行列を用いて定義されるリー群の代数性について

1. 序

有名なHilbertの第5問題とその解決は

位相多様体$+$群構造$\Rightarrow$ 可微分多様体

である事を明らかにしました。この原稿では、

位相構造$+$群構造$+$線形性$\Rightarrow$（可換リー群の差を除き）代数多様体

である事の解説を試みます。具体的な主張については5節を参照してください。

2. 線形代数群と線形リー群の定義

この節ではタイトルにある二つの概念を例と共に簡単に思い出します。標準的な記法として、$M(n,\mathbb{R})$で$n$次正方行列全体の為す実ベクトル空間、$GL(n,\mathbb{R})$で可逆な$n$次正方行列全体が為す位相群を表すことにします。

上記の例はいずれも行列の成分の多項式を用いて定義できる為、以下の意味で線形代数群にもなっています。

線形代数群は$GL(n,\mathbb{R})$の閉部分群ですが、実は連結成分が有限である事も知られています（Whitneyの定理）。よって次が成立します（命題1はこの原稿では用いません）。

上記の命題の逆は以下の例に見られるように一般には成立しません。

本筋とは逸れますが、この節の最後に非線形なリー群の（重要な）例も紹介しておきます。以下は$SL(2,\mathbb{C})$が単連結である事とWeylのユニタリトリックから従います。

3. 線形リー群のリー環

所謂 von-Neumann と Cartan による定理（『リー群と表現論』5.6節参照）から、線形リー群は$GL(n,\mathbb{R})$の閉部分多様体です。特に線形リー群はリー群であり、単位行列における接空間は自然にリー環の構造を持つのでした。この節では線形リー群のリー環の、多様体論を用いない、より初等的な定義を思い出しておきましょう。

行列の指数写像$\exp :M(n,\mathbb{R})\to GL(n,\mathbb{R})$は零行列と単位行列の（十分小さい）近傍間の解析的微分同相写像を与えますが、Baker-Campbell-Hausdorffの公式
$\begin{array}{rl}\exp \left(X\right)\exp \left(Y\right)& =\exp (X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]+\frac{1}{12}[X,[X,Y]]+\cdots )\end{array}$
は、$M(n,\mathbb{R})$の（行列の普通の積ではなく）括弧積$[X,Y]=XY-YX$こそが、$GL(n,\mathbb{R})$の単位行列付近での積構造を反映する代数構造である事を教えてくれます。線形リー群$G\subset GL(n,\mathbb{R})$についても同様の役割を果たす代数構造としてリー環が定義されるのでした。

4. 線形群のザリスキ閉包

主定理の主張の説明の為に、次の命題と用語を思い出しておきましょう。

5. 主定理とその系

この節では主定理の主張を説明します。

2節で見たように、線形代数群は線形リー群ですが、その逆は成り立たないのでした。しかし、次の Claude Chevalleyによる定理は、この二つの概念には実はそれほど差がない事を明らかにします。

この定理と$\bar{\mathfrak{g}}/[\bar{\mathfrak{g}},\bar{\mathfrak{g}}]$が可換リー環である事から、$\mathfrak{g}$は$\bar{\mathfrak{g}}$のイデアルでその商は可換です。従って線形リー群と線形代数群には（連結成分の差を除いて）可換なリー群程度の差しかない事が分かります。可換なリー群はその構造がよく分かる為、この定理を用いて線形リー群に関する定理を線形代数群に帰着出来ることがあります。便利な定理ですが証明が載っている文献は私が知る限り現状入手し難いです。本定理の証明のアクセスを容易にし、普及する事が本稿の狙いです。

定理の自明な帰結として次が分かります。

6. 主定理の証明

証明を二段に分けて、

1. $G$が連結である場合への帰着
2. $G$が連結である場合の定理の証明

を行う事で定理を証明します。

$G$が連結である場合への帰着

$G_0$で$G$の連結成分を表し、$G_0$については定理が証明できたと仮定しましょう。この時、それぞれのザリスキ閉包$\overline{G_0}$,$\bar{G}$が同じリー環を持つ事を証明出来れば$G$についても定理が証明されます。この為には次の補題を証明する事が出来れば十分です。

$G$が連結である場合の定理の証明

まず記号の導入をしておきましょう。$g\in GL(n,\mathbb{R}),X\in M(n,\mathbb{R})$とします。

• $\mathrm{Ad}(g)\in {\mathrm{End}}_{\mathbb{R}}(M(n,\mathbb{R}))$を$Y\mapsto gY{g}^{-1}$によって、
• $\mathrm{ad}(X)\in {\mathrm{End}}_{\mathbb{R}}(M(n,\mathbb{R}))$を$Y\mapsto [X,Y]$によって

定めます。${\mathrm{End}}_{\mathbb{R}}(M(n,\mathbb{R}))$における関係式

を屡々断りなく使います。まず次の補題を証明しておきます。

以降では、$G$が連結である事を仮定して定理を証明しましょう。$[\bar{\mathfrak{g}},\bar{\mathfrak{g}}]\supset [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$は自明なので逆の包含関係を証明しましょう。

上記の補題により$H:=\{g\in GL(n,\mathbb{R})\mid (\mathrm{Ad}(g)-\mathrm{id})\mathfrak{g}\subset [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]\}$は線形代数群です。等式${\displaystyle \mathrm{Ad}(\exp \left(X\right))-\mathrm{id}=\mathrm{ad}(X)+\frac{\mathrm{ad}(X{)}^2}{2!}+\cdots }$から任意の$X\in \mathfrak{g}$に対して$\exp \left(X\right)\in H$である事が分かり、$G$の連結性から$G\subset H$が従います。$H$の代数性から$\bar{G}\subset H$も分かり、特に$\bar{\mathfrak{g}}\subset \mathfrak{h}$ですが、これは$[\bar{\mathfrak{g}},\mathfrak{g}]\subset [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$を意味します。

再び上記の補題により$H^{\prime }:=\{g\in GL(n,\mathbb{R})\mid (\mathrm{Ad}(g)-\mathrm{id})(\bar{\mathfrak{g}})\subset [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]\}$は線形代数群です。$[\bar{\mathfrak{g}},\mathfrak{g}]\subset [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$である事と、前段落と全く同様の議論により、今度は$[\bar{\mathfrak{g}},\bar{\mathfrak{g}}]\subset [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$が分かります。以上により等式$[\bar{\mathfrak{g}},\bar{\mathfrak{g}}]=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$が証明出来ました。