外測度から1次元Lebesgue測度を定義し、その正則性を証明する。
任意の
を満たすような
(1)
(2)
(3)
(4)
(1),(2),(4)は明らか。
(3)
となるように区間の列
であるから
となるので、$\mu^*(\varnothing)=0(\because 命題1(2))$と合わせて、
ここでは1次元Lebesgue測度
任意の
である。よって、
となる(ただし、
であるから結局
任意に
となる開集合
である。
となる開集合
である。逆の不等式は明らかだから、
となる。任意の閉集合
である。よって、