Refined対称多重ゼータ値とBTT philosophy

次節以降の結果を用いるが, index $\bk$ が admissible であることと $\zeta^{\ast}(\bk;T)$ が $T$ に依らないことは同値である. したがって $\zeta^{\ast}(\phi(\bk);T)$ が定数であることを示せばよいが, これは補題 18 からわかる.

$\bk$ の深さを $r$ と書く. 命題 7 の両辺に $\rw$ を適用することで $\fH^{1}$ での等式だと思い, $I_{\dch}^{T}(1_{0};-;(-1)_{1})$ を適用することで, シャッフル積公式 (命題 5 (1)) より
$$I_{\dch}^{T}(1_{0};\rw(\bk)e_{1}^{n};(-1)_{1})=\sum_{j=0}^{n}I_{\dch}^{T}(1_{0};(\rw\circ\reg_{\sh})(\bk,\{1\}^{n-j});(-1)_{1})\frac{I_{\dch}^{T}(1_{0};e_{1};(-1)_{1})^{j}}{j!}$$
となる. $\reg_{\sh}$ の像は常に $\fH^{0}$ に入ることから, 多重ゼータ値の反復積分表示 (命題 6) より
\begin{align} I_{\dch}^{T}(1_{0};\rw(\bk)e_{1}^{n};(-1)_{1}) &=\sum_{j=0}^{n}I_{\dch}^{0}(1_{0};(\rw\circ\reg_{\sh})(\bk,\{1\}^{n-j});(-1)_{1})\frac{I_{\dch}^{T}(1_{0};e_{1};(-1)_{1})^{j}}{j!}\\ &=\sum_{j=0}^{n}(-1)^{r+n-j}\zeta(\reg_{\sh}(\bk,\{1\}^{n-j}))\frac{I_{\dch}^{T}(1_{0};e_{1};(-1)_{1})^{j}}{j!}\\ \end{align}
となる. また
$$\int_{z< t<1-z}\frac{d\dch(t)}{\dch(t)-1}=\log\frac{z}{1-z}=\log z+O(z)\qquad (z\to +0)$$
であるから $I_{\dch}^{T}(1_{0};e_{1};(-1)_{1})=-T$ となり, したがって
\begin{align} \zeta^{\sh}(\bk,\{1\}^{n};T) &=(-1)^{r+n}\sum_{j=0}^{n}(-1)^{r+n-j}\zeta(\reg_{\sh}(\bk,\{1\}^{n-j}));(-1)_{1})\frac{(-T)^{j}}{j!}\\ &=\sum_{j=0}^{n}\zeta(\reg_{\sh}(\bk,\{1\}^{n-j}))\frac{T^{j}}{j!} \end{align}
を得る. 両辺で $T=0$ とすることで $\zeta^{\sh}(\bk,\{1\}^{n})=\zeta(\reg_{\sh}(\bk,\{1\}^{n}))$ となるから目的の主張を得る.

$k\coloneqq k_{1}+\cdots+k_{r}$ と書き, $e_{1}e_{0}^{k_{1}-1}\cdots e_{1}e_{0}^{k_{r}-1}e_{1}=e_{a_{1}}\cdots e_{a_{k+1}}$ と書く. まず $\beta=\dch\cdot\alpha\cdot\dch^{-1}$ であったから, path 分解公式と反転公式 (それぞれ命題 5 の (3), (2)) より
$$ \zeta_{\cRS}(\bk) =\frac{(-1)^{r}}{2\pi i}\sum_{0\le c\le d\le k+1}I_{\dch}(1_{0};e_{a_{1}}\cdots e_{a_{c}};(-1)_{1})I_{\alpha}((-1)_{1};e_{a_{c+1}}\cdots e_{a_{d}};(-1)_{1})I_{\dch^{-1}}((-1)_{1};e_{a_{d+1}}\cdots e_{a_{k+1}};1_{0}) $$
であるが, 右辺の和における $c=d$ の部分は, path 分解公式をもう一度使うことによって
$$\frac{(-1)^{r}}{2\pi i}\sum_{0\le c=d\le k+1}I_{\dch}(1_{0};e_{a_{1}}\cdots e_{a_{c}};(-1)_{1})I_{\dch^{-1}}((-1)_{1};e_{a_{d+1}}\cdots e_{a_{k+1}};1_{0})=I_{\dch\cdot\dch^{-1}}(1_{0};e_{a_{1}}\cdots e_{a_{k+1}};1_{0})=0$$
となる. また $\alpha$ の定義より
$$I_{\alpha}((-1)_{1};e_{a_{c+1}}\cdots e_{a_{d}};(-1)_{-1})=\begin{cases}(2\pi i)^{d-c}/(d-c)! & (a_{c+1}=\cdots=a_{d}=1),\\ 0 & (\text{otherwise})\end{cases}$$
であるから, 結局
\begin{align} \zeta_{\cRS}(\bk) &=\frac{(-1)^{r}}{2\pi i}\sum_{\substack{0\le c< d\le k+1\\ a_{c+1}=\cdots=a_{d}=1}}\frac{(2\pi i)^{d-c}}{(d-c)!}I_{\dch}(1_{0};e_{a_{1}}\cdots e_{a_{c}};(-1)_{1})I_{\dch^{-1}}((-1)_{1};e_{a_{d+1}}\cdots e_{a_{k+1}};1_{0})\\ &=\frac{(-1)^{r}}{2\pi i}\sum_{\substack{0\le a\le b\le r\\ k_{a+1}=\cdots k_{b}=1}}\frac{(2\pi i)^{b+1-a}}{(b+1-a)!}I_{\dch}(1_{0};e_{1}e_{0}^{k_{1}-1}\cdots e_{1}e_{0}^{k_{a}-1};(-1)_{1})I_{\dch^{-1}}((-1)_{1};e_{0}^{k_{b+1}-1}e_{1}\cdots e_{0}^{k_{r}-1}e_{1};1_{0}) \end{align}
と書ける. さらに右辺は反転公式と $\zeta^{\sh}$ の定義により
\begin{align} \zeta_{\cRS}(\bk) &=\frac{(-1)^{r}}{2\pi i}\sum_{\substack{0\le a\le b\le r\\ k_{a+1}=\cdots =k_{b}=1}}\frac{(2\pi i)^{b+1-a}}{(b+1-a)!}I_{\dch}(1_{0};e_{1}e_{0}^{k_{1}-1}\cdots e_{1}e_{0}^{k_{a}-1};(-1)_{1})\cdot (-1)^{k_{b+1}+\cdots+k_{r}}I_{\dch}(1_{0};e_{1}e_{0}^{k_{r}-1}\cdots e_{1}e_{0}^{k_{b+1}-1};(-1)_{1})\\ &=\sum_{\substack{0\le a\le b\le r\\ k_{a+1}=\cdots =k_{b}=1}}\frac{(-2\pi i)^{b-a}}{(b+1-a)!}\zeta^{\sh}(k_{1},\ldots,k_{a})\zeta^{\sh}(k_{r},\ldots,k_{b+1}) \end{align}
と計算できる.

奇数の場合は $A_{N}^{-}$ と $A_{N}^{+}$ の定義において和の範囲に違いがないためすぐにわかる. $N$ が偶数のときは $A_{N}^{+}$ の定義に現れる和を分割することで
\begin{align} A^{-}_{N}(\bk) &=\left(\sum_{0< n_{1}<\cdots< n_{r}\le N/2}-\sum_{0< n_{1}<\cdots< n_{r}=N/2}\right)\prod_{j=1}^{r}\frac{e^{-\pi i(k_{j}-2)n_{j}/N}}{(N\sin(\pi n_{j}/N)/\pi)^{k_{j}}}\\ &=\overline{A^{+}_{N}(\bk)}-\frac{e^{-\pi i(k_{r}-2)/2}}{(N/\pi)^{k_{r}}}\cdot A^{-}_{N}(k_{1},\ldots,k_{r-1})\\ &=\overline{A^{+}_{N}(\bk)}+\left(-\frac{\pi i}{N}\right)^{k_{r}}A^{-}_{N}(k_{1},\ldots,k_{r-1})\\ \end{align}
となる.

$0< n< N$ に対し
$$\frac{1}{[n]_{\zeta_{N}}}=\frac{1-\exp(2\pi i/N)}{1-\exp(2\pi im/N)}=e^{\pi i/N}\frac{N}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{N}\right)\cdot\frac{e^{-\pi in/N}}{N\sin(\pi n/N)/\pi}$$
であるから
$$z_{N}(\bk;\zeta_{N})=\left(e^{\pi i/N}\frac{N}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{N}\right)\right)^{k_{1}+\cdots+k_{r}}\sum_{0< n_{1}<\cdots< n_{r}< N}\prod_{j=1}^{r}\frac{e^{\pi i(k_{j}-2)n_{j}/N}}{(N\sin(\pi n_{j}/N)/\pi)^{k_{j}}}$$
が成り立つ. 右辺の和の範囲において, $N/2$ がどこに位置しているかに注目することで
\begin{align} &\left(e^{\pi i/N}\frac{N}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{N}\right)\right)^{-(k_{1}+\cdots+k_{r})}z_{N}(\bk;\zeta_{N})\\ &=\sum_{a=0}^{r}\left(\sum_{0< n_{1}<\cdots< n_{a}\le N/2}\prod_{j=1}^{a}\frac{e^{\pi i(k_{j}-2)n_{j}/N}}{(N\sin(\pi n_{j}/N)/\pi)^{k_{j}}}\right)\left(\sum_{N/2< n_{a+1}<\cdots< n_{r}< N}\prod_{j=a+1}^{r}\frac{e^{\pi i(k_{j}-2)n_{j}/N}}{(N\sin(\pi n_{j}/N)/\pi)^{k_{j}}}\right)\\ &=\sum_{a=0}^{r}A_{N}^{+}(k_{1},\ldots,k_{a})\left(\sum_{N/2< n_{a+1}<\cdots< n_{r}< N}\prod_{j=a+1}^{r}\frac{e^{\pi i(k_{j}-2)n_{j}/N}}{(N\sin(\pi n_{j}/N)/\pi)^{k_{j}}}\right) \end{align}
という分割ができるが, 残った後ろの和で $m_{j}\coloneqq N-n_{r+1-j}$ ($j=a+1,\ldots,r$) という変換を施すことで
\begin{align} \sum_{N/2< n_{a+1}<\cdots< n_{r}< N}\prod_{j=a+1}^{r}\frac{e^{\pi i(k_{j}-2)n_{j}/N}}{(N\sin(\pi n_{j}/N)/\pi)^{k_{j}}} &=\sum_{0< m_{1}<\cdots< m_{r-a}< N/2}\prod_{j=a+1}^{r}\frac{-e^{-\pi i(k_{j}-2)m_{r+1-j}/N}}{(N\sin(\pi m_{r+1-j}/N)/\pi)^{k_{j}}}\\ &=(-1)^{k_{a+1}+\cdots+k_{r}}A_{N}^{-}(k_{r},\ldots,k_{a+1}) \end{align}
が得られる.

$\bk=\emp$ のときは明らかである. 実数 $x$ と正整数 $k$ に対し
$$g_{k}(x)\coloneqq e^{(k-2)ix}\left(\frac{x}{\sin x}\right)^{k}$$
とおくと
$$A^{+}_{N}(\bk)=\sum_{0< n_{1}<\cdots< n_{r}\le N/2}\prod_{j=1}^{r}\frac{g_{k_{j}}(\pi n_{j}/N)}{n_{j}^{k_{j}}}$$
であるから
\begin{align} |A_{N}^{+}(\bk)-\zeta(\bk)| &=\left|\sum_{0< n_{1}<\cdots< n_{r}\le N/2}\frac{\prod_{j=1}^{r}g_{k_{j}}(\pi n_{j}/N)-1}{n_{1}^{k_{1}}\cdots n_{r}^{k_{r}}}-\sum_{m>N/2}\left(\sum_{\substack{0< n_{1}<\cdots< n_{r-1}< m}}\frac{1}{n_{1}^{k_{1}}\cdots n_{r-1}^{k_{r-1}}}\right)\frac{1}{m^{k_{r}}}\right|\\ &\le\sum_{0< n_{1}<\cdots< n_{r}\le N/2}\frac{|\prod_{j=1}^{r}g_{k_{j}}(\pi n_{j}/N)-1|}{n_{1}^{k_{1}}\cdots n_{r}^{k_{r}}}+\sum_{m>N/2}\left(\sum_{\substack{0< n_{1}<\cdots< n_{r-1}< m}}\frac{1}{n_{1}^{k_{1}}\cdots n_{r-1}^{k_{r-1}}}\right)\frac{1}{m^{k_{r}}} \end{align}
と分割できる. 右辺の第一項, 第二項をそれぞれ $I_{1}$, $I_{2}$ と書くことにし, まず $I_{1}$ を評価する: $x=0$ で $x/\sin x$ が解析的であることより
$$g_{k}(x)=1+(k-2)ix+o(x)\qquad (x\to +0)$$
と書けて, このことより $0< n_{j}\le N/2$ なら $|g_{k_{j}}(\pi n_{j}/N)-1|< C_{j}n_{j}/N$ なる正の定数 $C_{j}$ が存在する. この評価と
$$\prod_{j=1}^{r}g_{k_{j}}\left(\frac{\pi n_{j}}{N}\right)-1=\sum_{j=1}^{r}\left(\prod_{h=1}^{j-1}g_{k_{j}}\left(\frac{\pi n_{j}}{N}\right)\right)\left(g_{k_{j}}\left(\frac{\pi n_{j}}{N}\right)-1\right)$$
を組み合わせれば
\begin{align} I_{1} &\le\sum_{0< n_{1}<\cdots< n_{r}\le N/2}\frac{1}{n_{1}^{k_{1}}\cdots n_{r}^{k_{r}}}\sum_{j=1}^{r}\left|\left(\prod_{h=1}^{j-1}g_{k_{j}}\left(\frac{\pi n_{j}}{N}\right)\right)\left(g_{k_{j}}\left(\frac{\pi n_{j}}{N}\right)-1\right)\right|\\ &\le\sum_{0< n_{1}<\cdots< n_{r}\le N/2}\frac{1}{n_{1}^{k_{1}}\cdots n_{r}^{k_{r}}}\sum_{j=1}^{r}\left(\prod_{h=1}^{j-1}\frac{\pi n_{j}/N}{\sin (\pi n_{j}/N)}\right)\frac{C_{j}n_{j}}{N} \end{align}
と評価できる. さらに $0< n_{j}< N/2$ より $0<1/\sin(\pi n_{j}/N)\le N/2n_{j}$ であるから, 正定数 $C_{0}$ を用いて
\begin{align} I_{1} &\le\frac{C_{0}}{N}\sum_{0< n_{1}<\cdots< n_{r}\le N/2}\frac{n_{1}+\cdots+n_{r}}{n_{1}^{k_{1}}\cdots n_{r}^{k_{r}}}\\ &\le \frac{rC_{0}}{N}\sum_{0< n_{1}<\cdots< n_{r}\le N/2}\frac{1}{n_{1}^{k_{1}}\cdots n_{r-1}^{k_{r-1}}n_{r}^{k_{r}-1}}\\ \end{align}
とできる. $k_{r}\ge 2$ という仮定により, 多重調和和の漸近展開 (命題 4) によって, ある定数 $J'(\bk)>0$ を用いて $I_{1}=O(N^{-1}(\log N)^{J'(\bk)})$ ($N\to\infty$) とできる. また, 定義より
$$I_{2}=\zeta(\bk)-\sum_{0< n_{1}<\cdots< n_{r}< N/2}\frac{1}{n_{1}^{k_{1}}\cdots n_{r}^{k_{r}}}$$
であり, $\bk$ が admissible である (したがって $\zeta^{\ast}(\bk;T)=\zeta(\bk)$ である) から, 命題 4 によって $I_{2}=O(N^{-1}(\log N)^{J''(\bk)})$ ($N\to\infty$) なる定数 $J''(\bk)>0$ があることもわかる.

定義より
\begin{align} A_{N}^{+}(1) &=\sum_{n=1}^{\lfloor N/2\rfloor}\frac{\cos(\pi n/N)-i\sin(\pi n/N)}{N\sin(\pi n/N)/\pi}\\ &=\frac{\pi}{N}\sum_{n=1}^{\lfloor N/2\rfloor}\frac{1}{\tan (\pi n/N)}-\frac{\pi i}{2}+\frac{\pi i\chi_{N}}{2N} \end{align}
と書ける ($\chi_{N}$ は $N$ が偶数なら $0$, 奇数なら $1$). 実数 $x>0$ に対し $f(x)\coloneqq 1/x-1/\tan x$ とおくと, これは区間 $(0,\pi)$ 上で非負かつ単調増加であることから
$$\int_{0}^{(N-1)/2}f\left(\frac{\pi x}{N}\right)\,dx\le \sum_{n=1}^{\lfloor N/2\rfloor}f\left(\frac{\pi n}{N}\right)\le \int_{1}^{N/2+1}f\left(\frac{\pi x}{N}\right)\,dx$$
と評価できる. ここで $F_{N}(x)\coloneqq\log(\pi x/N)-\log\sin(\pi x/N)$ とおくと $F'_{N}(x)=\pi f(\pi x/N)/N$ であるから両側の積分は
\begin{align} \frac{\pi}{N}\int_{0}^{(N-1)/2}f\left(\frac{\pi x}{N}\right)\,dx &=F_{N}\left(\frac{N-1}{2}\right)-F_{N}(0)\\ &=\log\frac{\pi}{2}+\log\left(1-\frac{1}{N}\right)-\log\cos\frac{\pi}{2N}\\ &=\log\frac{\pi}{2}+O(N^{-1})\qquad (N\to\infty),\\ \frac{\pi}{N}\int_{1}^{N/2+1}f\left(\frac{\pi x}{N}\right)\,dx &=F_{N}\left(\frac{N}{2}+1\right)-F_{N}(1)\\ &=\log\frac{\pi}{2}+\log\left(\frac{N+2}{\pi}\tan\frac{\pi}{N}\right)\\ &=\log\frac{\pi}{2}+O(N^{-1})\qquad (N\to\infty) \end{align}
と評価できる. これと先ほどの不等式から
\begin{align} A_{N}^{+}(1) &=-\frac{\pi i}{2}+\frac{\pi i\chi_{N}}{2N}+\sum_{n=1}^{\lfloor N/2\rfloor}\frac{1}{n}-\frac{\pi}{N}\sum_{n=1}^{\lfloor N/2\rfloor}f\left(\frac{\pi n}{N}\right)\\ &=-\frac{\pi i}{2}+\sum_{n=1}^{\lfloor N/2\rfloor}\frac{1}{n}-\log\frac{\pi}{2}+O(N^{-1})\qquad (N\to\infty) \end{align}
という風にできるが, 古典的な評価
$$\sum_{n=1}^{\lfloor N/2\rfloor}\frac{1}{n}=\log\frac{N}{2}+\gamma+O(N^{-1})\qquad (N\to\infty)$$
より補題が従う.

$A^{+}_{N}(\bk)$ に関する主張のみ示せばよい ($A^{-}_{N}(\bk)$ の漸近展開はそれと補題 9 より従う). admissible index $\bl=(l_{1},\ldots,l_{s})$ と非負整数 $n$ を用いて $\bk=(\bl,\{1\}^{n})$ と書いておいて, $n$ の帰納法で証明を行う. $n=0$ のときは補題 11 そのものである. 適当な $n$ でできているとすれば, 正整数 $k,n$ ($0< n\le N/2$) に対して成り立つ等式
$$\frac{e^{\pi i(k-2)n/N}}{(N\sin(\pi n/N)/\pi)^{k}}\frac{e^{-\pi in/N}}{N\sin(\pi n/N)/\pi} =\frac{e^{\pi i(k-1)n/N}}{(N\sin(\pi n_{j}/N)/\pi)^{k+1}}-\frac{2\pi i}{N}\frac{e^{\pi i(k-2)n/N}}{(N\sin(\pi n_{j}/N)/\pi)^{k}}$$
を用いることで
\begin{align} A_{N}^{+}(\bl,\{1\}^{n})A_{N}^{+}(1) &=(n+1)A_{N}^{+}(\bl,\{1\}^{n+1})+\sum_{j=1}^{n}A_{N}^{+}(\bl,\{1\}^{j-1},2,\{1\}^{n-j})-\frac{2\pi i}{N}\cdot nA_{N}^{+}(\bl,\{1\}^{n})\\ &\qquad+\sum_{j=1}^{s}\left(A_{N}^{+}(l_{1},\ldots,l_{j-1},1,l_{j},\ldots,l_{s},\{1\}^{n})+A_{N}^{+}(l_{1},\ldots,l_{j-1},l_{j}+1,l_{j+1},\ldots,l_{s},\{1\}^{n})-\frac{2\pi i}{N}A_{N}^{+}(\bl,\{1\}^{n})\right) \end{align}
と計算できる. 右辺の第一項以外には帰納法の仮定が適用できるため,
$$T_{N}\coloneqq\log\frac{N}{\pi}+\gamma-\frac{\pi i}{2}$$
と書くことにすれば, 正整数 $J_{2}(\bk)$, $J_{3}(\bk)$ が存在して
\begin{align} A_{N}^{+}(\bl,\{1\}^{n})A_{N}^{+}(1) &=(n+1)A_{N}^{+}(\bl,\{1\}^{n+1})+\sum_{j=1}^{n}\zeta^{\ast}(\bl,\{1\}^{j-1},2,\{1\}^{n-j};T_{N})-\frac{2\pi i}{N}(n+s)\zeta^{\ast}(\bl,\{1\}^{n};T_{N})\\ &\qquad+\sum_{j=1}^{s}\left(\zeta^{\ast}(l_{1},\ldots,l_{j-1},1,l_{j},\ldots,l_{s},\{1\}^{n};T_{N})+\zeta^{\ast}(l_{1},\ldots,l_{j-1},l_{j}+1,l_{j+1},\ldots,l_{s},\{1\}^{n};T_{N})\right)+O(N^{-1}(\log N)^{J_{2}(\bk)})\\ &=(n+1)A_{N}^{+}(\bl,\{1\}^{n+1})+\zeta^{\ast}((\bl,\{1\}^{n})\ast (1);T_{N})-(n+1)\zeta^{\ast}(\bl,\{1\}^{n+1};T_{N})+O(N^{-1}(\log N)^{J_{3}(\bk)})\qquad (N\to\infty)\\ \end{align}
となる (命題 1 と調和正規化多項式の定義により, $\zeta^{\ast}(\bl,\{1\}^{n};T_{N})$ は $T_{N}$ の多項式であったことに注意. 二つ目の等号はそれを用いて $2\pi i/N$ の掛かった項を $O$ シンボルの中に吸収し, 残った部分を調和積の定義から計算するとわかる). 一方で, これの左辺にも帰納法の仮定を適用できる: 補題 12 によって $A_{N}(1)=T_{N}+O(N^{-1})$ が成り立つから, ある正整数 $J_{3}(\bk)$ があって
$$A_{N}^{+}(\bl,\{1\}^{n})A_{N}^{+}(1)=T_{N}\zeta^{\ast}(\bl,\{1\}^{n};T_{N})+O(N^{-1}(\log N)^{J_{3}(\bk)})\qquad (N\to\infty)$$
となる. これと今までの結果を合わせると, 正整数 $J_{4}(\bk)$ を用いて
$$A_{N}^{+}(\bl,\{1\}^{n+1})=\zeta^{\ast}(\bl,\{1\}^{n+1};T_{N})+\frac{1}{n+1}\left(T_{N}\zeta^{\ast}(\bl,\{1\}^{n};T_{N})-\zeta^{\ast}((\bl,\{1\}^{n})\ast (1);T_{N})\right)+O(N^{-1}(\log N)^{J_{4}(\bk)})\qquad (N\to\infty)$$
という評価が得られるが, $\zeta^{\ast}(-;T_{N})$ が調和積に関する準同型であったことから $T_{N}\zeta^{\ast}(\bl,\{1\}^{n};T_{N})=\zeta^{\ast}((\bl,\{1\}^{n})\ast (1);T_{N})$ となって目的の結果が得られる.

$z_{N}(\bk;\zeta_{N})$ の表示 (補題 10) と $A_{N}^{\pm}$ の漸近展開 (命題 13) から, 正整数 $J_{5}(\bk)$ を用いて
$$z_{N}(\bk;\zeta_{N})=\sum_{j=0}^{r}(-1)^{k_{j+1}+\cdots+k_{r}}\zeta^{\ast}\left(k_{1},\ldots,k_{j};\log\frac{N}{\pi}+\gamma-\frac{\pi i}{2}\right)\zeta^{\ast}\left(k_{r},\ldots,k_{j+1};\log\frac{N}{\pi}+\gamma+\frac{\pi i}{2}\right)+O(N^{-1}(\log N)^{J_{5}(\bk)})\qquad (N\to\infty)$$
と書けるが, 補題 18 より右辺にある有限和は示したい等式の右辺に等しい.

$j_{1},\ldots,j_{k}\in\{0,1\}$ および $P\in R\njump{X_{0},X_{1}}$ が与えられているとき, $W\coloneqq X_{j_{1}}\cdots X_{j_{k}}$ における $P$ の係数を $\langle P,W\rangle$ と書く. $F_{1},F_{2}\in R\oplus X_{1}R\njump{X_{0},X_{1}}$ であるから $F_{1}X_{1}\ep(F_{2})\in X_{1}R\oplus X_{1}R\njump{X_{0},X_{1}}X_{1}$ であり, したがって示すべきことは $\langle F_{1}X_{1}\ep(F_{2}),X_{\bk}X_{1}\rangle =S(\bk)$ ということになる. この等式は, $\bk=(k_{1},\ldots,k_{r})$ と書くと
\begin{align} \langle F_{1}X_{1}\ep(F_{2}),X_{\bk}X_{1}\rangle &=\sum_{j=0}^{r}\langle F_{1},X_{1}X_{0}^{k_{1}-1}\cdots X_{1}X_{0}^{k_{j}-1}\rangle\cdot\langle\ep(F_{2}),X_{0}^{k_{j+1}-1}X_{1}\cdots X_{0}^{k_{r}-1}X_{1}\rangle\\ &=\sum_{j=0}^{r}\langle F_{1},X_{1}X_{0}^{k_{1}-1}\cdots X_{1}X_{0}^{k_{j}-1}\rangle\cdot(-1)^{k_{j+1}+\cdots+k_{r}}\langle F_{2},X_{1}X_{0}^{k_{r}-1}\cdots X_{1}X_{0}^{k_{j+1}-1}\rangle\\ &=\sum_{j=0}^{r}(-1)^{k_{j+1}+\cdots+k_{r}}Z_{1}(k_{1},\ldots,k_{j})Z_{2}(k_{r},\ldots,k_{j+1}) \end{align}
のようにしていえる.

$\zeta^{\ast}$ の定義および命題 1 より, $\bullet=\ast$ なら
\begin{align} \Phi^{\bullet}(X_{0},X_{1};T) &=\sum_{\bk\in\cI_{0}}\zeta^{\bullet}(\bk;T)X_{\bk}\\ &=\sum_{\bl\in\cI'_{0}}\sum_{n=0}^{\infty}\zeta^{\bullet}(\bl,\{1\}^{n};T)X_{\bl}X_{1}^{n}\\ &=\sum_{\bl\in\cI'_{0}}\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{n}\zeta^{\bullet}(\bl,\{1\}^{n-j};0)\frac{T^{j}}{j!}X_{\bl}X_{1}^{n}\\ &=\sum_{\bl\in\cI'_{0}}\sum_{n,j=0}^{\infty}\zeta^{\bullet}(\bl,\{1\}^{n};0)\frac{T^{j}}{j!}X_{\bl}X_{1}^{n+j}\\ &=\sum_{\bl\in\cI'_{0}}\sum_{n=0}^{\infty}\zeta^{\bullet}(\bl,\{1\}^{n};0)X_{\bl}X_{1}^{n}\exp(TX_{1})\\ &=\sum_{\bk\in\cI_{0}}\zeta^{\bullet}(\bk;0)X_{\bk}\exp(TX_{1})\\ &=\Phi^{\bullet}(X_{0},X_{1};0)\exp(TX_{1}) \end{align}
とできる. $\bullet=\sh$ の場合でも命題 7 およびその系を用いれば同じ結果が示せる.

$\rho$ を係数ごとの作用で $\bbC[T]\njump{X_{0},X_{1}}\to\bbC[T]\njump{X_{0},X_{1}}$ に延長すると, 正規化定理より $\Phi^{\sh}(X_{0},X_{1};T)=\rho(\Phi^{\ast}(X_{0},X_{1};T))$ である. これと補題 17 を使うと, $\rho$ の定義より
\begin{align} \Phi^{\sh}(X_{0},X_{1};0) &=\Phi^{\sh}(X_{0},X_{1};T)\exp(-TX_{1})\\ &=\rho(\Phi^{\ast}(X_{0},X_{1};T))\exp(-TX_{1})\\ &=\rho(\Phi^{\ast}(X_{0},X_{1};0)\exp(TX_{1}))\exp(-TX_{1})\\ &=\Phi^{\ast}(X_{0},X_{1};0)\exp(TX_{1})\Gamma_{0}(-X_{1})\exp(-TX_{1})\\ &=\Phi^{\ast}(X_{0},X_{1};0)\Gamma_{0}(-X_{1}) \end{align}
を得る.

補題 15 より
$$\Phi^{\bullet}(X_{0},X_{1};T-X)X_{1}\ep(\Phi^{\bullet}(X_{0},X_{1};T+X))=\sum_{\bk\in\cI_{0}}\zeta^{\bullet}(\bk;T,X)X_{\bk}X_{1}$$
と書けるが, これの左辺は補題 17 により
\begin{align} \Phi^{\bullet}(X_{0},X_{1};T-X)X_{1}\ep(\Phi^{\bullet}(X_{0},X_{1};T+X)) &=\Phi^{\bullet}(X_{0},X_{1};0)\exp(TX_{1}-XX_{1})X_{1}\ep(\Phi^{\bullet}(X_{0},X_{1};0)\exp(TX_{1}+XX_{1}))\\ &=\Phi^{\bullet}(X_{0},X_{1};0)\exp(TX_{1}-XX_{1})X_{1}\exp(-TX_{1}-XX_{1})\ep(\Phi^{\bullet}(X_{0},X_{1};0))\\ &=\Phi^{\bullet}(X_{0},X_{1};0)\exp(-2XX_{1})X_{1}\ep(\Phi^{\bullet}(X_{0},X_{1};0)) \end{align}
となる.

まず
$$F\coloneqq\Phi^{\ast}(X_{0},X_{1};0)\exp(-\pi iX_{1})X_{1}\ep(\Phi^{\ast}(X_{0},X_{1};0))$$
とおくと, 補題 18 および定理 14 より
$$F=\sum_{\bk\in\cI_{0}}\xi(\bk)X_{\bk}X_{1}$$
がわかる. 一方で, index $\bk=(k_{1},\ldots,k_{r})$ を逆向きにしたものを $\overleftarrow{\bk}=(k_{r},\ldots,k_{1})$ と書くことにし, $\wt(\bk)\coloneqq k_{1}+\cdots+k_{r}$ とおけば, 命題 8 より
\begin{align} \sum_{\bk\in\cI_{0}}\zeta_{\cRS}(\bk)X_{\bk}X_{1} &=\sum_{\bk,\bl\in\cI_{0}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2\pi i)^{n}}{(n+1)!}(-1)^{\wt(\bl)}\zeta^{\sh}(\bk)\zeta^{\sh}(\overleftarrow{\bl})X_{\bk}X_{1}^{n}X_{\bl}X_{1}\\ &=\sum_{\bk,\bl'\in\cI_{0}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2\pi i)^{n}}{(n+1)!}\zeta^{\sh}(\bk)\zeta^{\sh}(\bl')X_{\bk}X_{1}^{n+1}\ep(X_{\bl'})\\ &=\left(\sum_{\bk\in\cI_{0}}\zeta^{\sh}(\bk)X_{\bk}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2\pi i)^{n}}{(n+1)!}X_{1}^{n+1}\right)\ep\left(\sum_{\bl'\in\cI_{0}}\zeta^{\sh}(\bl')X_{\bl'}\right)\\ &=\Phi^{\sh}(X_{0},X_{1};0)\cdot\frac{\exp(-2\pi iX_{1})-1}{-2\pi i}\cdot\ep(\Phi^{\sh}(X_{0},X_{1};0)) \end{align}
となり, 補題 17 の系から
\begin{align} \sum_{\bk\in\cI_{0}}\zeta_{\cRS}(\bk)X_{\bk}X_{1} &=\Phi^{\ast}(X_{0},X_{1};0)\cdot\Gamma_{0}(-X_{1})\frac{\exp(-2\pi iX_{1})-1}{-2\pi i}\cdot\ep(\Phi^{\ast}(X_{0},X_{1};0)\Gamma_{0}(-X_{1}))\\ &=\Phi^{\ast}(X_{0},X_{1};0)\cdot\Gamma_{0}(-X_{1})\Gamma_{0}(X_{1})\frac{\exp(-2\pi iX_{1})-1}{-2\pi i}\cdot\ep(\Phi^{\ast}(X_{0},X_{1};0))\\ \end{align}
がわかる. ガンマ関数と $\Gamma_{0}$ の関係および相反公式を用いれば
\begin{align} \Gamma_{0}(-X_{1})\Gamma_{0}(X_{1})\frac{\exp(-2\pi iX_{1})-1}{-2\pi i} &=\frac{\pi X_{1}}{\sin \pi X_{1}}\frac{\exp(-2\pi iX_{1})-1}{-2\pi i}\\ &=e^{-\pi iX_{1}}X_{1} \end{align}
であるから, $F$ の定義より
$$\sum_{\bk\in\cI_{0}}\zeta_{\cRS}(\bk)X_{\bk}X_{1}=F$$
が得られた.