積分解説11
2019/08/26に$\tau\rho\iota\alpha$さんが出題した問題です。
https://twitter.com/tria_math/status/1165958996567584768?s=21
$$ \displaystyle \int_0^\pi e^{\cos x}\cos\left(x-\sin x \right)dx $$
[解説]
$
\begin{eqnarray*}
&&\int_0^\pi e^{\cos x}\cos\left(x-\sin x \right)dx\\
&=&\Re\int_0^\pi e^{\cos x}e^{xi-i\sin x}dx\\
&=&\Re\int_0^\pi e^{e^{-ix}+ix}dx\\
\end{eqnarray*}
$
ここで、不定積分$\d\int e^{e^{-ix}+ix}dx $を考えます。
$
\begin{eqnarray*}
&&\d\int e^{e^{-ix}+ix}dx\\
&=&i\int \frac{e^t}{t^2}dt&(t=e^{-x})\\
&=&-\frac{e^t}ti+i\int \frac{e^t}tdt\\
&=&-\frac{e^{e^{-x}}}{e^{-x}}i+i\text{Ei}(e^{-x})+C\\
\end{eqnarray*}
$
よって、
$
\begin{eqnarray*}
&&\int_0^\pi e^{\cos x}\cos\left(x-\sin x \right)dx\\
&=&\Re\left[ -\frac{e^{e^{-x}}}{e^{-x}}i+i\text{Ei}(e^{-x})\right]_0^\pi\\
&=&\Re\left(\frac ie+ie-i\text{Ei}(1)+i\lim_{x\rightarrow\pi^-}\text{Ei}\left(e^{-ix}\right) \right)\\
&=&\Re\left(\frac ie+ie-i\text{Ei}(1)+i(-i\pi+\text{Ei}(-1)) \right)\\
&=&\pi
\end{eqnarray*}
$
よって、この問題の解答は$\displaystyle \pi$となります。
想定解は留数定理らしいです。