指数法則の証明
導入
証明が気になったので，モノイドや群における指数法則を，累乗の帰納的定義のみを用いて示してみました．
$\mathbb{Z}$で整数の全体を，$\mathbb{N}$で非負整数の全体を表します．
モノイドにおける指数法則
$M$をモノイドとして，その演算を$\cdot$で表し，単位元を$1$で表す．
$x\in M$と$n\in\mathbb{N}$に対して，$M$の元$x^n$を$x^0=1$と$x^{n+1}=x^n\cdot x$ ($n\in\mathbb{N}$) により帰納的に定義する．
$x\in M$に対して$x^1=x^{0+1}=x^0\cdot x=1\cdot x=x$である．
任意の$x\in M$と$m,n\in\mathbb{N}$に対して
$$(1)_{x,m,n}\,\,\,\,\,\,\,\,x^{m+n}=x^m\cdot x^n.$$
である．
$x\in M$と$m\in\mathbb{N}$を任意に取り，等式$(1)_{x,m,n}$が成り立つことを$n$に関する帰納法で示す．
$x^{m+0}=x^m=x^m\cdot1=x^m\cdot x^0$なので$(1)_{x,m,0}$は成り立つ．
$n\in\mathbb{N}$を任意に取る．$(1)_{x,m,n}$が成り立てば，
$${x^{m+(n+1)}
=x^{(m+n)+1}
=x^{m+n}\cdot x
\overset{(*)}{=}(x^m\cdot x^n)\cdot x
=x^m\cdot(x^n\cdot x)
=x^m\cdot x^{n+1}.}$$
となって$(1)_{x,m+1,n}$も成り立つ ($(*)$では$(1)_{x,m,n}$を用いた)．
$x\in M$と$k\in\N$を任意に取り，「$k=m+n$をみたす任意の$m,n\in\N$について等式$(1)_{x,m,n}$が成り立つ」という命題を$P(k)$で表し，$k$に関する帰納法で示す．
$0=m+n$となる$m,n\in\N$は$(m,n)=(0,0)$のみである．$x^{0+0}=x^0=x^0\cdot1=x^0\cdot x^0$なので$(1)_{x,0,0}$は成り立ち，$P(0)$は成り立つ．
$k\in\N$を任意に取り，$P(k)$が成り立つことを仮定する．$k+1=m+n$をみたす$m,n\in\N$を任意に取る．
- $m=k+1$かつ$n=0$のときは$x^{(k+1)+0}=x^{k+1}=x^{k+1}\cdot1=x^{k+1}\cdot x^0$となってわかる．
- $n>0$のときは，$n-1\in\N$と$m+(n-1)=k$に注意すれば，
$$x^{m+n} =x^{(m+(n-1))+1} =x^{m+(n-1)}\cdot x \overset{(*)}{=}(x^m\cdot x^{n-1})\cdot x =x^m\cdot(x^{n-1}\cdot x) =x^m\cdot x^n.$$
となってわかる ($(*)$では$(1)_{m,n-1}$を用いた)．
よって$(1)_{x,m,n}$も成り立ち，$m,n$の任意性から$P(k+1)$も成り立つ．
任意の$x\in M$と$m,n\in\mathbb{N}$に対して
$$(2)_{x,n}\,\,\,\,\,\,\,\,x\cdot x^n=x^n\cdot x.$$
である．
$x\cdot x^n=x^1\cdot x^n\overset{(*)}{=}x^{1+n}=x^{n+1}\overset{(**)}{=}x^n\cdot x^1=x^n\cdot x$となってわかる ($(*)$と$(**)$ではそれぞれ$(1)_{x,1,n}$と$(1)_{x,n,1}$を用いた)．
群における指数法則
$G$を群として，その演算を$\cdot$で表し，単位元を$1$で表し，$g\in G$の逆元を$g^{-1}$で表す．$G$は同じ演算$\cdot$ (と単位元) に関してモノイドをなすので，指数法則とその系は$G$の元についても成立する．
$g\in G$と$n<0$をみたす$n\in\mathbb{Z}$に対して，$G$の元$g^n$を$g^n=(g^{-1})^{-n}$で定義する．ここで，右辺に現れる$(g^{-1})^{-n}$は定義 1 で導入したものである．
定義 1 と定義 2 を合わせれば，$g\in G$と$n\in\mathbb{Z}$に対して$g^n\in G$が定まったことになる．
$g\in G$に対して，$g$の逆元を$h\in G$で表し，定義 2 の意味での$g^{-1}$を$h'\in G$で表すとき，$h'=h^{-(-1)}=h^1=h$なので，$g$の逆元は定義 2 の意味での$g^{-1}$に等しいことがわかる．
任意の$g\in G$と$n\in\mathbb{N}$に対して
$(3)_{g,n}\,\,\,\,\,\,\,\,(g^n)^{-1}=(g^{-1})^n.$
である．
$g\in G$を任意に取り，等式$(3)_{g,n}$が成り立つことを$n$に関する帰納法で示す．
$1$は$1$自身の逆元なので$(g^0)^{-1}=1^{-1}=1=(g^{-1})^0$であり，$(3)_{g,0}$は成り立つ．
$n\in\mathbb{N}$を任意に取る．$(3)_{g,n}$が成り立てば，
$${(g^{n+1})^{-1}
=(g^n\cdot g)^{-1}
\overset{(\dagger)}{=}g^{-1}\cdot(g^n)^{-1}
\overset{(*)}{=}g^{-1}\cdot(g^{-1})^n
\overset{(**)}{=}(g^{-1})^n\cdot g^{-1}
=(g^{-1})^{n+1}.}$$
となって$(3)_{g,n+1}$も成り立つ ($(\dagger)$では$h,k\in G$に対して$(h\cdot k)^{-1}=k^{-1}\cdot h^{-1}$が成り立つことを，$(*)$と$(**)$ではそれぞれ$(3)_{g,n}$と$(2)_{g^{-1},n}$を用いた．)．
任意の$g\in G$と$s,t\in\mathbb{N}$に対して
$(4)_{g,s,t}\,\,\,\,\,\,\,\,g^{s-t}=g^s\cdot(g^{-1})^t.$
である．
$g\in G$と$s,t\in\mathbb{N}$を任意に取る．
- $s\geqslant t$のときは，$s-t\in\mathbb{N}$に注意すれば，
$${g^{s-t} =g^{s-t}\cdot1 =g^{s-t}\cdot[g^t\cdot(g^t)^{-1}] =(g^{s-t}\cdot g^t)\cdot(g^t)^{-1} \overset{(*)}{=}(g^{s-t}\cdot g^t)\cdot(g^{-1})^t \overset{(**)}{=}g^s\cdot(g^{-1})^t.}$$
となってわかる ($(*)$と$(**)$ではそれぞれ$(3)_{g,t}$と$(1)_{g,s-t,t}$を用いた)． - $s< t$のときは，$s-t<0$と$t-s\in\mathbb{N}$に注意すれば，
$${\begin{align} g^{s-t} &=(g^{-1})^{t-s} =1\cdot(g^{-1})^{t-s} =[g^s\cdot(g^s)^{-1}]\cdot(g^{-1})^{t-s}\\ &=g^s\cdot[(g^s)^{-1}\cdot(g^{-1})^{t-s}] \overset{(*)}{=}g^s\cdot[(g^{-1})^s\cdot(g^{-1})^{t-s}] \overset{(**)}{=}g^s\cdot(g^{-1})^t. \end{align}}$$
となってわかる ($(*)$と$(**)$ではそれぞれ$(3)_{g,s}$と$(2)_{g^{-1},s,t-s}$を用いた)．
任意の$g\in G$と$n\in\mathbb{Z}$に対して，
$$(5)_{g,n}\,\,\,\,\,\,\,\,g^n=(g^{-1})^{-n}.$$
である．
- $g^0=1=(g^{-1})^0=(g^{-1})^{-0}$なので$(5)_{g,0}$は成り立つ．
- $n>0$のときは，$-n<0$に注意すれば，$(g^{-1})^{-n}$の定義と$(g^{-1})^{-1}=g$から$g^n=((g^{-1})^{-1})^n=(g^{-1})^{-n}$となって$(5)_{g,n}$は成り立つ．
- $n<0$のときは，$g^n$の定義から$(5)_{g,n}$は成り立つ．
任意の$g\in G$と$m,n\in\mathbb{Z}$に対して$g^{m+n}=g^m\cdot g^n$である．
$g\in G$と$m,n\in\mathbb{Z}$を任意に取る．
- $m,n\geqslant0$のときは命題 1 (指数法則 1) から従う．
- $m\geqslant0$かつ$n<0$のときは，$m,-n\in\mathbb{N}$に注意すれば，$g^{m+n} =g^{m-(-n)} \overset{(*)}{=}g^m\cdot(g^{-1})^{-n} =g^m\cdot g^n$となってわかる ($(*)$では$(4)_{g,m,-n}$を用いた)．
- $m<0$かつ$n\geqslant0$のときは，$-m,n\in\mathbb{N}$に注意すれば，
$${g^{m+n}\overset{(*)}{=}(g^{-1})^{-(m+n)} =(g^{-1})^{-m-n} \overset{(**)}{=}(g^{-1})^{-m}\cdot[(g^{-1})^{-1}]^n =g^m\cdot[(g^{-1})^{-1}]^n \overset{(\ddagger)}{=}g^m\cdot g^n.}$$
となってわかる ($(*)$と$(**)$ではそれぞれ$(5)_{g,m+n}$と$(4)_{g^{-1},-m,n}$を用いて，$(\ddagger)$では$(g^{-1})^{-1}=g$を用いた)． - $m,n<0$のときは，$m+n<0$と$-m,-n\in\mathbb{N}$に注意すれば，
$${g^{m+n} =(g^{-1})^{-(m+n)} =(g^{-1})^{(-m)+(-n)} \overset{(*)}{=}(g^{-1})^{-m}\cdot(g^{-1})^{-n} =g^m\cdot g^n.}$$
となってわかる ($(*)$では$(1)_{g^{-1},-m,-n}$を用いた)．