ガロア理論⑧　Gauss の補題

背理法で示す。つまり，ある素数$p$が$f$のすべての係数を割り切り，かつ$p$は$g$の係数のすべては割り切らず，$h$についても同様と仮定して矛盾を導く。
$g(x)=b_0+b_{1}x+\cdots +b_m{x}^m$
$h(x)=c_0+c_{1}x+\cdots +c_n{x}^n$
$f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_{m+n}{x}^{m+n}$
$(a_i,b_i,c_i\in \mathbb{Z}{(}^{\mathrm{\forall }}i),a_{m+n},b_m,c_n$は$0$でない)　とすると
$a_k=b_0{c}_k+b_1{c}_{k-1}+\cdots +b_k{c}_0(0\le k\le m+n)$
仮定から，$b_1,\cdots ,b_m$および$c_1,\cdots ,c_n$の中に$p$で割り切れないものが存在するから，その中で添字が最小のものをそれぞれ$b_i,c_j$とする。
このとき，$k=i+j$とすると
$a_k=(b_0{c}_k+\cdots +b_{i-1}{c}_{j+1})+$$b_i{c}_j$$+(b_{i+1}{c}_{j-1}+\cdots +b_k{c}_0)$
$b_i{c}_j$は$p$で割り切れず，それ以外の項は$p$で割り切れるから，$a_k$は$p$で割り切れないことになるが，$p$が$f$のすべての係数を割り切ることに矛盾する。
したがって，$f$が原始的でないならば，$g$または$h$は原始的でないことになる。
対偶をとれば元の命題も示される。□

$\mathbb{Q}$上可約な$f\in \mathbb{Z}[x]$は定数でない$g,h\in \mathbb{Q}[x]$を用いて$f=gh$とかける。さらに，適当な$b,c\in {\mathbb{Z}}^{\times }$によって$bg,ch\in \mathbb{Z}[x]$となるようにできる。このとき，$G=bg,H=ch,a_0=bc$とすれば$a_{0}f=GH$
$a_0=1$ならば，$f=GH$が$f$の$\mathbb{Z}[x]$上の分解である。
$a_0>1$ならば，$a_{0}f$のすべての係数を割り切る素数$p_0$が存在し，しかも補題$1$により$p_0$は$G$または$H$のすべての係数を割り切る^[2]。たとえば$G$がそうであったとし，${\displaystyle \frac{1}{p_0}G\in \mathbb{Z}[x]}$を新たに$G$と置きなおすと，${\displaystyle a_{1}f=GH(a_1=\frac{a_0}{p_0}\in \mathbb{Z})}$
$a_1=1$ならば，$f=GH$が$f$の$\mathbb{Z}[x]$上の分解である。
$a_1>1$ならば，上と同じように操作を繰り返し$a_2$を得る。
このようにして得られる列$(a_n)$は狭義単調減少な正整数の列であるから，$(a_n)$は有限数列である。したがって$a_n=1$を満たす$n\in \mathbb{N}$が存在する。□

モニック多項式$f\in \mathbb{Z}[x]$が$f=gh(g,h\in \mathbb{Z}[x])$と分解されたとし，$g,h$の最高次係数をそれぞれ$b,c$とする。このとき$bc=1$であるから$(b,c)=(1,1),(-1,-1)$
前者の場合$g,h$はモニックである。
後者の場合$-g,-h$はモニックで，$f=(-g)(-h)$である。□