Dedekind の公理と Weierstrass の公理の同値性を丁寧に証明する

　$(\Rightarrow)$ を示す．
　空集合でなく，上に有界な$\mathbb R$ の部分集合 $A$ を任意に取る．$A$ の上界の集合を $U(A)$ と書くことにし，$C = U(A)^c = \mathbb R \setminus U(A)$ で定義する．このとき，$< C, U(A)>$ は $\mathbb R$ の切断になっている．
　定義1 に照らし合わせてこれを確認しよう．$C \neq \emptyset$ であることは，或る $a \in A$ に対し $b< a$ を満たす $b$ は $b \in \mathbb R$ かつ $b \neq U(A)$ であるため，$b \in C$ であるのでよい（$A \neq \emptyset$ よりこのような $a$，$b$ は存在する）．$U(A) \neq \emptyset$ は $A$ が上に有界であるという仮定そのものである．$C \cup U(A)= \mathbb R$，$C \cap U(A)=\emptyset$ は，$C$ の定義より明らかである．最後に，$c \in C\land b \in U(A) \Rightarrow c < b$ を示そう．$c \in C \Leftrightarrow \exists a_0 \in A，c < a$ であり， $b \in U(A) \Leftrightarrow \forall a \in A，a \leq b$ であるから，このような $a_0 \in A$ をとると，$c < a_0 \leq b$ より $c< b$ が得られる．
　さて以上より $< C, U(A)>$ が $\mathbb R$ の切断であることが示されたので，Dedekind の公理より次のいずれか一方が成り立つ．

(i) $\max C$ は存在し，$\min U(A)$ は存在しない
(ii) $\min U(A)$ は存在し，$\max C$ は存在しない

$\max C$ が存在すると仮定すると矛盾が導かれる．実際に示そう．$M = \max C$ が存在すると仮定し，同値変形する．

$ M = \max C$
$\Longleftrightarrow$ $ M \in C$ $\land$ $\forall c \in C，c \leq M$
$\Longleftrightarrow$ $\exists a_0 \in A，M < a_0$ $\land$ $ \forall c \in \mathbb R (s．t．\exists a \in A，c< a)，c \leq M $
$\Longleftrightarrow$ $\exists a_0 \in A，M < a_0$ $\land$ $\exists a \in A，c< a \Rightarrow c \leq M$

ここで，このような $a_0$ をとり，$\frac{M+a_0}{2}$ を考えると，$\frac{M+a_0}{2} < a_0$ であるため $\frac{M+a_0}{2} \leq M$ であるが，これは $a_0 \leq M$ と同値であり，$M < a_0$ に反する．

よって，(ii) が成り立つため，$\min U(A)$，即ち $\sup A$ の存在がいえる．
　これより，Weierstrass の公理が示された．

　$(\Leftarrow)$ を示す．
　$\mathbb R$ の切断 $< A, B>$ を任意にとる．切断の仮定より $A \neq \emptyset$ であり，$a \in A \land b \in B \Longrightarrow a < b$ であるから，$A$ は上に有界である．よって，仮定から $s = \sup A$ が存在する．
　$s \in A$ の場合，$s=\max A$ である．$\min B$ が存在しないことを示そう．今，$b_0 = \min B$ が存在すると仮定する．$s \in A$ であるから，切断の仮定より $s < b_0$ である．$s < \frac{s+b_0}{2}< b_0$ であるが，$\frac{s+b_0}{2} \in A$ とすると $s$ の最大性に矛盾し， $\frac{s+b_0}{2} \in B$ とすると $b_0$ の最小性に矛盾する．これより，$\min B$ は存在しないことが分かる．
　$s \notin A$ の場合，$s \in B$ である．任意の $b \in B$ は $A$ の上界であるから，$s \leq b$ である．よって，$s=\min B$ である．$\max A$ が存在しないことの証明は，先程の $\min B$ が存在しないことの証明と同様である．
　これより，Dedekind の公理が示された．$\square$