積分解説11

2019/08/26に$\tau \rho \iota \alpha$さんが出題した問題です。
https://twitter.com/tria_math/status/1165958996567584768?s=21

[解説]
$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\pi }{e}^{\cos x}\cos (x-\sin x)dx\\ & =& \mathrm{Re}{\int }_0^{\pi }{e}^{\cos x}{e}^{xi-i\sin x}dx\\ & =& \mathrm{Re}{\int }_0^{\pi }{e}^{e^{-ix}+ix}dx\end{array}$
ここで、不定積分${\displaystyle \int e^{e^{-ix}+ix}dx}$を考えます。
$\begin{array}{rcl}& & {\displaystyle \int e^{e^{-ix}+ix}dx}\\ & =& i\int \frac{e^t}{t^2}dt& (t=e^{-x})\\ & =& -\frac{e^t}{t}i+i\int \frac{e^t}{t}dt\\ & =& -\frac{e^{e^{-x}}}{e^{-x}}i+i\text{Ei}(e^{-x})+C\end{array}$
よって、
$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\pi }{e}^{\cos x}\cos (x-\sin x)dx\\ & =& \mathrm{Re}{[-\frac{e^{e^{-x}}}{e^{-x}}i+i\text{Ei}(e^{-x})]}_0^{\pi }\\ & =& \mathrm{Re}(\frac{i}{e}+ie-i\text{Ei}(1)+i\underset{x\to {\pi }^{-}}{lim}\text{Ei}\left(e^{-ix}\right))\\ & =& \mathrm{Re}(\frac{i}{e}+ie-i\text{Ei}(1)+i(-i\pi +\text{Ei}(-1)))\\ & =& \pi \end{array}$

よって、この問題の解答は${\displaystyle \pi }$となります。

想定解は留数定理らしいです。