可分距離空間の部分集合が可分であることの証明

任意の$x\in X$および$x$を要素に持つ$X$の開集合$U$に対して，開集合の定義より，$x\in B_r(x)\subseteq U$を満たす$r>0$が存在する．よって，特に$rN>1$を満たす$N\in \mathbb{N}$に対して$x\in B_{\frac{1}{N}}(x)\subseteq U$が成り立つ．一方，$E$は$X$の稠密部分集合であるから$E\cap B_{\frac{1}{2N}}(x)\ne \varnothing$である．そこで，$e\in E\cap B_{\frac{1}{2N}}(x)$をひとつ選ぶと$d(e,x)<\frac{1}{2N}$より$x\in B_{\frac{1}{2N}}(e)$である．さらに，任意の$y\in B_{\frac{1}{2N}}(e)$に対して
$$d(x,y)\le d(x,e)+d(e,y)<\frac{1}{2N}+\frac{1}{2N}=\frac{1}{N}<r$$
より$y\in B_r(x)\subseteq U$すなわち$y\in U$である．よって$x\in B_{\frac{1}{2N}}(e)\subseteq U$が成り立つ．

$a\in U$より$a\in B_{\frac{1}{n}}(e)\subseteq U$を満たす$B_{\frac{1}{n}}(e)\in \mathcal{B}$が存在し，このとき$a\in B_{\frac{1}{n}}(e)\cap A\subseteq U\cap A$である．

任意の$a\in A$および$n\in \mathbb{N}$に対して$a\in B_a^{(n)}\subseteq B_{\frac{1}{n}}(a)\cap A$を満たす$B_a^{(n)}\in {\mathcal{B}}_A$が存在する．そこで，各$n$に対して$B_a^{(n)}$に対応する$D$の元を$a_n$とすれば，$a_n\in B_a^{(n)}\subseteq B_{\frac{1}{n}}(a)\cap A$ゆえ点列$\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$は$a$に収束する．