Dedekind の公理と Weierstrass の公理の同値性を丁寧に証明する

985

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

はじめに

　タイトル通り，実数の連続性を特徴づける2つの公理，Dedekind の公理と Weierstrass の公理の同値性を丁寧に示します．そのため大分冗長な証明になってしまいましたが，ご了承ください．また，上界，上限，下界，下限などの知識は前提としています．
　間違いなどありましたら，ご指摘いただけると幸いです．　

公理のステートメント

　2つの公理の主張は，それぞれ以下の通りです．また，Dedekind の公理には切断という概念が登場するため，それも紹介しています．

Dedekind の切断

全順序集合 $K$ の部分集合 $A$ , $B$ に対し $< A, B >$ が $K$ の切断であるとは，
$A \neq \emptyset$ ， $B \neq \emptyset$ ， $A \cup B = K$ ， $A \cap B = \emptyset,$
$a \in A \land b \in B ⟹ a < b$
を満たすことをいう．

Dedekind の公理

$R$ の任意の切断 $< A, B >$ に対し，次のいずれか一方が成り立つ．
(i) $max A$ は存在し， $min B$ は存在しない．
(ii) $min B$ は存在し， $max A$ は存在しない．

Weierstrass の公理

$R$ の空でない上に有界な部分集合は上限を持つ．

証明

Dedekind の公理と Weierstrass の公理は同値である．

　 $(\Rightarrow)$ を示す．
　空集合でなく，上に有界な $R$ の部分集合 $A$ を任意に取る． $A$ の上界の集合を $U (A)$ と書くことにし， $C = U (A)^{c} = R ∖ U (A)$ で定義する．このとき， $< C, U (A) >$ は $R$ の切断になっている．
　定義1 に照らし合わせてこれを確認しよう． $C \neq \emptyset$ であることは，或る $a \in A$ に対し $b < a$ を満たす $b$ は $b \in R$ かつ $b \neq U (A)$ であるため， $b \in C$ であるのでよい（ $A \neq \emptyset$ よりこのような $a$ ， $b$ は存在する）． $U (A) \neq \emptyset$ は $A$ が上に有界であるという仮定そのものである． $C \cup U (A) = R$ ， $C \cap U (A) = \emptyset$ は， $C$ の定義より明らかである．最後に， $c \in C \land b \in U (A) \Rightarrow c < b$ を示そう． $c \in C \Leftrightarrow \exists a_{0} \in A ， c < a$ であり， $b \in U (A) \Leftrightarrow \forall a \in A ， a \leq b$ であるから，このような $a_{0} \in A$ をとると， $c < a_{0} \leq b$ より $c < b$ が得られる．
　さて以上より $< C, U (A) >$ が $R$ の切断であることが示されたので，Dedekind の公理より次のいずれか一方が成り立つ．

(i) $max C$ は存在し， $min U (A)$ は存在しない
(ii) $min U (A)$ は存在し， $max C$ は存在しない

$max C$ が存在すると仮定すると矛盾が導かれる．実際に示そう． $M = max C$ が存在すると仮定し，同値変形する．

$M = max C$
$⟺$ $M \in C$ $\land$ $\forall c \in C ， c \leq M$
$⟺$ $\exists a_{0} \in A ， M < a_{0}$ $\land$ $\forall c \in R (s ． t ． \exists a \in A ， c < a) ， c \leq M$
$⟺$ $\exists a_{0} \in A ， M < a_{0}$ $\land$ $\exists a \in A ， c < a \Rightarrow c \leq M$

ここで，このような $a_{0}$ をとり， $\frac{M + a_{0}}{2}$ を考えると， $\frac{M + a_{0}}{2} < a_{0}$ であるため $\frac{M + a_{0}}{2} \leq M$ であるが，これは $a_{0} \leq M$ と同値であり， $M < a_{0}$ に反する．

よって，(ii) が成り立つため， $min U (A)$ ，即ち $sup A$ の存在がいえる．
　これより，Weierstrass の公理が示された．

　 $(\Leftarrow)$ を示す．
　 $R$ の切断 $< A, B >$ を任意にとる．切断の仮定より $A \neq \emptyset$ であり， $a \in A \land b \in B ⟹ a < b$ であるから， $A$ は上に有界である．よって，仮定から $s = sup A$ が存在する．
　 $s \in A$ の場合， $s = max A$ である． $min B$ が存在しないことを示そう．今， $b_{0} = min B$ が存在すると仮定する． $s \in A$ であるから，切断の仮定より $s < b_{0}$ である． $s < \frac{s + b_{0}}{2} < b_{0}$ であるが， $\frac{s + b_{0}}{2} \in A$ とすると $s$ の最大性に矛盾し， $\frac{s + b_{0}}{2} \in B$ とすると $b_{0}$ の最小性に矛盾する．これより， $min B$ は存在しないことが分かる．
　 $s \notin A$ の場合， $s \in B$ である．任意の $b \in B$ は $A$ の上界であるから， $s \leq b$ である．よって， $s = min B$ である． $max A$ が存在しないことの証明は，先程の $min B$ が存在しないことの証明と同様である．
　これより，Dedekind の公理が示された． $◻$