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超幾何関数の変換公式の導出

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はじめに

 この記事ではKummerの二次変換公式
2F1(2a,2ba+b+12;z)=2F1(a,ba+b+12;4z(1z))
を筆頭とした超幾何関数の変換公式を発見的に、そして網羅的に導出していきます。
 ただ今回の記事はいつもとは違い、予め書いておいたPDFを配布する形となります。
 そのリンクはこちら hypergeometric.pdf

 ここではPDFで紹介した変換公式をまとめておくだけにとどめておきます。

変換公式まとめ

一次変換

2F1(a,bc;z)=(1z)cab2F1(ca,cbc;z)=(1z)a2F1(a,cbc;zz1)=(1z)b2F1(ca,bc;zz1)=Γ(c)Γ(cab)Γ(ca)Γ(cb)2F1(a,ba+bc+1;1z)+Γ(c)Γ(a+bc)Γ(a)Γ(b)(1z)cab2F1(ca,cbcab+1;1z)=Γ(c)Γ(ba)Γ(b)Γ(ca)(z)a2F1(a,ac+1ab+1;1z)+Γ(c)Γ(ab)Γ(a)Γ(cb)(z)b2F1(b,bc+1ba+1;1z)

二次変換

F(a,b;a+b+12;z)=F(a2,b2;a+b+12;4z(1z))F(a,b;2b;z)=(1z)aF(a2,a+12b;ab+1;4z(1z)2)F(a,b;2b;z)=(1z)a2F(a2,ba2;b+12;z24(1z))F(a,b;a+b+12;z)=(12z)aF(a2,a+12;a+b+12;4z(1z)(12z)2)F(a,b;ab+1;z)=(1+z)aF(a2,a+12;ab+1;4z(1+z)2)F(a,b;2b;z)=(1z2)aF(a2,a+12;b+12;z2(2z)2)

三次変換

F(3a,a+13;2a+23;x)=(1+ω2x)3aF(a,a+13;2a+23;3ω(ω1)x(1x)(x+ω)3)F(3a,13a;12;z)=(1z)aF(a,16a;12;(98z)2z27(1z))F(3a,a+16;12;z)=(1z)2aF(a,16a;12;(9z)2z27(1z)2)F(3a,13a;12;z)=(143z)3aF(a,a+13;12;(98z)2z(4z3)3)F(3a,a+16;12;z)=(1+z3)3aF(a,a+13;12;(z9)2z(z+3)3)F(3a,13a;2a+56;z)=(14z)3aF(a,a+13;2a+56;27z(4z1)3)F(3a,a+16;4a+23;z)=(1z4)3aF(a,a+13;2a+56;27z2(4z)3)F(3a,3a+12;2a+56;z)=(134z)3aF(a,a+13;2a+56;27z2(1z)(3z4)3)F(3a,3a+12;2a+56;z)=(1+3z)3aF(a,a+13;2a+56;27z(1z)2(3z+1)3)F(3a,13a;2a+56;z)=(1+8z)2a(1z)aF(a,a+12;2a+56;27z(1+8z)2(1z))F(3a,a+16;4a+23;z)=(1+z8)2a(1z)aF(a,a+12;2a+56;27z2(z+8)2(1z))F(3a,3a+12;4a+23;z)=(198z)2aF(a,a+12;2a+56;27z2(1z)(9z8)2)F(3a,3a+12;2a+56;z)=(19z)2aF(a,a+12;2a+56;27z(1z)2(19z)2)

四次変換

F(4a,122a;23;z)=(1z)aF(a,16a;23;(89z)3z64(1z))F(4a,2a+16;23;z)=(1z)3aF(a,16a;23;(8+z)3z64(1z)3)F(4a,122a;23;z)=(836z+27z28)2aF(a,a+12;23;(9z8)3z(836z+27z2)2)F(4a,2a+16;23;z)=(820zz28)2aF(a,a+12;23;(8+z)3z(z220z8)2)F(4a,122a;2a+56;z)=(19z)3a(1z)aF(a,a+13;2a+56;64z(9z1)3(1z))F(4a,2a+16;6a+12;z)=(1z9)3a(1z)aF(a,a+13;2a+56;64z3(z9)3(1z))F(4a,4a+13;6a+12;z)=(189z)3aF(a,a+13;2a+56;64z3(1z)(98z)3)F(4a,4a+13;2a+56;z)=(1+8z)3aF(a,a+13;2a+56;64z(1z)3(1+8z)3)F(4a,122a;2a+56;z)=(1+18z27z2)2aF(a,a+12;2a+56;64z(1+18z27z2)2)F(4a,2a+16;6a+12;z)=(2718z227)2aF(a,a+12;2a+56;64z3(z2+18z27)2)F(4a,4a+13;6a+12;z)=(2736z+8z227)2aF(a,a+12;2a+56;64z3(1z)(8z236z+27)2)F(4a,4a+13;2a+56;z)=(120z8z2)2aF(a,a+12;2a+56;64z(1z)3(120z8z2)2)F(4a,2a+14;2a+34;z)=(1+z)4aF(a,a+14;2a+34;16z(1z)2(1+z)4)F(4a,2a+14;4a+12;z)=(1z2)4aF(a,a+14;2a+34;16z2(1z)(2z)4)F(4a,12;2a+34;z)=(12z)4aF(a,a+14;2a+34;16z(1z)(2z1)4)F(4a,2a+14;2a+34;z)=(16z+z2)2aF(a,a+12;2a+34;16z(1z)2(z26z+1)2)F(4a,2a+14;4a+12;z)=(44zz24)2aF(a,a+12;2a+34;16z2(1z)(z2+4z4)2)F(4a,12;2a+34;z)=(1+4zz2)2aF(a,a+12;2a+34;16z(1z)(1+4z4z2)2)

六次変換

F(6a,2a+12;4a+23;z)=(1z+z2)3aF(a,a+13;2a+56;27z2(1z)24(z2z+1)3)F(6a,23a;2a+56;z)=(116z+16z2)3aF(a,a+13;2a+56;108z(1z)(116z+16z2)3)F(6a,4a+16;2a+56;z)=(1616z+z216)3aF(a,a+13;2a+56;108z4(1z)(z216z+16)3)F(6a,4a+16;8a+13;z)=(1+14z+14z2)3aF(a,a+13;2a+56;108z(1z)4(1+14z+14z2)3)F(6a,2a+12;4a+23;z)=(23z3z2+2z32)2aF(a,a+12;2a+56;27z2(1z)2(2z33z23z+2)2)F(6a,23a;2a+56;z)=(1+30z96z2+64z3)2aF(a,a+12;2a+56;108z(1z)(64z396z2+30z+1)2)F(6a,4a+16;2a+56;z)=(6496z+30z2+z364)2aF(a,a+12;2a+56;108z4(1z)(z3+30z296z+64)2)F(6a,4a+16;8a+13;z)=(133z33z2+z3)2aF(a,a+12;2a+56;108z(1z)4(z333z33z+1)2)

無理変換

F(a,b;a+b+12;z)=F(2a,2b;a+b+12;11z2)F(a,a+12;c;z)=(1z)aF(2a,2(ca)1;c;1z121z)F(a,a+12;c;z)=(1+z)2aF(2a,c12;2c1;2z1+z)F(a,b;a+b+12;z)=(1z+z)2aF(2a,a+b;2(a+b);2z1z+z)F(a,b;a+b+12;z)=(1+1z2)2aF(2a,ab+12;a+b+12;1z11z+1)F(a,a+12;c;z)=(1+1z2)2aF(2a,2ac+1;c;11z1+1z)F(a,b;2b;z)=(1z)a2F(a,2ba;b+12;(11z)241z)F(a,b;a+b+12;z)=(1z+z)2aF(a,a+b2;a+b;4z(1z)(1z+z)2)F(a,b;ab+1;z)=(1+z)2aF(a,ab+12;2(ab)+1;4z(1+z)2)F(a,b;2b;z)=(1+1x2)2aF(a,ab+12;b+12;(11x1+1x)2)

投稿日:2023329
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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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