Lebesgue測度の構成と正則性定理

(1),(2),(4)は明らか。
(3)$\mu^*(A_i)=\inftyとなるi\in\mathbb{N}$が存在するときは明らかなので、$\mu^*(A_i)<\infty(i\in\mathbb{N})$として良い。任意の$\varepsilon>0$に対して、
$$A_i\subset\bigcup_{j\in\mathbb{N}}[a_{i,j},b_{i,j}),\quad \mu^*(A_i)+\frac{\varepsilon}{2^i} >\sum_{j\in\mathbb{N}}(b_{i,j}-a_{i,j})\quad(i\in\mathbb{N})$$
となるように区間の列$\{[a_{i,j},b_{i,j})\}_{i,j\in\mathbb{N}}$をとる。このとき、
$$\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i\subset \bigcup_{i,j\in\mathbb{N}}[a_{i,j},b_{i,j}), \quad\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu^*(A_i)+\varepsilon>\sum_{i,j\in\mathbb{N}}(b_{i,j}-a_{i,j})$$
であるから$$\mu^*(\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i)\leq\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu^*(A_i)+\varepsilon$$である。$\varepsilon$の任意性より$$\mu^*(\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i)\leq\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu^*(A_i)$$である。

• 任意の$A\subset\mathbb{R}$に対して、
  • $A\cap\mathbb{R}=A\setminus\varnothing=A,$
  • $A\cap\varnothing=A\setminus\mathbb{R}=\varnothing$

      となるので、$\mu^*(\varnothing)=0(\because 命題1(2))$と合わせて、
    

$$\mu^*(A)=\mu^*(A\cap\mathbb{R})+\mu^*(A\setminus\mathbb{R})=\mu^*(A\cap\varnothing)+\mu^*(A\setminus\varnothing))$$となる。よって$\varnothing,\mathbb{R}\in\mathscr{M}_{\mu^*}$。

• $E\in\mathscr{M}_{\mu^*}$とする。このとき任意の$A\subset\mathbb{R}$に対して、
  $$\mu^*(A)=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\setminus E)=\mu^*(A\setminus E^c)+\mu^*(A\cap E^c)$$となるので$E^c\in\mathscr{M}_{\mu^*}$。
• $E,F\in\mathscr{M}_{\mu^*}$とする。任意の$A\subset\mathbb{R}$に対して、
  $$\mu^*(A)\\= \mu^*(A\cap F)+\mu^*(A\setminus F)\\=\mu^*((A\cap(E\cup F))\cap F)+\mu^*(A\cap E\cap F^c)+\mu^*(A\cap E^c\cap F^c)\\=\mu^*(A\cap(E\cup F))+\mu^*(A\cap(E\cup F)^c)\quad(\because A\cap E\cap F^c=(A\cap(E\cup F))\cap F^c) $$より、$E\cup F\in\mathscr{M}_{\mu^*}$。また、$$E\cap F=(E^c\cup F^c)^c\in\mathscr{M}_{\mu^*}$$も成り立つ。
• 可算個の$E_n\in\mathscr{M}_{\mu^*}(n\in\mathbb{N})$に対して、$$E=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}E_i,\quad E_n'=E_n\setminus\bigcup_{1\leq i\leq n-1}E_i\quad(n\in\mathbb{N})$$
  とすると$E_n'\in\mathscr{M}_{\mu^*},\bigcup_{i\in\mathbb{N}}E_i'=E,E_i\cap E_j=\varnothing(i≠j)$となる。よって$E\in\mathscr{M}_{\mu^*}$を示すために、はじめから$E_i\cap E_j=\varnothing(i\neq j)$であるとして良い。このとき任意の$A\subset\mathbb{R}$に対して、
  $$ \mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c)\\ =\mu^*\left(\bigcup_{i\in\mathbb{N}}(A\cap E_i)\right)+\mu^*\left(A\cap\left(\bigcup_{i\in\mathbb{N}}E_i\right)^c\right)\\ \leq\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu^*(A\cap E_i)+\inf_{j\in\mathbb{N}}\mu^*\left(A\cap\left(\bigcup_{i=1}^jE_i\right)^c\right)\quad(\because 命題1(3),(4))\\ =\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu^*(A\cap E_i)+\inf_{j\in\mathbb{N}}\left[\mu^*(A)-\mu^*\left(\bigcup_{i=1}^j A\cap E_i\right)\right] \quad\left(\because \bigcup_{i=1}^jE_i\in\mathscr{M}_{\mu^*}\right)\\ =\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu^*(A\cap E_i)+\inf_{j\in\mathbb{N}}\left[\mu^*(A)-\sum_{i=1}^j\mu^*(A\cap E_i)\right]\quad(\because \{E_n\}_{n\in\mathbb{N}}は互いに素)\\ =\mu^*(A)\\ \leq\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c)\quad(\because 命題1(3)) \\ \therefore \mu^*(A)=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c)。 $$
  よって$E\in\mathscr{M}_{\mu^*}$。

• $\mu(\varnothing)=\mu^*(\varnothing)=0$
• 非交可測集合$E,F$に対して、
  $$\mu(E\cup F)=\mu^*(E\cup F)=\mu^*(E)+\mu^*(F)=\mu(E)+\mu(F)$$である。
• 互いに素な可測集合の列$\{E_n\}_{n\in\mathbb{N}}$に対して、$$E=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}E_i$$とするとき、$$\mu(E)=\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu(E_i)$$となることを示す。$$\mu(E)\leq\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu(E_i)$$となることは命題1(3)よりわかるので、逆の不等式を示す。
  $$\sum_{i\in\mathbb{N}}\mu(E_i)=\sup_{j\in\mathbb{N}}\sum_{i=1}^j\mu(E_i)=\sup_{j\in\mathbb{N}}\mu\left(\bigcup_{i=1}^jE_i\right)\leq\mu(E)$$

$$m=\inf\left\{\sum_{i\in\mathbb{N}}(b_i-a_i)\mid A\subset\bigcup_{i\in\mathbb{N}}(a_i,b_i)\right\}$$と置く。$\mu^*(A)\leq m$となることは容易にわかるので、$\mu^*(A)\geq m$を示す。任意の$\varepsilon>0$に対して、
$$A\subset\bigcup_{i\in\mathbb{N}}[a_i,b_i),\quad\mu^*(A)+\varepsilon\geq\sum_{i\in\mathbb{N}}(b_i-a_i)$$となるような区間の列$\{[a_n,b_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$をとる。このとき、$$A\subset\bigcup_{i\in\mathbb{N}}(a_i-\frac{\varepsilon}{2^i},b_i)$$であるから、
$$m\leq\sum_{i\in\mathbb{N}}\left(b_i-a_i+\frac{\varepsilon}{2^i}\right)\leq\mu^*(A)+2\varepsilon$$である。$\varepsilon$の任意性より$\mu\leq\mu^*(A)$。

$$\mathscr{E}=\{(-\infty,a)|a\in\mathbb{R}\}$$とすると、$\mathscr{B}_\mathbb{R}=\sigma[\mathscr{E}]$であるから$\mathscr{E}\subset\mathscr{M}_{\mu^*}$を示せば十分である。任意に$a\in\mathbb{R}$をとり、$(-\infty,a)\in\mathscr{M}_{\mu^*}$となることを示す。任意の$A\subset\mathbb{R}$をとる。任意の$\varepsilon>0$に対して、
$$A\subset\bigcup_{i\in\mathbb{N}}[a_i,b_i), \quad\mu(A)+\varepsilon >\sum_{i\in\mathbb{N}}(b_i-a_i)$$となるような$a_i,b_i\in\mathbb{R}$をとる。このとき、
$$ A\cap(-\infty,a)\subset\bigcup_{i\in\mathbb{N}}[a_i,b_i)\cap(-\infty,a),A\cap[a,\infty)\subset\bigcup_{i\in\mathbb{N}}[a_i,b_i)\cap[a,\infty)$$
である。よって、
$$\mu(A\cap(-\infty,a))+\mu(A\cap[a,\infty))\\\leq\sum_{i\in\mathbb{N}}|[a_i,b_i)\cap(-\infty,a)|+\sum_{i\in\mathbb{N}}|[a_i,b_i)\cap[a,\infty)|\\ =\sum_{i\in\mathbb{N}}(|[a_i,b_i)\cap(-\infty,a)|+|[a_i,b_i)\cap[a,\infty)|)\\ =\sum_{i\in\mathbb{N}}|[a_i,b_i)|\\ <\mu(A)+\varepsilon$$
となる（ただし、$|[x,y)|:=y-x$）。$\varepsilon$の任意性より
$$\mu(A\cap(-\infty,a))+\mu(A\cap[a,\infty))\leq\mu(A)\leq\mu(A\cap(-\infty,a))+\mu(A\cap[a,\infty))$$
であるから結局$(-\infty,a)\in\mathscr{M}_{\mu^*}$である。

任意に$E\in\mathscr{M}_{\mu^*}$と$\varepsilon>0$をとる。各$n\in\mathbb{Z}$に対して、$$E_n:=E\cap(n,n+1)\in\mathscr{M}_{\mu^*}$$と定める。すると、命題4より

• $\displaystyle E_n\subset G_n\subset(n,n+1)\quad(n\in\mathbb{Z}),$
• $\displaystyle \mu(E_n)+\frac{\varepsilon}{2^{|n|}}>\mu(G_n)\quad(n\in\mathbb{Z}),$
• $\mathbb{Z}\subset G,$
• $\mu(G)<\varepsilon$

となる開集合$G_n(n\in\mathbb{Z}),G$が存在する。このとき、
$$\mu\left(\left(G\cup\bigcup_{i\in\mathbb{Z}}G_i\right)\setminus E\right)\leq\mu(G)+\mu\left(\bigcup_{i\in\mathbb{Z}}(G_i\setminus E_i)\right)\\ =\mu(G)+\sum_{i\in\mathbb{Z}}\mu(G_i\setminus E_i)<4\varepsilon$$
である。$E^c$に関しても同様にして、
$$E^c\subset G',\mu(G'\setminus E^c)<4\varepsilon$$
となる開集合$G'$が取れる。特に$$G'\setminus E^c=E\setminus G'^c$$であることから、$$\mu(E\setminus G'^c)<4\varepsilon$$である。$\varepsilon$の任意性より、
$$\sup\{\mu(F)|F\subset E,Fは閉集合\}\geq\mu(E)\geq\inf\{\mu(G)|E\subset G,Gは開集合\}$$
である。逆の不等式は明らかだから、
$$\sup\{\mu(F)|F\subset E,Fは閉集合\}=\mu(E)=\inf\{\mu(G)|E\subset G,Gは開集合\}$$
となる。任意の閉集合$F$に対して、$$F\cap[-n,n]\subset F(n\in\mathbb{N})$$はコンパクトで$$\mu(F\cap[-n,n])\to\mu(F)(n\to\infty)$$であるから、$$\sup\{\mu(F)|F\subset E,Fは閉集合\}=\sup\{\mu(F)|F\subset E,Fはコンパクト\}$$
である。よって、$\mu$は正則である。