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大学数学基礎解説
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ガロア理論⑧ Gauss の補題

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はじめに

今回は,整数係数多項式にまつわる重要な事実 Gauss の補題とその系を証明します。この事実から整数係数多項式の$ℚ$上既約性にある程度の判定を与えることができ,とくに円分多項式[1]とよばれる重要な多項式の既約性が示されます。

Gauss の補題

原始多項式

$f∈ℤ[x]$とし,$f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$とする。
$(a_0,a_1,\cdots,a_n)=1$であるとき,$f(x)$原始的あるいは原始多項式であるという。

Gauss の補題

$g,h∈ℤ[x]$が原始的ならば積$f=gh∈ℤ[x]$も原始的である。

背理法で示す。つまり,ある素数$p$$f$のすべての係数を割り切り,かつ$p$$g$の係数のすべては割り切らず,$h$についても同様と仮定して矛盾を導く。
$g(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_mx^m$
$h(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_nx^n$
$f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{m+n}x^{m+n}$
$(a_i,b_i,c_i∈ℤ(^\forall i),\;a_{m+n},b_m,c_n$$0$でない) とすると
$a_k=b_0c_k+b_1c_{k-1}+\cdots+b_kc_0\;(0≤k≤m+n)$
仮定から,$b_1,\cdots,b_m$および$c_1,\cdots,c_n$の中に$p$で割り切れないものが存在するから,その中で添字が最小のものをそれぞれ$b_i,c_j$とする。
このとき,$k=i+j$とすると
$a_k=(b_0c_k+\cdots+b_{i-1}c_{j+1})+$$b_ic_j$$+(b_{i+1}c_{j-1}+\cdots+b_kc_0)$
$b_ic_j$$p$で割り切れず,それ以外の項は$p$で割り切れるから,$a_k$$p$で割り切れないことになるが,$p$$f$のすべての係数を割り切ることに矛盾する。
したがって,$f$が原始的でないならば,$g$または$h$は原始的でないことになる。
対偶をとれば元の命題も示される。□

Gauss の補題
  • $g(x)=4x^2-4x-15,h(x)=5x^2+13x-6$とすると
    $f(x)=20x^4+32x^3-151x^2-171x+90$

Gauss の補題

$f∈ℤ[x]$$ℚ$上可約であるとき,$f=gh$を満たす定数でない$g,h∈$$ℤ[x]$がとれる。かつ,$f$がモニックならば,$g,h$がモニックになるようにとれる。

前半のステートメントは言い換えれば,「$f∈ℤ[x]$$ℚ$上可約ならば$ℤ$上可約」もしくは「$f∈ℤ[x]$$ℤ$上既約ならば$ℚ$上既約」ということになる。

前半

$ℚ$上可約な$f∈ℤ[x]$は定数でない$g,h∈ℚ[x]$を用いて$f=gh$とかける。さらに,適当な$b,c∈ℤ^×$によって$bg,ch∈ℤ[x]$となるようにできる。このとき,$G=bg,H=ch,a_0=bc$とすれば$a_0f=GH$
$a_0=1$ならば,$f=GH$$f$$ℤ[x]$上の分解である。
$a_0>1$ならば,$a_0f$のすべての係数を割り切る素数$p_0$が存在し,しかも補題$1$により$p_0$$G$または$H$のすべての係数を割り切る[2]。たとえば$G$がそうであったとし,$\displaystyle\frac{1}{p_0}G∈ℤ[x]$を新たに$G$と置きなおすと,$\displaystyle a_1f=GH\;\left(a_1=\frac{a_0}{p_0}∈ℤ\right)$
$a_1=1$ならば,$f=GH$$f$$ℤ[x]$上の分解である。
$a_1>1$ならば,上と同じように操作を繰り返し$a_2$を得る。
このようにして得られる列$(a_n)$は狭義単調減少な正整数の列であるから,$(a_n)$有限数列である。したがって$a_n=1$を満たす$n∈ℕ$が存在する。□

前半が示されれば,後半はほとんど明らかである。

後半

モニック多項式$f∈ℤ[x]$$f=gh\;(g,h∈ℤ[x])$と分解されたとし,$g,h$の最高次係数をそれぞれ$b,c$とする。このとき$bc=1$であるから$(b,c)=(1,1),(-1,-1)$
前者の場合$g,h$はモニックである。
後者の場合$-g,-h$はモニックで,$f=(-g)(-h)$である。□

例は割愛する。

系の前半の証明における操作は,$a_0$の素因数分解に現れる(重複を含めた)素数の個数と同じ回数で終わる。



[1]: 素数$p$に対し,$1+x+\cdots+x^{p-1}$$ℚ$上既約である。証明は次回する。



[2]: 補題$1$のステートメントからは直接的に明らかでないかもしれない。その証明で用いた背理法の仮定が誤りであることを用いると直ちにわかる。

参考文献

[1]
加藤文元, ガロア理論12講
投稿日:2023319

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Qualtagh
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数学徒 じゅけんせいのすがた 扱う分野:位相空間論 群論 環論 体論 位相幾何

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