大学数学基礎解説

指数法則の証明

数学的帰納法,群論

3235

導入

証明が気になったので，モノイドや群における指数法則を，累乗の帰納的定義のみを用いて示してみました．

$Z$ で整数の全体を， $N$ で非負整数の全体を表します．

モノイドにおける指数法則

$M$ をモノイドとして，その演算を $\cdot$ で表し，単位元を $1$ で表す．

$x \in M$ と $n \in N$ に対して， $M$ の元 $x^{n}$ を $x^{0} = 1$ と $x^{n + 1} = x^{n} \cdot x$ ( $n \in N$ ) により帰納的に定義する．

$x \in M$ に対して $x^{1} = x^{0 + 1} = x^{0} \cdot x = 1 \cdot x = x$ である．

指数法則 1

任意の $x \in M$ と $m, n \in N$ に対して
$(1)_{x, m, n} x^{m + n} = x^{m} \cdot x^{n} .$
である．

$x \in M$ と $m \in N$ を任意に取り，等式 $(1)_{x, m, n}$ が成り立つことを $n$ に関する帰納法で示す．

$x^{m + 0} = x^{m} = x^{m} \cdot 1 = x^{m} \cdot x^{0}$ なので $(1)_{x, m, 0}$ は成り立つ．

$n \in N$ を任意に取る． $(1)_{x, m, n}$ が成り立てば，
$x^{m + (n + 1)} = x^{(m + n) + 1} = x^{m + n} \cdot x \overset{(*)}{=} (x^{m} \cdot x^{n}) \cdot x = x^{m} \cdot (x^{n} \cdot x) = x^{m} \cdot x^{n + 1} .$
となって $(1)_{x, m + 1, n}$ も成り立つ ( $(*)$ では $(1)_{x, m, n}$ を用いた)．

命題 1 の別証明

$x \in M$ と $k \in N$ を任意に取り，「 $k = m + n$ をみたす任意の $m, n \in N$ について等式 $(1)_{x, m, n}$ が成り立つ」という命題を $P (k)$ で表し， $k$ に関する帰納法で示す．

$0 = m + n$ となる $m, n \in N$ は $(m, n) = (0, 0)$ のみである． $x^{0 + 0} = x^{0} = x^{0} \cdot 1 = x^{0} \cdot x^{0}$ なので $(1)_{x, 0, 0}$ は成り立ち， $P (0)$ は成り立つ．

$k \in N$ を任意に取り， $P (k)$ が成り立つことを仮定する． $k + 1 = m + n$ をみたす $m, n \in N$ を任意に取る．

$m = k + 1$ かつ $n = 0$ のときは $x^{(k + 1) + 0} = x^{k + 1} = x^{k + 1} \cdot 1 = x^{k + 1} \cdot x^{0}$ となってわかる．
$n > 0$ のときは， $n - 1 \in N$ と $m + (n - 1) = k$ に注意すれば，
$x^{m + n} = x^{(m + (n - 1)) + 1} = x^{m + (n - 1)} \cdot x \overset{(*)}{=} (x^{m} \cdot x^{n - 1}) \cdot x = x^{m} \cdot (x^{n - 1} \cdot x) = x^{m} \cdot x^{n} .$
となってわかる ( $(*)$ では $(1)_{m, n - 1}$ を用いた)．

よって $(1)_{x, m, n}$ も成り立ち， $m, n$ の任意性から $P (k + 1)$ も成り立つ．

命題 1

任意の $x \in M$ と $m, n \in N$ に対して
$(2)_{x, n} x \cdot x^{n} = x^{n} \cdot x .$
である．

$x \cdot x^{n} = x^{1} \cdot x^{n} \overset{(*)}{=} x^{1 + n} = x^{n + 1} \overset{(* *)}{=} x^{n} \cdot x^{1} = x^{n} \cdot x$ となってわかる ( $(*)$ と $(* *)$ ではそれぞれ $(1)_{x, 1, n}$ と $(1)_{x, n, 1}$ を用いた)．

群における指数法則

$G$ を群として，その演算を $\cdot$ で表し，単位元を $1$ で表し， $g \in G$ の逆元を $g^{- 1}$ で表す． $G$ は同じ演算 $\cdot$ (と単位元) に関してモノイドをなすので，指数法則とその系は $G$ の元についても成立する．

$g \in G$ と $n < 0$ をみたす $n \in Z$ に対して， $G$ の元 $g^{n}$ を $g^{n} = (g^{- 1})^{- n}$ で定義する．ここで，右辺に現れる $(g^{- 1})^{- n}$ は定義 1 で導入したものである．

定義 1 と定義 2 を合わせれば， $g \in G$ と $n \in Z$ に対して $g^{n} \in G$ が定まったことになる．

$g \in G$ に対して， $g$ の逆元を $h \in G$ で表し，定義 2 の意味での $g^{- 1}$ を $h^{'} \in G$ で表すとき， $h^{'} = h^{- (- 1)} = h^{1} = h$ なので， $g$ の逆元は定義 2 の意味での $g^{- 1}$ に等しいことがわかる．

任意の $g \in G$ と $n \in N$ に対して
$(3)_{g, n} (g^{n})^{- 1} = (g^{- 1})^{n} .$
である．

$g \in G$ を任意に取り，等式 $(3)_{g, n}$ が成り立つことを $n$ に関する帰納法で示す．

$1$ は $1$ 自身の逆元なので $(g^{0})^{- 1} = 1^{- 1} = 1 = (g^{- 1})^{0}$ であり， $(3)_{g, 0}$ は成り立つ．

$n \in N$ を任意に取る． $(3)_{g, n}$ が成り立てば，
$(g^{n + 1})^{- 1} = (g^{n} \cdot g)^{- 1} \overset{(†)}{=} g^{- 1} \cdot (g^{n})^{- 1} \overset{(*)}{=} g^{- 1} \cdot (g^{- 1})^{n} \overset{(* *)}{=} (g^{- 1})^{n} \cdot g^{- 1} = (g^{- 1})^{n + 1} .$
となって $(3)_{g, n + 1}$ も成り立つ ( $(†)$ では $h, k \in G$ に対して $(h \cdot k)^{- 1} = k^{- 1} \cdot h^{- 1}$ が成り立つことを， $(*)$ と $(* *)$ ではそれぞれ $(3)_{g, n}$ と $(2)_{g^{- 1}, n}$ を用いた．)．

指数法則 2

任意の $g \in G$ と $s, t \in N$ に対して
$(4)_{g, s, t} g^{s - t} = g^{s} \cdot (g^{- 1})^{t} .$
である．

$g \in G$ と $s, t \in N$ を任意に取る．

$s ⩾ t$ のときは， $s - t \in N$ に注意すれば，
$g^{s - t} = g^{s - t} \cdot 1 = g^{s - t} \cdot [g^{t} \cdot (g^{t})^{- 1}] = (g^{s - t} \cdot g^{t}) \cdot (g^{t})^{- 1} \overset{(*)}{=} (g^{s - t} \cdot g^{t}) \cdot (g^{- 1})^{t} \overset{(* *)}{=} g^{s} \cdot (g^{- 1})^{t} .$
となってわかる ( $(*)$ と $(* *)$ ではそれぞれ $(3)_{g, t}$ と $(1)_{g, s - t, t}$ を用いた)．
$s < t$ のときは， $s - t < 0$ と $t - s \in N$ に注意すれば，
$\begin{aligned} g^{s - t} & = (g^{- 1})^{t - s} = 1 \cdot (g^{- 1})^{t - s} = [g^{s} \cdot (g^{s})^{- 1}] \cdot (g^{- 1})^{t - s} \\ = g^{s} \cdot [(g^{s})^{- 1} \cdot (g^{- 1})^{t - s}] \overset{(*)}{=} g^{s} \cdot [(g^{- 1})^{s} \cdot (g^{- 1})^{t - s}] \overset{(* *)}{=} g^{s} \cdot (g^{- 1})^{t} . \end{aligned}$
となってわかる ( $(*)$ と $(* *)$ ではそれぞれ $(3)_{g, s}$ と $(2)_{g^{- 1}, s, t - s}$ を用いた)．

任意の $g \in G$ と $n \in Z$ に対して，
$(5)_{g, n} g^{n} = (g^{- 1})^{- n} .$
である．

$g^{0} = 1 = (g^{- 1})^{0} = (g^{- 1})^{- 0}$ なので $(5)_{g, 0}$ は成り立つ．
$n > 0$ のときは， $- n < 0$ に注意すれば， $(g^{- 1})^{- n}$ の定義と $(g^{- 1})^{- 1} = g$ から $g^{n} = ((g^{- 1})^{- 1})^{n} = (g^{- 1})^{- n}$ となって $(5)_{g, n}$ は成り立つ．
$n < 0$ のときは， $g^{n}$ の定義から $(5)_{g, n}$ は成り立つ．

指数法則 1 の拡張

任意の $g \in G$ と $m, n \in Z$ に対して $g^{m + n} = g^{m} \cdot g^{n}$ である．

$g \in G$ と $m, n \in Z$ を任意に取る．

$m, n ⩾ 0$ のときは命題 1 (指数法則 1) から従う．
$m ⩾ 0$ かつ $n < 0$ のときは， $m, - n \in N$ に注意すれば， $g^{m + n} = g^{m - (- n)} \overset{(*)}{=} g^{m} \cdot (g^{- 1})^{- n} = g^{m} \cdot g^{n}$ となってわかる ( $(*)$ では $(4)_{g, m, - n}$ を用いた)．
$m < 0$ かつ $n ⩾ 0$ のときは， $- m, n \in N$ に注意すれば，
$g^{m + n} \overset{(*)}{=} (g^{- 1})^{- (m + n)} = (g^{- 1})^{- m - n} \overset{(* *)}{=} (g^{- 1})^{- m} \cdot [(g^{- 1})^{- 1}]^{n} = g^{m} \cdot [(g^{- 1})^{- 1}]^{n} \overset{(‡)}{=} g^{m} \cdot g^{n} .$
となってわかる ( $(*)$ と $(* *)$ ではそれぞれ $(5)_{g, m + n}$ と $(4)_{g^{- 1}, - m, n}$ を用いて， $(‡)$ では $(g^{- 1})^{- 1} = g$ を用いた)．
$m, n < 0$ のときは， $m + n < 0$ と $- m, - n \in N$ に注意すれば，
$g^{m + n} = (g^{- 1})^{- (m + n)} = (g^{- 1})^{(- m) + (- n)} \overset{(*)}{=} (g^{- 1})^{- m} \cdot (g^{- 1})^{- n} = g^{m} \cdot g^{n} .$
となってわかる ( $(*)$ では $(1)_{g^{- 1}, - m, - n}$ を用いた)．

投稿日：2023年3月30日

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数学科に所属しています．博士１年生です．

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