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積分解説11

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

2019/08/26に$\tau\rho\iota\alpha$さんが出題した問題です。
https://twitter.com/tria_math/status/1165958996567584768?s=21

$$ \displaystyle \int_0^\pi e^{\cos x}\cos\left(x-\sin x \right)dx $$

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\pi e^{\cos x}\cos\left(x-\sin x \right)dx\\ &=&\Re\int_0^\pi e^{\cos x}e^{xi-i\sin x}dx\\ &=&\Re\int_0^\pi e^{e^{-ix}+ix}dx\\ \end{eqnarray*} $
ここで、不定積分$\d\int e^{e^{-ix}+ix}dx $を考えます。
$ \begin{eqnarray*} &&\d\int e^{e^{-ix}+ix}dx\\ &=&i\int \frac{e^t}{t^2}dt&(t=e^{-x})\\ &=&-\frac{e^t}ti+i\int \frac{e^t}tdt\\ &=&-\frac{e^{e^{-x}}}{e^{-x}}i+i\text{Ei}(e^{-x})+C\\ \end{eqnarray*} $
よって、
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\pi e^{\cos x}\cos\left(x-\sin x \right)dx\\ &=&\Re\left[ -\frac{e^{e^{-x}}}{e^{-x}}i+i\text{Ei}(e^{-x})\right]_0^\pi\\ &=&\Re\left(\frac ie+ie-i\text{Ei}(1)+i\lim_{x\rightarrow\pi^-}\text{Ei}\left(e^{-ix}\right) \right)\\ &=&\Re\left(\frac ie+ie-i\text{Ei}(1)+i(-i\pi+\text{Ei}(-1)) \right)\\ &=&\pi \end{eqnarray*} $

よって、この問題の解答は$\displaystyle \pi$となります。

想定解は留数定理らしいです。

投稿日:20201110

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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