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Lebesgue測度の構成と正則性定理

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外測度から1次元Lebesgue測度を定義し、その正則性を証明する。

$$\mu^*(A):=\inf\left\{\sum_{i=1}^\infty(b_i-a_i)\mid A\subset\bigcup_{i=1}^\infty[a_i,b_i),-\infty\leq a_i< b_i\leq\infty\right\}(A\subset\mathbb{R})$$をLebesgue外測度という。
任意の$A\subset\mathbb{R}$に対して、
$$\mu^*(A)=\mu^*(A\cap B)+\mu^*(A\setminus B)$$
を満たすような$B\subset\mathbb{R}$をLebesgue可測集合といい、Lebesgue可測集合全体を$\mathscr{M}_{\mu^*}$と表す。

$\mu^*:2^\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$に対して次が成り立つ。
(1) $\mu^*(A)\geq 0$
(2) $\mu^*(\varnothing)=0$
(3) $A_n\subset\mathbb{R}(n\in\mathbb{N})$のとき、$\mu^*(\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i)\leq\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu^*(A_i)$
(4) $A\subset B\subset\mathbb{R}$のとき、$\mu^*(A)\leq\mu^*(B)$

(1),(2),(4)は明らか。
(3)$\mu^*(A_i)=\inftyとなるi\in\mathbb{N}$が存在するときは明らかなので、$\mu^*(A_i)<\infty(i\in\mathbb{N})$として良い。任意の$\varepsilon>0$に対して、
$$A_i\subset\bigcup_{j\in\mathbb{N}}[a_{i,j},b_{i,j}),\quad \mu^*(A_i)+\frac{\varepsilon}{2^i} >\sum_{j\in\mathbb{N}}(b_{i,j}-a_{i,j})\quad(i\in\mathbb{N})$$
となるように区間の列$\{[a_{i,j},b_{i,j})\}_{i,j\in\mathbb{N}}$をとる。このとき、
$$\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i\subset \bigcup_{i,j\in\mathbb{N}}[a_{i,j},b_{i,j}), \quad\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu^*(A_i)+\varepsilon>\sum_{i,j\in\mathbb{N}}(b_{i,j}-a_{i,j})$$
であるから$$\mu^*(\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i)\leq\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu^*(A_i)+\varepsilon$$である。$\varepsilon$の任意性より$$\mu^*(\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i)\leq\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu^*(A_i)$$である。

$\mathscr{M}_{\mu^*}$$\sigma$-加法族である。

  • 任意の$A\subset\mathbb{R}$に対して、
    • $A\cap\mathbb{R}=A\setminus\varnothing=A,$
    • $A\cap\varnothing=A\setminus\mathbb{R}=\varnothing$
      となるので、$\mu^*(\varnothing)=0(\because 命題1(2))$と合わせて、
    

$$\mu^*(A)=\mu^*(A\cap\mathbb{R})+\mu^*(A\setminus\mathbb{R})=\mu^*(A\cap\varnothing)+\mu^*(A\setminus\varnothing))$$となる。よって$\varnothing,\mathbb{R}\in\mathscr{M}_{\mu^*}$

  • $E\in\mathscr{M}_{\mu^*}$とする。このとき任意の$A\subset\mathbb{R}$に対して、
    $$\mu^*(A)=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\setminus E)=\mu^*(A\setminus E^c)+\mu^*(A\cap E^c)$$となるので$E^c\in\mathscr{M}_{\mu^*}$
  • $E,F\in\mathscr{M}_{\mu^*}$とする。任意の$A\subset\mathbb{R}$に対して、
    $$\mu^*(A)\\= \mu^*(A\cap F)+\mu^*(A\setminus F)\\=\mu^*((A\cap(E\cup F))\cap F)+\mu^*(A\cap E\cap F^c)+\mu^*(A\cap E^c\cap F^c)\\=\mu^*(A\cap(E\cup F))+\mu^*(A\cap(E\cup F)^c)\quad(\because A\cap E\cap F^c=(A\cap(E\cup F))\cap F^c) $$より、$E\cup F\in\mathscr{M}_{\mu^*}$。また、$$E\cap F=(E^c\cup F^c)^c\in\mathscr{M}_{\mu^*}$$も成り立つ。
  • 可算個の$E_n\in\mathscr{M}_{\mu^*}(n\in\mathbb{N})$に対して、$$E=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}E_i,\quad E_n'=E_n\setminus\bigcup_{1\leq i\leq n-1}E_i\quad(n\in\mathbb{N})$$
    とすると$E_n'\in\mathscr{M}_{\mu^*},\bigcup_{i\in\mathbb{N}}E_i'=E,E_i\cap E_j=\varnothing(i≠j)$となる。よって$E\in\mathscr{M}_{\mu^*}$を示すために、はじめから$E_i\cap E_j=\varnothing(i\neq j)$であるとして良い。このとき任意の$A\subset\mathbb{R}$に対して、
    $$ \mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c)\\ =\mu^*\left(\bigcup_{i\in\mathbb{N}}(A\cap E_i)\right)+\mu^*\left(A\cap\left(\bigcup_{i\in\mathbb{N}}E_i\right)^c\right)\\ \leq\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu^*(A\cap E_i)+\inf_{j\in\mathbb{N}}\mu^*\left(A\cap\left(\bigcup_{i=1}^jE_i\right)^c\right)\quad(\because 命題1(3),(4))\\ =\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu^*(A\cap E_i)+\inf_{j\in\mathbb{N}}\left[\mu^*(A)-\mu^*\left(\bigcup_{i=1}^j A\cap E_i\right)\right] \quad\left(\because \bigcup_{i=1}^jE_i\in\mathscr{M}_{\mu^*}\right)\\ =\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu^*(A\cap E_i)+\inf_{j\in\mathbb{N}}\left[\mu^*(A)-\sum_{i=1}^j\mu^*(A\cap E_i)\right]\quad(\because \{E_n\}_{n\in\mathbb{N}}は互いに素)\\ =\mu^*(A)\\ \leq\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c)\quad(\because 命題1(3)) \\ \therefore \mu^*(A)=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c)。 $$
    よって$E\in\mathscr{M}_{\mu^*}$

$\mu^*$$\mathscr{M}_{\mu^*}$に制限したものを$\mu$とする。

$\mu$は可測空間$(\mathbb{R},\mathscr{M}_{\mu^*})$の測度となる。

  • $\mu(\varnothing)=\mu^*(\varnothing)=0$
  • 非交可測集合$E,F$に対して、
    $$\mu(E\cup F)=\mu^*(E\cup F)=\mu^*(E)+\mu^*(F)=\mu(E)+\mu(F)$$である。
  • 互いに素な可測集合の列$\{E_n\}_{n\in\mathbb{N}}$に対して、$$E=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}E_i$$とするとき、$$\mu(E)=\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu(E_i)$$となることを示す。$$\mu(E)\leq\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu(E_i)$$となることは命題1(3)よりわかるので、逆の不等式を示す。
    $$\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu(E_i)=\sup_{j\in\mathbb{N}}\sum_{i=1}^j\mu(E_i)=\sup_{j\in\mathbb{N}}\mu\left(\bigcup_{i=1}^jE_i\right)\leq\mu(E)$$

$\mu$を1次元Lebesgue測度という。

正則性

$(X,\mathscr{O})$をHausdorff空間とし、$(X,\Sigma,\nu)$$\mathscr{O}\subset\Sigma$となるような測度空間とする。このとき、$A\in\Sigma$が正則であるとは
$$\nu(A)=\sup\{\nu(K)|K\subset A,Kはコンパクト\}=\inf\{\nu(G)|A\subset G,Gは開集合\}$$となることをいう($K$にコンパクト性までは課さず単に閉集合とする文献もある)。そして、$\nu$が正則であるとは全ての可測集合が正則となることをいう。

ここでは1次元Lebesgue測度$\mu$が正則となることを示す。

任意の$A\subset\mathbb{R}$に対して、
$$\mu^*(A)=\inf\left\{\sum_{i\in\mathbb{N}}(b_i-a_i)\mid A\subset\bigcup_{i\in\mathbb{N}}(a_i,b_i)\right\}。$$

$$m=\inf\left\{\sum_{i\in\mathbb{N}}(b_i-a_i)\mid A\subset\bigcup_{i\in\mathbb{N}}(a_i,b_i)\right\}$$と置く。$\mu^*(A)\leq m$となることは容易にわかるので、$\mu^*(A)\geq m$を示す。任意の$\varepsilon>0$に対して、
$$A\subset\bigcup_{i\in\mathbb{N}}[a_i,b_i),\quad\mu^*(A)+\varepsilon\geq\sum_{i\in\mathbb{N}}(b_i-a_i)$$となるような区間の列$\{[a_n,b_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$をとる。このとき、$$A\subset\bigcup_{i\in\mathbb{N}}(a_i-\frac{\varepsilon}{2^i},b_i)$$であるから、
$$m\leq\sum_{i\in\mathbb{N}}\left(b_i-a_i+\frac{\varepsilon}{2^i}\right)\leq\mu^*(A)+2\varepsilon$$である。$\varepsilon$の任意性より$\mu\leq\mu^*(A)$

$\mathbb{R}$のBorel集合族を$\mathscr{B}_\mathbb{R}$とすると$\mathscr{B}_\mathbb{R}\subset\mathscr{M}_{\mu^*}$

$$\mathscr{E}=\{(-\infty,a)|a\in\mathbb{R}\}$$とすると、$\mathscr{B}_\mathbb{R}=\sigma[\mathscr{E}]$であるから$\mathscr{E}\subset\mathscr{M}_{\mu^*}$を示せば十分である。任意に$a\in\mathbb{R}$をとり、$(-\infty,a)\in\mathscr{M}_{\mu^*}$となることを示す。任意の$A\subset\mathbb{R}$をとる。任意の$\varepsilon>0$に対して、
$$A\subset\bigcup_{i\in\mathbb{N}}[a_i,b_i), \quad\mu(A)+\varepsilon >\sum_{i\in\mathbb{N}}(b_i-a_i)$$となるような$a_i,b_i\in\mathbb{R}$をとる。このとき、
$$ A\cap(-\infty,a)\subset\bigcup_{i\in\mathbb{N}}[a_i,b_i)\cap(-\infty,a),A\cap[a,\infty)\subset\bigcup_{i\in\mathbb{N}}[a_i,b_i)\cap[a,\infty)$$
である。よって、
$$\mu(A\cap(-\infty,a))+\mu(A\cap[a,\infty))\\\leq\sum_{i\in\mathbb{N}}|[a_i,b_i)\cap(-\infty,a)|+\sum_{i\in\mathbb{N}}|[a_i,b_i)\cap[a,\infty)|\\ =\sum_{i\in\mathbb{N}}(|[a_i,b_i)\cap(-\infty,a)|+|[a_i,b_i)\cap[a,\infty)|)\\ =\sum_{i\in\mathbb{N}}|[a_i,b_i)|\\ <\mu(A)+\varepsilon$$
となる(ただし、$|[x,y)|:=y-x$)。$\varepsilon$の任意性より
$$\mu(A\cap(-\infty,a))+\mu(A\cap[a,\infty))\leq\mu(A)\leq\mu(A\cap(-\infty,a))+\mu(A\cap[a,\infty))$$
であるから結局$(-\infty,a)\in\mathscr{M}_{\mu^*}$である。

  • \mu({0})=0である。実際、任意の$\varepsilon>0$に対して、$\{0\}\subset[0,\varepsilon)$であるから$\mu(\{0\})<\varepsilon$
  • $\mu([0,1])=1$である。
    $\because)\mu([0,1])\leq 1$は明らかなので$\mu([0,1])\geq 1$を示す。任意の$\varepsilon>0$に対して、命題4より、
    $$[0,1]\subset\bigcup_{i\in\mathbb{N}}(a_i,b_i),\mu([0,1])+\varepsilon>\sum_{i\in\mathbb{N}}(b_i-a_i)$$となる区間の列$\{(a_n,b_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$が存在する。$[0,1]$はコンパクトなので$$[0,1]\subset\bigcup_{i=1}^l(a_i,b_i)$$となる$l\in\mathbb{N}$が存在する。必要であれば、適当な$m\leq l$をとり、区間の順番を入れ替えて$$0\in(a_1,b_1),\quad b_k\in(a_{k+1}, b_{k+1})(k=1,2,...,m-1),\\ b_{m-1}<1,\quad 1\in(a_m,b_m)$$となるようにする。このとき、
    $$1=b_1+\sum_{i=2}^{m-1}(b_{i}-b_{i-1})+(1-b_{m-1})\\ \leq \sum_{i=1}^{m}(b_{i}-a_{i}) \leq\sum_{i=1}^\infty(b_i-a_i) \leq\mu([0,1])+\varepsilon$$
    となる。$\varepsilon$の任意性より$\mu([0,1])\geq 1$
  • 同様に$\mu([-n,n])=2n(n\in\mathbb{N})$

$\mu$は正則である。

任意に$E\in\mathscr{M}_{\mu^*}$$\varepsilon>0$をとる。各$n\in\mathbb{Z}$に対して、$$E_n:=E\cap(n,n+1)\in\mathscr{M}_{\mu^*}$$と定める。すると、命題4より

  • $\displaystyle E_n\subset G_n\subset(n,n+1)\quad(n\in\mathbb{Z}),$
  • $\displaystyle \mu(E_n)+\frac{\varepsilon}{2^{|n|}}>\mu(G_n)\quad(n\in\mathbb{Z}),$
  • $\mathbb{Z}\subset G,$
  • $\mu(G)<\varepsilon$

となる開集合$G_n(n\in\mathbb{Z}),G$が存在する。このとき、
$$\mu\left(\left(G\cup\bigcup_{i\in\mathbb{Z}}G_i\right)\setminus E\right)\leq\mu(G)+\mu\left(\bigcup_{i\in\mathbb{Z}}(G_i\setminus E_i)\right)\\ =\mu(G)+\sum_{i\in\mathbb{Z}}\mu(G_i\setminus E_i)<4\varepsilon$$
である。$E^c$に関しても同様にして、
$$E^c\subset G',\mu(G'\setminus E^c)<4\varepsilon$$
となる開集合$G'$が取れる。特に$$G'\setminus E^c=E\setminus G'^c$$であることから、$$\mu(E\setminus G'^c)<4\varepsilon$$である。$\varepsilon$の任意性より、
$$\sup\{\mu(F)|F\subset E,Fは閉集合\}\geq\mu(E)\geq\inf\{\mu(G)|E\subset G,Gは開集合\}$$
である。逆の不等式は明らかだから、
$$\sup\{\mu(F)|F\subset E,Fは閉集合\}=\mu(E)=\inf\{\mu(G)|E\subset G,Gは開集合\}$$
となる。任意の閉集合$F$に対して、$$F\cap[-n,n]\subset F(n\in\mathbb{N})$$はコンパクトで$$\mu(F\cap[-n,n])\to\mu(F)(n\to\infty)$$であるから、$$\sup\{\mu(F)|F\subset E,Fは閉集合\}=\sup\{\mu(F)|F\subset E,Fはコンパクト\}$$
である。よって、$\mu$は正則である。

投稿日:202348

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