3次元アステロイドの表面積を計算してみた

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はじめに

　この記事ではラプラシアンの三次元極座標表示
$\begin{array}{rcl} Δ & := & \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \\ = & \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2}}{\partial φ^{2}} \end{array}$
に並んで暴力的計算量を誇る問題として悪名高い(らしい)三次元アステロイドの表面積を計算してみようと思います。

アステロイドとは

　アステロイドは半径 $a$ の円の内側に半径 $a / 4$ の円を転がしたときの軌跡(→ シミュレーター )として描かれる図形であり、
$\begin{array}{rcl} (x, y) & = & \frac{a}{4} (3 \cos t + \cos 3 t, 3 \sin t - \sin 3 t) \\ = & a (\cos^{3} t, \sin^{3} t) \end{array}$
という媒介変数表示、あるいは
$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$
という方程式によって表すことができます。

イメージ図

　これの三次元への一般化として
$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} + z^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$
という方程式によって定まる曲面を三次元アステロイドと言います。

拾い画

表面積を求める

　ということでこれの表面積をノーヒントで計算してみます。以下、簡単のため $a = 1$ とします。まあ明らかに
$r = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos^{3} t \sin^{3} s \\ \sin^{3} t \sin^{3} s \\ \cos^{3} s \end{matrix})$
と媒介変数表示できるのでこれに表面積の公式
$S = \iint_{D} | \frac{\partial r}{\partial t} \times \frac{\partial r}{\partial s} | d t d s$
を適用してみます。
　各偏微分は
$\begin{array}{rcl} \frac{\partial r}{\partial t} & = & 3 \sin t \cos t \sin^{3} s (\begin{array}{c} - \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{array}) \\ \frac{\partial r}{\partial s} & = & 3 \sin s \cos s (\begin{array}{c} \cos^{3} t \sin s \\ \sin^{3} t \sin s \\ - \cos s \end{array}) \end{array}$
と計算でき、その外積は
$\begin{array}{rcl} \frac{\partial r}{\partial t} \times \frac{\partial r}{\partial s} & = & - 9 \sin t \cos t \sin^{4} s \cos s (\begin{array}{c} \sin t \cos s \\ \cos t \cos s \\ \sin t \cos t \sin s \end{array}) \\ | \frac{\partial r}{\partial t} \times \frac{\partial r}{\partial s} | & = & 9 | \sin t \cos t \sin^{4} s \cos s | \sqrt{\cos^{2} s + \sin^{2} t \cos^{2} t \sin^{2} s} \end{array}$
となります。
　ということで $u = \sin^{2} t, v = \sin^{2} s$ と変数変換することで
$\begin{array}{rcl} S & = & 8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 9 \sin t \cos t \sin^{4} s \cos s \sqrt{\cos^{2} s + \sin^{2} t \cos^{2} t \sin^{2} s} d t d s \\ = & 18 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} v^{\frac{3}{2}} \sqrt{(1 - v) + u (1 - u) v} d u d v \\ = & 36 \int_{0}^{1} \int_{0}^{\frac{1}{2}} v^{\frac{3}{2}} \sqrt{(1 - v) + u (1 - u) v} d u d v \\ = & 18 \int_{0}^{1} \int_{0}^{\frac{1}{2}} v^{\frac{3}{2}} \sqrt{(4 - 3 v) - {(1 - 2 u)}^{2} v} d u d v \\ = & 9 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} v^{\frac{3}{2}} \sqrt{(4 - 3 v) - v u^{2}} d u d v \end{array}$
と変形できますね。

積分を計算する

$\int_{0}^{x} \sqrt{a - b t^{2}} d t = \frac{1}{2} (\frac{a}{\sqrt{b}} \arcsin \sqrt{\frac{b}{a}} x + x \sqrt{a - b x^{2}})$

　 $t = \sqrt{\frac{a}{b}} y, y = \sin θ$ とおくと
$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{x} \sqrt{a - b t^{2}} d t & = & \frac{a}{\sqrt{b}} \int_{0}^{y} \sqrt{1 - y^{2}} d y \\ = & \frac{a}{\sqrt{b}} \int_{0}^{θ} \cos^{2} θ d θ \\ = & \frac{a}{\sqrt{b}} \frac{θ + \sin θ \cos θ}{2} \\ = & \frac{a}{2 \sqrt{b}} (\arcsin y + y \sqrt{1 - y^{2}}) \end{array}$
とわかる。

　これを使うと
$S = \frac{9}{2} \int_{0}^{1} (v (4 - 3 v) \arcsin \sqrt{\frac{v}{4 - 3 v}} + 2 v^{\frac{3}{2}} \sqrt{1 - v}) d v$
となります。二項目についてはベータ関数の公式
$B (x, y) := \int_{0}^{1} t^{x - 1} (1 - t)^{y - 1} d t = \frac{Γ (x) Γ (y)}{Γ (x + y)}$
および $Γ (\frac{1}{2}) = \sqrt{π}$ を使うと
$\int_{0}^{1} 2 v^{\frac{3}{2}} \sqrt{1 - v} d v = 2 B (\frac{5}{2}, \frac{3}{2}) = \frac{2 Γ (\frac{5}{2}) Γ (\frac{3}{2})}{Γ (4)} = \frac{\frac{3}{8} Γ (\frac{1}{2})^{2}}{3} = \frac{π}{8}$
と計算でき、一項目については
${(\arcsin \sqrt{\frac{v}{4 - 3 v}})}^{'} = \frac{(4 - 3 v) + 3 v}{2 \sqrt{v (4 - 3 v)^{3}}} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v}{4 - 3 v}}} = \frac{1}{(4 - 3 v) \sqrt{v (1 - v)}}$
に注意して部分積分することで
$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{1} v (4 - 3 v) \arcsin \sqrt{\frac{v}{4 - 3 v}} d v \\ = & {[- (\frac{32}{27} - 2 v^{2} + v^{3}) \arcsin \sqrt{\frac{v}{4 - 3 v}}]}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} (\frac{8}{27} + \frac{2}{9} v - \frac{1}{3} v^{2}) \frac{d v}{\sqrt{v (1 - v)}} \\ = & - \frac{5}{27} \frac{π}{2} + \frac{8}{27} B (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) + \frac{2}{9} B (\frac{3}{2}, \frac{1}{2}) - \frac{1}{3} B (\frac{5}{2}, \frac{1}{2}) \\ = & (- \frac{5}{54} + \frac{8}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{8}) π \end{array}$
と計算できます。
　以上より
$S = \frac{9}{2} (- \frac{5}{54} + \frac{8}{27} + \frac{1}{9}) π = \frac{- 5 + 16 + 6}{12} π = \frac{17}{12} π$
を得ます。計算できちゃった。
　随所の情報とも一致するのでこれで終わりです。はい。

おわりに

　この記事では某氏に推されて三次元アステロイドの表面積を計算したわけですが、確かにやる気の削がれる見た目の式はいくつか出てきたものの、めんどくさがらず定石通りにやれば割とキレイに求まって面白いですね。
　前評判から割と計算に苦労するものだと思ってましたが
$S = \iint_{D} | \frac{\partial r}{\partial t} \times \frac{\partial r}{\partial s} | d t d s$
や
$B (x, y) = \frac{Γ (x) Γ (y)}{Γ (x + y)}, Γ (\frac{1}{2}) = \sqrt{π}$
のような近道(?)を使ったからかさほど悩むことはありませんでした(この程度の計算には慣れっこなのもあるかも)。
　皆も数学の道に進むんならこのくらいの計算は楽々勝々にこなそうな❗❗😁👊