大学数学基礎解説

【Causality備忘録】Almost Causal relation

微分幾何学,一般相対論

　これは私の備忘録なので、まとまってないし読まないほうがいいです。随時加筆します。

　因果構造の分析においてchronological relation $I^{\pm}$ やcausal relation $J^{\pm}$ は基本的ですが、古典物理においても以下のように少々不満な点があります。

物理的な観点からは時空点というのは近傍を小さくした極限的な概念でしかない
どんな測定もただ一つの時空点で行われることはありえない
従って、どんな実験も時空点 $x, y$ が因果的に関与しているかしていないのかを判断することはできない

　これらのことから導入されたのがalmost causal relationです。この記事の目的はalmost causal relationを基本事項をまとめることです。

almost causal relationの定義

almost causal relation

　時空 $(M, g)$ において、 $p, q \in M$ に対して、 $p$ が $q$ にほとんど因果的に先行する( $p$ almost causaly preceeds $y$ )とは、 $p$ の任意の近傍が $q$ の任意の近傍に含まれる点（少なくとも一つ存在すればよい）に対して、chronologicalに先行していることである。
　すなわち任意の $U ∋ p, V ∋ q$ に対して、ある $p^{'} \in U, q^{'} \in V$ が存在し、 $q^{'} \in I^{+} (p^{'})$ を満たすときを言う。このとき $p A q$ と書く。

　 $p A q$ の同値な定義として次がある。

$p A q$ であるとは、任意の $p^{-} \in I^{-} (p)$ に対して、 $I^{+} (p^{-}) \supset I^{+} (q)$ となることである。
（または任意の $q^{+} \in I^{+} (q)$ に対して、 $I^{-} (q^{+}) \supset I^{-} (p)$ と定めても同値である。）

同値であることの証明
定義１ $\Rightarrow$ 定義２
任意の $p^{-} \in I^{-} (p)$ に対して、 $I^{+} (p^{-})$ は $p$ の近傍である。同様に任意の $q^{+} \in I^{+} (q)$ に対して、 $I^{-} (q^{+})$ は $q$ の近傍である。定義１より $p^{'} \in I^{+} (p^{-}), q^{'} \in I^{-} (q^{+})$ があって $p^{'} << q^{'}$ となる。よって、 $p^{-} << p^{'} << q^{'} << q^{+}$ となるから $I^{+} (p^{'}) \subset I^{+} (q^{'})$ である。 $I^{-} (q^{+}) \supset I^{-} (p)$ も同様である。

定義２ $\Rightarrow$ 定義１
$p$ の任意の近傍を $U$ とし、 $q$ の任意の近傍を $V$ とする。 $p^{-} \in I^{-} (p, U)$ に対して、 $I^{+} (p^{-}) \subset I^{+} (q)$ であるから、 $I^{+} (p^{-}) \subset I^{+} (q, V)$ であるから定義１が成り立つ。

almost causal relationの基本性質

$y \in A^{+} (x) \Leftrightarrow x \in A^{-} (y)$

自明

$A^{+} (p)$ は閉集合である。

${q_{n}} \in A^{+} (p), q_{n} \to q$ とする。
任意の $q^{+} \in I^{+} (q)$ に対して、 $q_{n} \in I^{-} (q^{+})$ (for large n)である。
任意の $p^{-} \in I^{-} (p)$ に対して、 $p^{-} << p_{n} << q^{+}$ であるから、 $I^{+} (q^{+}) \subset I^{+} (p^{-})$ である。

$i n t (A^{+} (p)) =↑ I^{-} (p)$

$i n t (A^{+} (p)) \supset↑ I^{-} (p)$ は明らかである。
$i n t (A^{+} (p)) \subset↑ I^{-} (p)$ を示す。
$q \in i n t (A^{+} (p))$ とすると、 $q \in U \subset A^{+} (p)$ となる近傍 $U$ が存在する。 $q^{-} \in I^{-} (q, U) \subset A^{+} (p)$ を取ると、任意の $p^{-} \in I^{-} (p)$ に対して、 $I^{+} (q) \subset I^{+} (q^{-}) \subset I^{+} (p^{-})$ となるから $q \in↑ I^{-} (p)$ である。

点列 ${p_{n}} \in I^{-} (p), p_{n} \to p$ に対して、
$A^{+} (p) = ⋂_{n = 1}^{\infty} \overset{―}{I^{+} (p_{n})} = ⋂_{n = 1}^{\infty} \overset{―}{J^{+} (p_{n})}$

$A^{+} (p) \supset ⋂_{n = 1}^{\infty} \overset{―}{I^{+} (p_{n})}$ を示す
$y \in ⋂_{n = 1}^{\infty} \overset{―}{I^{+} (p_{n})}$ とすると、 $y \in \overset{―}{I^{+} (p_{n})}$ である。よって $I^{+} (y) \subset I^{+} (p_{n})$ である。 $\forall x \in I^{-} (p)$ に対して、 $I^{+} (x)$ は $p$ の近傍なので、 $p_{n} \in I^{+} (x)$ (for large n)である。よって $I^{+} (y) \subset I^{+} (p_{n}) \subset I^{+} (x)$ なので $y \in A^{+} (p)$ となる。

$A^{+} (p) \subset ⋂_{n = 1}^{\infty} \overset{―}{I^{+} (p_{n})}$ を示す
$\forall q \in A^{+} (p)$ に対して、 $I^{+} (q) \subset I^{+} (p_{n})$ である。よって $\overset{―}{I^{+} (p_{n})} = {x \in M; I^{+} (x) \subset I^{+} (p_{n})}$ であるから、 $q \in \overset{―}{I^{+} (p_{n})}$ である。

投稿日：2023年4月11日

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Submersion

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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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【Causality備忘録】Almost Causal relation

almost causal relationの定義
almost causal relationの基本性質