多重調和和と多重ゼータ値の級数展開と母関数について

両辺を差分作用素で計算すれば証明が完了する。まず、左辺は
$$\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{\Delta }}_q[\zeta ({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m)-{\zeta }_q({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m)]\\ & =& -{\mathrm{\Delta }}_q[{\zeta }_q({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m)]\\ & =& -\sum _{k_m=1}^{q+1}\sum _{k_{m-1}=k_m+1}^{q+1}\cdots \sum _{k_1=k_2+1}^{q+1}\frac{1}{{k_1}^{{\alpha }_1}{k_2}^{{\alpha }_2}\cdots {k_m}^{{\alpha }_m}}\\ & & +\sum _{k_m=1}^q\sum _{k_{m-1}=k_m+1}^q\cdots \sum _{k_1=k_2+1}^q\frac{1}{{k_1}^{{\alpha }_1}{k_2}^{{\alpha }_2}\cdots {k_m}^{{\alpha }_m}}\\ & =& -\frac{{\zeta }_q({\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)}{(q+1{)}^{{\alpha }_1}}\end{array}$$と計算できる。次に右辺は、
$$\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{\Delta }}_q\left[\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^m\frac{A_{j,k}{\zeta }_q({\alpha }_{j+1},\cdots ,{\alpha }_m)}{k+{\alpha }_1-1}\frac{q!}{(q+k+{\alpha }_1-1)!}\right]\\ & =& -\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\zeta }_q({\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m){\mathrm{S}}_{1\mathrm{st}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+{\alpha }_1-1}{{\alpha }_1-1})\frac{q!}{(q+k+{\alpha }_1)!}\\ & & -\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{m-1}(A_{j+1,k}-\frac{A_{j,k}}{(k+{\alpha }_1-1)(q+1{)}^{{\alpha }_{j+1}-1}}){\zeta }_q({\alpha }_{j+2},\cdots ,{\alpha }_m)\frac{q!}{(q+k+{\alpha }_1)!}\\ & =& -\frac{{\zeta }_q({\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)}{(q+1{)}^{{\alpha }_1}}-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{m-1}(A_{j+1,k}-\frac{A_{j,k}}{(k+{\alpha }_1-1)(q+1{)}^{{\alpha }_{j+1}-1}}){\zeta }_q({\alpha }_{j+2},\cdots ,{\alpha }_m)\frac{q!}{(q+k+{\alpha }_1)!}\end{array}$$ と計算できる。$A_{j,k}$の定義から、
$$\begin{array}{r}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{m-1}(A_{j+1,k}-\frac{A_{j,k}}{(k+{\alpha }_1-1)(q+1{)}^{{\alpha }_{j+1}-1}}){\zeta }_q({\alpha }_{j+2},\cdots ,{\alpha }_m)\frac{q!}{(q+k+{\alpha }_1)!}=0\end{array}$$
を得る。従って
$$\begin{array}{r}{\mathrm{\Delta }}_q[\zeta ({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m)-{\zeta }_q({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m)]={\mathrm{\Delta }}_q\left[\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^m\frac{A_{j,k}{\zeta }_q({\alpha }_{j+1},\cdots ,{\alpha }_m)}{k+{\alpha }_1-1}\frac{q!}{(q+k+{\alpha }_1-1)!}\right].\end{array}$$
よって両辺は定数の差を除いて等しい。いま、
$$\begin{array}{r}\underset{q\to \mathrm{\infty }}{lim}\zeta ({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m)-{\zeta }_q({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m)=\underset{q\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^m\frac{A_{j,k}{\zeta }_q({\alpha }_{j+1},\cdots ,{\alpha }_m)}{k+{\alpha }_1-1}\frac{q!}{(q+k+{\alpha }_1-1)!}=0\end{array}$$
より証明は終了する。

Q.E.D.

両辺に差分作用素を適用する。左辺は
$$\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{\Delta }}_q\left[\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A_{j+1,k}}{k+{\alpha }_1-1}\frac{q!}{(q+k+{\alpha }_1-1)!}\right]\\ & =& -\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_{j+1,k}\frac{q!}{(q+k+{\alpha }_1)!}\\ & =& -\frac{1}{(q+1{)}^{{\alpha }_{j+1}}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A_{j,k}}{(k+{\alpha }_1-1)}\frac{(q+1)!}{(q+k+{\alpha }_1)!}\end{array}$$であり、右辺は
$$\begin{array}{rclrc}& & {\mathrm{\Delta }}_q[{}_q\zeta ({\mathbb{A}}_{[j+1]})]& =& -\frac{1}{(q+1{)}^{{\alpha }_{j+1}}}{}_{q+1}\zeta ({\mathbb{A}}_{[j]}).\end{array}$$
よく見ると同じ漸化式を満たしていることがわかる。$A_{1,k}={}_q\zeta ({\alpha }_1)$ は簡単に確認できて、$q\to \mathrm{\infty }$ で両辺は$0$に収束するから証明は終了する。

Q.E.D.

予想を仮定すれば、MZV明示展開公式において$q=0$として
$$\begin{array}{r}\zeta (\mathbb{A})=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\zeta }_{k+{\alpha }_1-2}(({\mathbb{A}}^{†}{)}^{[1]})}{(k+{\alpha }_1-1{)}^{({\mathbb{A}}^{†}{)}_{[1]}}}=\zeta ({\mathbb{A}}^{†}).\end{array}$$

Q.E.D.

主定理において、$\mathbb{A}=(\alpha ,\{1{\}}^m)$及び$q=0$とすると、
$$\begin{array}{rcl}\zeta (\alpha ,\{1{\}}^m)& =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{S}}_{1\mathrm{st}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\alpha -1}{\alpha -1})}{(k+\alpha -1{)}^{m+1}(k+\alpha -1)!}\\ & =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(k+\alpha -2)!{\zeta }_{k+\alpha -2}(\{1{\}}^{\alpha -2})}{(k+\alpha -1{)}^{m+1}(k+\alpha -1)!}\\ & =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\zeta }_{k+\alpha -2}(\{1{\}}^{\alpha -2})}{(k+\alpha -1{)}^{m+2}}\\ & =& \zeta (m+2,\{1{\}}^{\alpha -2}).\end{array}$$

Q.E.D.

主定理より、
$$\begin{array}{rcl}{\zeta }_q({\alpha }_1,{\alpha }_2)& =& \sum _{k=1}^q\frac{{\zeta }_q({\alpha }_1)-{\zeta }_k({\alpha }_1)}{k^{{\alpha }_2}}\\ & =& \sum _{k=1}^q\frac{(\zeta ({\alpha }_1)-{\zeta }_k({\alpha }_1))-(\zeta ({\alpha }_1)-{\zeta }_q({\alpha }_1))}{k^{{\alpha }_2}}\\ & =& \sum _{k=1}^q\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(j+{\alpha }_1-2)!{\zeta }_{j+{\alpha }_1-2}(\{1{\}}^{{\alpha }_1-2})}{k^{{\alpha }_2}(j+{\alpha }_1-1)}(\frac{k!}{(k+j+{\alpha }_1-1)!}-\frac{q!}{(q+j+{\alpha }_1-1)!})\end{array}$$
$q\to \mathrm{\infty }$として、
$$\begin{array}{r}\zeta ({\alpha }_1,{\alpha }_2)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(j+{\alpha }_1-2)!{\zeta }_{j+{\alpha }_1-2}(\{1{\}}^{{\alpha }_1-2})}{k^{{\alpha }_2}(j+{\alpha }_1-1)}\frac{k!}{(k+j+{\alpha }_1-1)!}.\end{array}$$

Q.E.D.