多重調和和と多重ゼータ値の級数展開と母関数について
私がこの前投稿した、"The expanded series of multiple harmonic sums and multiple zeta values" という論文の解説記事です。
全文はこちらからご覧いただけます。
https://zenodo.org/record/7736712
それではさっそくいきましょう。
目的
今回の目的は、多重調和和についての収束する級数展開を手に入れることです。
たとえば指数関数には
\begin{eqnarray} e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray}
という級数展開があって、この表示から導ける数々の性質があります。それを多重調和和に適用しようというのが今回の目的です。
記法
- この記事を通してインデックスは左向きで書きます。つまり、\begin{eqnarray} \zeta(\alpha_1, \cdots, \alpha_m) &:=& \sum_{0 < k_m < k_{m-1} < \cdots < k_1} \frac{1}{ {k_1}^{\alpha_1}{k_2}^{\alpha_2} \cdots {k_m}^{\alpha_m} } \nonumber \\ &=& \sum_{k_m=1}^{\infty}\sum_{k_{m-1}=k_m+1}^{\infty} \cdots \sum_{k_1=k_2+1}^{\infty}\frac{1}{ {k_1}^{\alpha_1} {k_2}^{\alpha_2} \cdots {k_m}^{\alpha_m} } \nonumber \end{eqnarray}とします。$1 < \alpha_1$ を満たすインデックスを許容インデックスと呼びます。
- 右多重調和和を\begin{eqnarray} \zeta_q(\alpha_1, \cdots, \alpha_m) &:=& \sum_{0 < k_m < k_{m-1} < \cdots < k_1 \leq q} \frac{1}{ {k_1}^{\alpha_1}{k_2}^{\alpha_2} \cdots {k_m}^{\alpha_m} } \nonumber \\ &=& \sum_{k_m=1}^{q}\sum_{k_{m-1}=k_m+1}^{q} \cdots \sum_{k_1=k_2+1}^{q}\frac{1}{ {k_1}^{\alpha_1} {k_2}^{\alpha_2} \cdots {k_m}^{\alpha_m} } \nonumber \end{eqnarray}で定義し、左多重調和和を\begin{eqnarray} {}_q\zeta(\alpha_1, \cdots, \alpha_m) &:=& \sum_{q < k_m < k_{m-1} < \cdots < k_1} \frac{1}{ {k_1}^{\alpha_1}{k_2}^{\alpha_2} \cdots {k_m}^{\alpha_m} } \nonumber \\ &=& \sum_{k_m=q+1}^{\infty}\sum_{k_{m-1}=k_m+1}^{\infty} \cdots \sum_{k_1=k_2+1}^{\infty}\frac{1}{ {k_1}^{\alpha_1} {k_2}^{\alpha_2} \cdots {k_m}^{\alpha_m} } \nonumber \end{eqnarray}と定義します。また、$\zeta_q(\alpha_k, \cdots, \alpha_{k-1}) = {}_q\zeta(\alpha_k, \cdots, \alpha_{k-1}) := 1$と定義します。
- ${\lbrace \alpha \rbrace}^m := (\underbrace{\alpha, \cdots, \alpha}_{m})$ と定義します。
- 差分作用素を \begin{eqnarray} \Delta_q[f(q)] := f(q+1)-f(q) \nonumber \end{eqnarray} で定義します。
- $\mathrm{S}_\mathrm{1st}\binom{\alpha}{\beta}$ は符号なし第1種スターリング数を表します。このとき、
\begin{eqnarray} \mathrm{S}_\mathrm{1st}\binom{\alpha}{\beta}=(\alpha-1)!\zeta_{\alpha-1}\left(\lbrace 1 \rbrace^{\beta-1}\right) \end{eqnarray} が成立しています。 - インデックス $\mathbb{A} = (\alpha_1, \cdots, \alpha_m)$ に対して、その除去インデックスを$\mathbb{A}_{[j]} := (\alpha_1, \cdots, \alpha_j)$, $\mathbb{A}^{[j]} := (\alpha_{j+1}, \cdots, \alpha_m)$ と定義します。
- 許容インデックス$\mathbb{A}$に対して、その双対インデックスを$\mathbb{A}^\dagger$とします。
主定理
記法の紹介が終わったところで、主定理を証明しましょう。
許容インデックス $\mathbb{A} = (\alpha_1, \cdots, \alpha_m)$ 及び$q \notin \mathbb{Z}_{< 0}$に対して次が成立する：
\begin{eqnarray}
&& \zeta(\mathbb{A}) - \zeta_q(\mathbb{A}) = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=1}^{m} \frac{A_{j,k}\zeta_q(\mathbb{A}^{[j]})}{k+\alpha_1-1}\frac{q!}{(q+k+\alpha_1-1)!}. \nonumber
\end{eqnarray}
ここで、$A_{j,k}$は$x$についての次の恒等式を帰納的に満たす：
\begin{eqnarray}
&& \forall x, \; \; \; \sum_{k=0}^{\infty}A_{j+1,k}\frac{x!}{(x+k+\alpha_1)!} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{A_{j,k}}{(k+\alpha_1-1)(x+1)^{\alpha_{j+1}-1}}\frac{x!}{(x+k+\alpha_1)!} \; \; \; (1 \leq j \leq m-1),\nonumber \\
&& A_{1,k} = \mathrm{S}_\mathrm{1st}\binom{k+\alpha_1-1}{\alpha_1-1} = (k+\alpha_1-2)!\zeta_{k+\alpha_1-2}(\lbrace 1 \rbrace^{\alpha_1-2}). \nonumber
\end{eqnarray}
両辺を差分作用素で計算すれば証明が完了する。まず、左辺は
\begin{eqnarray}
&& \Delta_q[\zeta(\alpha_1, \cdots, \alpha_m) - \zeta_q(\alpha_1, \cdots, \alpha_m)] \nonumber \\
&=& -\Delta_q[\zeta_q(\alpha_1, \cdots, \alpha_m)] \nonumber \\
&=& -\sum_{k_m=1}^{q+1}\sum_{k_{m-1}=k_m+1}^{q+1} \cdots \sum_{k_1=k_2+1}^{q+1}\frac{1}{ {k_1}^{\alpha_1} {k_2}^{\alpha_2} \cdots {k_m}^{\alpha_m} } \nonumber \\
&&+\sum_{k_m=1}^{q}\sum_{k_{m-1}=k_m+1}^{q} \cdots \sum_{k_1=k_2+1}^{q}\frac{1}{ {k_1}^{\alpha_1} {k_2}^{\alpha_2} \cdots {k_m}^{\alpha_m} } \nonumber \\
&=& -\frac{\zeta_q(\alpha_2, \cdots, \alpha_m)}{(q+1)^{\alpha_1}}
\end{eqnarray}と計算できる。次に右辺は、
\begin{eqnarray}
&&\Delta_q \left[\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=1}^{m} \frac{A_{j,k}\zeta_q(\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_m)}{k+\alpha_1-1}\frac{q!}{(q+k+\alpha_1-1)!} \right] \nonumber \\
&=& -\sum_{k=0}^{\infty}\zeta_q(\alpha_2,\cdots,\alpha_m) \mathrm{S}_\mathrm{1st}\binom{k+\alpha_1-1}{\alpha_1-1}\frac{q!}{(q+k+\alpha_1)!} \nonumber \\
&&-\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=1}^{m-1}\left(A_{j+1,k}-\frac{A_{j,k}}{(k+\alpha_1-1)(q+1)^{\alpha_{j+1}-1}}\right) \zeta_q(\alpha_{j+2},\cdots,\alpha_m) \frac{q!}{(q+k+\alpha_1)!} \nonumber \\
&=& -\frac{\zeta_q(\alpha_2, \cdots, \alpha_m)}{(q+1)^{\alpha_1}}-\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=1}^{m-1}\left(A_{j+1,k}-\frac{A_{j,k}}{(k+\alpha_1-1)(q+1)^{\alpha_{j+1}-1}}\right)\zeta_q(\alpha_{j+2},\cdots,\alpha_m)\frac{q!}{(q+k+\alpha_1)!}
\end{eqnarray} と計算できる。$A_{j,k}$の定義から、
\begin{eqnarray}
\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=1}^{m-1}\left(A_{j+1,k}-\frac{A_{j,k}}{(k+\alpha_1-1)(q+1)^{\alpha_{j+1}-1}}\right)\zeta_q(\alpha_{j+2},\cdots,\alpha_m)\frac{q!}{(q+k+\alpha_1)!}=0 \nonumber
\end{eqnarray}
を得る。従って
\begin{eqnarray}
\Delta_q\left[\zeta(\alpha_1, \cdots, \alpha_m) - \zeta_q(\alpha_1, \cdots, \alpha_m) \right] = \Delta_q\left[\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=1}^{m} \frac{A_{j,k}\zeta_q(\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_m)}{k+\alpha_1-1}\frac{q!}{(q+k+\alpha_1-1)!} \right].
\end{eqnarray}
よって両辺は定数の差を除いて等しい。いま、
\begin{eqnarray}
\lim_{q\to \infty} \zeta(\alpha_1, \cdots, \alpha_m) - \zeta_q(\alpha_1, \cdots, \alpha_m) = \lim_{q\to \infty} \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=1}^{m} \frac{A_{j,k}\zeta_q(\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_m)}{k+\alpha_1-1}\frac{q!}{(q+k+\alpha_1-1)!} = 0
\end{eqnarray}
より証明は終了する。
Q.E.D.
これで主定理の証明は終わりました。
謎の展開係数
ですが、まだこれだけでは満足できません。謎の展開係数$A_{j,k}$があるからです。
$A_{j,k}$の正体を追ってみましょう。
次が成立：
\begin{eqnarray}
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A_{j,k}}{k+\alpha_1-1}\frac{q!}{(q+k+\alpha_1-1)!}={}_q\zeta(\mathbb{A}_{[j]}). \nonumber
\end{eqnarray}
両辺に差分作用素を適用する。左辺は
\begin{eqnarray}
&& \Delta_q\left[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A_{{j+1},k}}{k+\alpha_1-1}\frac{q!}{(q+k+\alpha_1-1)!}\right] \nonumber \\
&=& -\sum_{k=0}^{\infty}A_{{j+1},k}\frac{q!}{(q+k+\alpha_1)!} \nonumber \\
&=& -\frac{1}{(q+1)^{\alpha_{j+1}}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A_{j,k}}{(k+\alpha_1-1)}\frac{(q+1)!}{(q+k+\alpha_1)!} \nonumber
\end{eqnarray}であり、右辺は
\begin{eqnarray}
&& \Delta_q\left[{}_q\zeta(\mathbb{A}_{[j+1]})\right] \nonumber
&=& -\frac{1}{(q+1)^{\alpha_{j+1}}}{}_{q+1}\zeta(\mathbb{A}_{[j]}). \nonumber
\end{eqnarray}
よく見ると同じ漸化式を満たしていることがわかる。$A_{1,k}={}_q\zeta(\alpha_1)$ は簡単に確認できて、$q \to \infty$ で両辺は$0$に収束するから証明は終了する。
Q.E.D.
$q \notin \mathbb{Z}_{< 0}$で次が成立する：
\begin{eqnarray}
\zeta(\mathbb{A})=\sum_{k=0}^{m} {}_q\zeta(\mathbb{A}_{[k]})\zeta_q(\mathbb{A}^{[k]}). \nonumber
\end{eqnarray}
よって、$A_{j,k}$の母関数は${}_q\zeta\left(\mathbb{A}_{[j]}\right)$ということになります。ここから$A_{j,k}$を求めることができると思いますが、私の力不足により証明には至っていません。予想を紹介します。
次が成立：
\begin{eqnarray}
A_{j,k}=\frac{(k+\alpha_1-2)!}{(k+\alpha_1-1)^{{((\mathbb{A}_{[j]})^\dagger)_{[1]}}-2}} \zeta_{k+\alpha_1-2}(((\mathbb{A}_{[j]})^\dagger)^{[1]}). \nonumber
\end{eqnarray}
ここで、
\begin{eqnarray}
A^{(\alpha)}=A^{\alpha} \nonumber
\end{eqnarray}
とする。
許容インデックス$\mathbb{A}$及び$q \notin \mathbb{Z}_{< 0}$に対して次が成立：
\begin{eqnarray} && \zeta(\mathbb{A}) - \zeta_q(\mathbb{A}) = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=1}^{m} \frac{(k+\alpha_1-2)!\zeta_{k+\alpha_1-2}(((\mathbb{A}_{[j]})^\dagger)^{[1]})\zeta_q(\mathbb{A}^{[j]})}{(k+\alpha_1-1)^{{((\mathbb{A}_{[j]})^\dagger)_{[1]}}-1}}\frac{q!}{(q+k+\alpha_1-1)!}. \nonumber \end{eqnarray}
許容インデックス$\mathbb{A}$に対して次が成立：
\begin{eqnarray}
\zeta(\mathbb{A})=\zeta(\mathbb{A}^\dagger) \nonumber
\end{eqnarray}
予想を仮定すれば、MZV明示展開公式において$q=0$として
\begin{eqnarray}
\zeta(\mathbb{A})=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\zeta_{k+\alpha_1-2}((\mathbb{A}^\dagger)^{[1]})}{(k+\alpha_1-1)^{(\mathbb{A}^\dagger)_{[1]}}}=\zeta(\mathbb{A}^\dagger). \nonumber
\end{eqnarray}
Q.E.D.
予想を仮定すれば双対性を導くことができますが、予想の仮定なしでも種々の結果が得られます。
導かれる結果
$1<\alpha$で次が成立：
\begin{eqnarray}
\zeta(\alpha,\lbrace 1 \rbrace^m) = \zeta(m+2,\lbrace 1 \rbrace^{\alpha-2}). \nonumber
\end{eqnarray}
主定理において、$\mathbb{A}=(\alpha,\lbrace 1 \rbrace^m)$及び$q=0$とすると、
\begin{eqnarray}
\zeta(\alpha,\lbrace 1 \rbrace^{m}) &=& \sum_{k=0}^{\infty}\frac{ \mathrm{S}_\mathrm{1st}\binom{k+\alpha-1}{\alpha-1}}{(k+\alpha-1)^{m+1}(k+\alpha-1)!} \nonumber \\
&=& \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(k+\alpha-2)!\zeta_{k+\alpha-2}(\lbrace 1 \rbrace^{\alpha-2})}{(k+\alpha-1)^{m+1}(k+\alpha-1)!} \nonumber \\
&=& \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\zeta_{k+\alpha-2}(\lbrace 1 \rbrace^{\alpha-2})}{(k+\alpha-1)^{m+2}} \nonumber \\
&=& \zeta(m+2,\lbrace 1 \rbrace^{\alpha-2}). \nonumber
\end{eqnarray}
Q.E.D.
\begin{eqnarray} \zeta(\alpha_1,\alpha_2)=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty} \frac{ (j+\alpha_1-2)!\zeta_{j+\alpha_1-2}(\lbrace 1 \rbrace^{\alpha_1-2})}{k^{\alpha_2}(j+\alpha_1-1)} \frac{k!}{(k+j+\alpha_1-1)!} . \nonumber \end{eqnarray}
主定理より、
\begin{eqnarray}
\zeta_q(\alpha_1,\alpha_2) &=& \sum_{k=1}^{q}\frac{\zeta_q(\alpha_1)-\zeta_k(\alpha_1)}{k^{\alpha_2}} \nonumber \\
&=& \sum_{k=1}^{q}\frac{(\zeta(\alpha_1)-\zeta_k(\alpha_1))-(\zeta(\alpha_1)-\zeta_q(\alpha_1))}{k^{\alpha_2}} \nonumber \\
&=& \sum_{k=1}^{q}\sum_{j=0}^{\infty} \frac{ (j+\alpha_1-2)!\zeta_{j+\alpha_1-2}(\lbrace 1 \rbrace^{\alpha_1-2})}{k^{\alpha_2}(j+\alpha_1-1)}( \frac{k!}{(k+j+\alpha_1-1)!}-\frac{q!}{(q+j+\alpha_1-1)!} ) \nonumber
\end{eqnarray}
$q \to \infty$として、
\begin{eqnarray}
\zeta(\alpha_1,\alpha_2)=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(j+\alpha_1-2)!\zeta_{j+\alpha_1-2}(\lbrace 1 \rbrace^{\alpha_1-2})}{k^{\alpha_2}(j+\alpha_1-1)}\frac{k!}{(k+j+\alpha_1-1)!}. \nonumber
\end{eqnarray}
Q.E.D.
次が成立：
\begin{eqnarray}
\zeta(2,\alpha)=\sum_{k_1=1}^{\infty}\sum_{k_2=1}^{\infty} \frac{1}{{k_1}^{\alpha-1}k_2}\frac{(k_1-1)!(k_2-1)!}{(k_1+k_2)!}. \nonumber
\end{eqnarray}
次が成立：
\begin{eqnarray}
\zeta(3,\alpha)=\sum_{k_1=1}^{\infty}\sum_{k_2=1}^{\infty} \frac{\zeta_{k_2}(1)}{{k_1}^\alpha(k_2+1)}\frac{k_1!k_2!}{(k_1+k_2+1)!}. \nonumber
\end{eqnarray}
コネクターと似た形が出現するのは面白いですね。
おわりに
今回の記事では多重調和和の展開級数の明示公式を紹介しました。
誰かが予想を証明してくれたらうれしいです。
次が成立：
\begin{eqnarray}
A_{j,k}=\frac{(k+\alpha_1-2)!}{(k+\alpha_1-1)^{{((\mathbb{A}_{[j]})^\dagger)_{[1]}}-2}} \zeta_{k+\alpha_1-2}(((\mathbb{A}_{[j]})^\dagger)^{[1]}). \nonumber
\end{eqnarray}
では最後まで読んでいただきありがとうございました。
