac{p}{q}=-\sqrt2$を得るが，これは$p,q∈ℚ$に矛盾する。ゆえに$q=0$であり，$p=0$も従う。よって$1,\sqrt2$は一次独立である。□