この記事ではKummerの二次変換公式2F1(2a,2ba+b+12;z)=2F1(a,ba+b+12;4z(1−z))を筆頭とした超幾何関数の変換公式を発見的に、そして網羅的に導出していきます。 ただ今回の記事はいつもとは違い、予め書いておいたPDFを配布する形となります。 そのリンクはこちら→ hypergeometric.pdf
ここではPDFで紹介した変換公式をまとめておくだけにとどめておきます。
2F1(a,bc;z)=(1−z)c−a−b2F1(c−a,c−bc;z)=(1−z)−a2F1(a,c−bc;zz−1)=(1−z)−b2F1(c−a,bc;zz−1)=Γ(c)Γ(c−a−b)Γ(c−a)Γ(c−b)2F1(a,ba+b−c+1;1−z)+Γ(c)Γ(a+b−c)Γ(a)Γ(b)(1−z)c−a−b2F1(c−a,c−bc−a−b+1;1−z)=Γ(c)Γ(b−a)Γ(b)Γ(c−a)(−z)−a2F1(a,a−c+1a−b+1;1z)+Γ(c)Γ(a−b)Γ(a)Γ(c−b)(−z)−b2F1(b,b−c+1b−a+1;1z)
F(a,b;a+b+12;z)=F(a2,b2;a+b+12;4z(1−z))F(a,b;2b;z)=(1−z)−aF(a2,a+12−b;a−b+1;−4z(1−z)2)F(a,b;2b;z)=(1−z)−a2F(a2,b−a2;b+12;z2−4(1−z))F(a,b;a+b+12;z)=(1−2z)−aF(a2,a+12;a+b+12;−4z(1−z)(1−2z)2)F(a,b;a−b+1;z)=(1+z)−aF(a2,a+12;a−b+1;4z(1+z)2)F(a,b;2b;z)=(1−z2)−aF(a2,a+12;b+12;z2(2−z)2)
F(3a,a+13;2a+23;x)=(1+ω2x)−3aF(a,a+13;2a+23;3ω(ω−1)x(1−x)(x+ω)3)F(3a,13−a;12;z)=(1−z)−aF(a,16−a;12;(9−8z)2z27(1−z))F(3a,a+16;12;z)=(1−z)−2aF(a,16−a;12;(9−z)2z−27(1−z)2)F(3a,13−a;12;z)=(1−43z)−3aF(a,a+13;12;(9−8z)2z(4z−3)3)F(3a,a+16;12;z)=(1+z3)−3aF(a,a+13;12;(z−9)2z(z+3)3)F(3a,13−a;2a+56;z)=(1−4z)−3aF(a,a+13;2a+56;27z(4z−1)3)F(3a,a+16;4a+23;z)=(1−z4)−3aF(a,a+13;2a+56;27z2(4−z)3)F(3a,3a+12;2a+56;z)=(1−34z)−3aF(a,a+13;2a+56;−27z2(1−z)(3z−4)3)F(3a,3a+12;2a+56;z)=(1+3z)−3aF(a,a+13;2a+56;27z(1−z)2(3z+1)3)F(3a,13−a;2a+56;z)=(1+8z)−2a(1−z)−aF(a,a+12;2a+56;27z(1+8z)2(1−z))F(3a,a+16;4a+23;z)=(1+z8)−2a(1−z)−aF(a,a+12;2a+56;−27z2(z+8)2(1−z))F(3a,3a+12;4a+23;z)=(1−98z)−2aF(a,a+12;2a+56;−27z2(1−z)(9z−8)2)F(3a,3a+12;2a+56;z)=(1−9z)−2aF(a,a+12;2a+56;−27z(1−z)2(1−9z)2)
F(4a,12−2a;23;z)=(1−z)−aF(a,16−a;23;(8−9z)3z64(1−z))F(4a,2a+16;23;z)=(1−z)−3aF(a,16−a;23;(8+z)3z−64(1−z)3)F(4a,12−2a;23;z)=(8−36z+27z28)−2aF(a,a+12;23;(9z−8)3z(8−36z+27z2)2)F(4a,2a+16;23;z)=(8−20z−z28)−2aF(a,a+12;23;(8+z)3z(z2−20z−8)2)F(4a,12−2a;2a+56;z)=(1−9z)−3a(1−z)−aF(a,a+13;2a+56;64z(9z−1)3(1−z))F(4a,2a+16;6a+12;z)=(1−z9)−3a(1−z)−aF(a,a+13;2a+56;64z3(z−9)3(1−z))F(4a,4a+13;6a+12;z)=(1−89z)−3aF(a,a+13;2a+56;64z3(1−z)(9−8z)3)F(4a,4a+13;2a+56;z)=(1+8z)−3aF(a,a+13;2a+56;64z(1−z)3(1+8z)3)F(4a,12−2a;2a+56;z)=(1+18z−27z2)−2aF(a,a+12;2a+56;64z(1+18z−27z2)2)F(4a,2a+16;6a+12;z)=(27−18−z227)−2aF(a,a+12;2a+56;64z3(z2+18z−27)2)F(4a,4a+13;6a+12;z)=(27−36z+8z227)−2aF(a,a+12;2a+56;−64z3(1−z)(8z2−36z+27)2)F(4a,4a+13;2a+56;z)=(1−20z−8z2)−2aF(a,a+12;2a+56;−64z(1−z)3(1−20z−8z2)2)F(4a,2a+14;2a+34;z)=(1+z)−4aF(a,a+14;2a+34;16z(1−z)2(1+z)4)F(4a,2a+14;4a+12;z)=(1−z2)−4aF(a,a+14;2a+34;16z2(1−z)(2−z)4)F(4a,12;2a+34;z)=(1−2z)−4aF(a,a+14;2a+34;−16z(1−z)(2z−1)4)F(4a,2a+14;2a+34;z)=(1−6z+z2)−2aF(a,a+12;2a+34;−16z(1−z)2(z2−6z+1)2)F(4a,2a+14;4a+12;z)=(4−4z−z24)−2aF(a,a+12;2a+34;−16z2(1−z)(z2+4z−4)2)F(4a,12;2a+34;z)=(1+4z−z2)−2aF(a,a+12;2a+34;16z(1−z)(1+4z−4z2)2)
F(6a,2a+12;4a+23;z)=(1−z+z2)−3aF(a,a+13;2a+56;27z2(1−z)24(z2−z+1)3)F(6a,23−a;2a+56;z)=(1−16z+16z2)−3aF(a,a+13;2a+56;108z(1−z)(1−16z+16z2)3)F(6a,4a+16;2a+56;z)=(16−16z+z216)−3aF(a,a+13;2a+56;−108z4(1−z)(z2−16z+16)3)F(6a,4a+16;8a+13;z)=(1+14z+14z2)−3aF(a,a+13;2a+56;−108z(1−z)4(1+14z+14z2)3)F(6a,2a+12;4a+23;z)=(2−3z−3z2+2z32)−2aF(a,a+12;2a+56;−27z2(1−z)2(2z3−3z2−3z+2)2)F(6a,23−a;2a+56;z)=(1+30z−96z2+64z3)−2aF(a,a+12;2a+56;−108z(1−z)(64z3−96z2+30z+1)2)F(6a,4a+16;2a+56;z)=(64−96z+30z2+z364)−2aF(a,a+12;2a+56;−108z4(1−z)(z3+30z2−96z+64)2)F(6a,4a+16;8a+13;z)=(1−33z−33z2+z3)−2aF(a,a+12;2a+56;108z(1−z)4(z3−33z−33z+1)2)
F(a,b;a+b+12;z)=F(2a,2b;a+b+12;1−1−z2)F(a,a+12;c;z)=(1−z)−aF(2a,2(c−a)−1;c;1−z−121−z)F(a,a+12;c;z)=(1+z)−2aF(2a,c−12;2c−1;2z1+z)F(a,b;a+b+12;z)=(1−z+−z)−2aF(2a,a+b;2(a+b);2−z1−z+−z)F(a,b;a+b+12;z)=(1+1−z2)−2aF(2a,a−b+12;a+b+12;1−z−11−z+1)F(a,a+12;c;z)=(1+1−z2)−2aF(2a,2a−c+1;c;1−1−z1+1−z)F(a,b;2b;z)=(1−z)−a2F(a,2b−a;b+12;(1−1−z)2−41−z)F(a,b;a+b+12;z)=(1−z+−z)−2aF(a,a+b2;a+b;4z(1−z)(1−z+−z)2)F(a,b;a−b+1;z)=(1+z)−2aF(a,a−b+12;2(a−b)+1;4z(1+z)2)F(a,b;2b;z)=(1+1−x2)−2aF(a,a−b+12;b+12;(1−1−x1+1−x)2)
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