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指数法則の証明

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$$\newcommand{A}[0]{\mathbb{A}} \newcommand{Ab}[0]{\mathcal{A}b} \newcommand{btl}[1]{\boxtimes_l^{#1}} \newcommand{btr}[1]{\boxtimes_r^{#1}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{chab}[0]{\operatorname{Ch}(\mathcal{A}b)} \newcommand{ecat}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{eps}[0]{\epsilon} \newcommand{es}[0]{\emptyset} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{func}[3]{{#1}\,\colon{#2}\to{#3}} \newcommand{gpd}[0]{\mathcal{G}\mathrm{pd}} \newcommand{id}[1]{\mathrm{id}_{#1}} \newcommand{mor}[3]{\operatorname{Hom}_{#1}({#2},{#3})} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{ob}[1]{\lvert{#1}\rvert} \newcommand{P}[0]{\mathbf{P}} \newcommand{pchab}[0]{\operatorname{Ch}(\mathcal{A}b)_{\ge0}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Set}[0]{\mathsf{Set}} \newcommand{set}[0]{\textbf{Set}} \newcommand{ssg}[0]{\operatorname{Fun}(\mathbf{\Delta}^{op},\mathcal{Ab})} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

導入

証明が気になったので,モノイドや群における指数法則を,累乗の帰納的定義のみを用いて示してみました.

$\mathbb{Z}$で整数の全体を,$\mathbb{N}$で非負整数の全体を表します.

モノイドにおける指数法則

$M$をモノイドとして,その演算を$\cdot$で表し,単位元を$1$で表す.

$x\in M$$n\in\mathbb{N}$に対して,$M$の元$x^n$$x^0=1$$x^{n+1}=x^n\cdot x$ ($n\in\mathbb{N}$) により帰納的に定義する.

$x\in M$に対して$x^1=x^{0+1}=x^0\cdot x=1\cdot x=x$である.

指数法則 1

任意の$x\in M$$m,n\in\mathbb{N}$に対して
$$(1)_{x,m,n}\,\,\,\,\,\,\,\,x^{m+n}=x^m\cdot x^n.$$
である.

$x\in M$$m\in\mathbb{N}$を任意に取り,等式$(1)_{x,m,n}$が成り立つことを$n$に関する帰納法で示す.

$x^{m+0}=x^m=x^m\cdot1=x^m\cdot x^0$なので$(1)_{x,m,0}$は成り立つ.

$n\in\mathbb{N}$を任意に取る.$(1)_{x,m,n}$が成り立てば,
$${x^{m+(n+1)} =x^{(m+n)+1} =x^{m+n}\cdot x \overset{(*)}{=}(x^m\cdot x^n)\cdot x =x^m\cdot(x^n\cdot x) =x^m\cdot x^{n+1}.}$$
となって$(1)_{x,m+1,n}$も成り立つ ($(*)$では$(1)_{x,m,n}$を用いた).

命題 1 の別証明

$x\in M$$k\in\N$を任意に取り,「$k=m+n$をみたす任意の$m,n\in\N$について等式$(1)_{x,m,n}$が成り立つ」という命題を$P(k)$で表し,$k$に関する帰納法で示す.

$0=m+n$となる$m,n\in\N$$(m,n)=(0,0)$のみである.$x^{0+0}=x^0=x^0\cdot1=x^0\cdot x^0$なので$(1)_{x,0,0}$は成り立ち,$P(0)$は成り立つ.

$k\in\N$を任意に取り,$P(k)$が成り立つことを仮定する.$k+1=m+n$をみたす$m,n\in\N$を任意に取る.

  1. $m=k+1$かつ$n=0$のときは$x^{(k+1)+0}=x^{k+1}=x^{k+1}\cdot1=x^{k+1}\cdot x^0$となってわかる.
  2. $n>0$のときは,$n-1\in\N$$m+(n-1)=k$に注意すれば,
    $$x^{m+n} =x^{(m+(n-1))+1} =x^{m+(n-1)}\cdot x \overset{(*)}{=}(x^m\cdot x^{n-1})\cdot x =x^m\cdot(x^{n-1}\cdot x) =x^m\cdot x^n.$$
    となってわかる ($(*)$では$(1)_{m,n-1}$を用いた).

よって$(1)_{x,m,n}$も成り立ち,$m,n$の任意性から$P(k+1)$も成り立つ.

命題 1

任意の$x\in M$$m,n\in\mathbb{N}$に対して
$$(2)_{x,n}\,\,\,\,\,\,\,\,x\cdot x^n=x^n\cdot x.$$
である.

$x\cdot x^n=x^1\cdot x^n\overset{(*)}{=}x^{1+n}=x^{n+1}\overset{(**)}{=}x^n\cdot x^1=x^n\cdot x$となってわかる ($(*)$$(**)$ではそれぞれ$(1)_{x,1,n}$$(1)_{x,n,1}$を用いた).

群における指数法則

$G$を群として,その演算を$\cdot$で表し,単位元を$1$で表し,$g\in G$の逆元を$g^{-1}$で表す.$G$は同じ演算$\cdot$ (と単位元) に関してモノイドをなすので,指数法則とその系は$G$の元についても成立する.

$g\in G$$n<0$をみたす$n\in\mathbb{Z}$に対して,$G$の元$g^n$$g^n=(g^{-1})^{-n}$で定義する.ここで,右辺に現れる$(g^{-1})^{-n}$は定義 1 で導入したものである.

定義 1 と定義 2 を合わせれば,$g\in G$$n\in\mathbb{Z}$に対して$g^n\in G$が定まったことになる.

$g\in G$に対して,$g$の逆元を$h\in G$で表し,定義 2 の意味での$g^{-1}$$h'\in G$で表すとき,$h'=h^{-(-1)}=h^1=h$なので,$g$の逆元は定義 2 の意味での$g^{-1}$に等しいことがわかる.

任意の$g\in G$$n\in\mathbb{N}$に対して
$(3)_{g,n}\,\,\,\,\,\,\,\,(g^n)^{-1}=(g^{-1})^n.$
である.

$g\in G$を任意に取り,等式$(3)_{g,n}$が成り立つことを$n$に関する帰納法で示す.

$1$$1$自身の逆元なので$(g^0)^{-1}=1^{-1}=1=(g^{-1})^0$であり,$(3)_{g,0}$は成り立つ.

$n\in\mathbb{N}$を任意に取る.$(3)_{g,n}$が成り立てば,
$${(g^{n+1})^{-1} =(g^n\cdot g)^{-1} \overset{(\dagger)}{=}g^{-1}\cdot(g^n)^{-1} \overset{(*)}{=}g^{-1}\cdot(g^{-1})^n \overset{(**)}{=}(g^{-1})^n\cdot g^{-1} =(g^{-1})^{n+1}.}$$
となって$(3)_{g,n+1}$も成り立つ ($(\dagger)$では$h,k\in G$に対して$(h\cdot k)^{-1}=k^{-1}\cdot h^{-1}$が成り立つことを,$(*)$$(**)$ではそれぞれ$(3)_{g,n}$$(2)_{g^{-1},n}$を用いた.).

指数法則 2

任意の$g\in G$$s,t\in\mathbb{N}$に対して
$(4)_{g,s,t}\,\,\,\,\,\,\,\,g^{s-t}=g^s\cdot(g^{-1})^t.$
である.

$g\in G$$s,t\in\mathbb{N}$を任意に取る.

  1. $s\geqslant t$のときは,$s-t\in\mathbb{N}$に注意すれば,
    $${g^{s-t} =g^{s-t}\cdot1 =g^{s-t}\cdot[g^t\cdot(g^t)^{-1}] =(g^{s-t}\cdot g^t)\cdot(g^t)^{-1} \overset{(*)}{=}(g^{s-t}\cdot g^t)\cdot(g^{-1})^t \overset{(**)}{=}g^s\cdot(g^{-1})^t.}$$
    となってわかる ($(*)$$(**)$ではそれぞれ$(3)_{g,t}$$(1)_{g,s-t,t}$を用いた).
  2. $s< t$のときは,$s-t<0$$t-s\in\mathbb{N}$に注意すれば,
    $${\begin{align} g^{s-t} &=(g^{-1})^{t-s} =1\cdot(g^{-1})^{t-s} =[g^s\cdot(g^s)^{-1}]\cdot(g^{-1})^{t-s}\\ &=g^s\cdot[(g^s)^{-1}\cdot(g^{-1})^{t-s}] \overset{(*)}{=}g^s\cdot[(g^{-1})^s\cdot(g^{-1})^{t-s}] \overset{(**)}{=}g^s\cdot(g^{-1})^t. \end{align}}$$
    となってわかる ($(*)$$(**)$ではそれぞれ$(3)_{g,s}$$(2)_{g^{-1},s,t-s}$を用いた).

任意の$g\in G$$n\in\mathbb{Z}$に対して,
$$(5)_{g,n}\,\,\,\,\,\,\,\,g^n=(g^{-1})^{-n}.$$
である.

  1. $g^0=1=(g^{-1})^0=(g^{-1})^{-0}$なので$(5)_{g,0}$は成り立つ.
  2. $n>0$のときは,$-n<0$に注意すれば,$(g^{-1})^{-n}$の定義と$(g^{-1})^{-1}=g$から$g^n=((g^{-1})^{-1})^n=(g^{-1})^{-n}$となって$(5)_{g,n}$は成り立つ.
  3. $n<0$のときは,$g^n$の定義から$(5)_{g,n}$は成り立つ.
指数法則 1 の拡張

任意の$g\in G$$m,n\in\mathbb{Z}$に対して$g^{m+n}=g^m\cdot g^n$である.

$g\in G$$m,n\in\mathbb{Z}$を任意に取る.

  1. $m,n\geqslant0$のときは命題 1 (指数法則 1) から従う.
  2. $m\geqslant0$かつ$n<0$のときは,$m,-n\in\mathbb{N}$に注意すれば,$g^{m+n} =g^{m-(-n)} \overset{(*)}{=}g^m\cdot(g^{-1})^{-n} =g^m\cdot g^n$となってわかる ($(*)$では$(4)_{g,m,-n}$を用いた).
  3. $m<0$かつ$n\geqslant0$のときは,$-m,n\in\mathbb{N}$に注意すれば,
    $${g^{m+n}\overset{(*)}{=}(g^{-1})^{-(m+n)} =(g^{-1})^{-m-n} \overset{(**)}{=}(g^{-1})^{-m}\cdot[(g^{-1})^{-1}]^n =g^m\cdot[(g^{-1})^{-1}]^n \overset{(\ddagger)}{=}g^m\cdot g^n.}$$
    となってわかる ($(*)$$(**)$ではそれぞれ$(5)_{g,m+n}$$(4)_{g^{-1},-m,n}$を用いて,$(\ddagger)$では$(g^{-1})^{-1}=g$を用いた).
  4. $m,n<0$のときは,$m+n<0$$-m,-n\in\mathbb{N}$に注意すれば,
    $${g^{m+n} =(g^{-1})^{-(m+n)} =(g^{-1})^{(-m)+(-n)} \overset{(*)}{=}(g^{-1})^{-m}\cdot(g^{-1})^{-n} =g^m\cdot g^n.}$$
    となってわかる ($(*)$では$(1)_{g^{-1},-m,-n}$を用いた).
投稿日:2023330

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数学科に所属しています.修士一年生です.

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