箙に付随する半群とその剰余半群の特徴付け
箙
$Q$を箙(えびら, quiver)とする．すなわち$Q$は頂点の集合$V\neq\emptyset$, 矢の集合$E$, 矢に始点と終点を対応させる写像$s,t\colon E\to V$の組$Q=(V,E,s,t)$である．
正整数$l$と矢の列$p=(a_1,\dots,a_l)$で，$t(a_i)=s(a_{i+1})$, $i=1,\dots,l-1$, をみたすものを道という．$l$を道$p$の長さと言って$|p|=|p|_Q$で表す．
頂点$v\in V$は長さ$0$の道とみなす．また，矢$a\in E$と長さ$1$の道$(a,)$とを同一視する．$Q$の道全体の集合を$\Path(Q)$で表す．
$v\in V$に対し$s(v)=t(v)=v$と定め，また長さ正の道$p=(a_1,\dots,a_l)$に対し$s(p)=s(a_1)$, $t(p)=t(a_l)$と定めることで，$s,t$の定義域を$\Path(Q)$に拡張しておく．
道の組$(p,q)\in\Path(Q)\times\Path(Q)$は$t(p)=s(q)$をみたすとき結合可能であるという．結合可能な道の組$(p,q)$に対し，$p\circ q\in\Path(Q)$を
$$
p\circ q=\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
q &(|p|=0)\\
p &(|q|=0)\\
(a_1,\dots,a_{|p|},b_1,\dots,b_{|q|}) &(|p|,|q|>0)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
と定め，$p,q$の結合という．ただし上式3行目では$p=(a_1,\dots,a_{|p|}),q=(b_1,\dots,b_{|q|})$とした．$|p\circ q|=|p|+|q|$が成り立つ．
箙に付随する半群
$Q$を箙とし，$S_Q=\Path(Q)\cup\{0\}$とおく．$S_Q$は道の結合によって半群をなす．ただし，結合可能でない道の組$(p,q)$に対しては$p\circ q=0$と定める．
半群に関する用語をいくつか準備する．$\mathbb{N}$を非負整数のモノイドとする．
$S$をゼロ元$0$を持つ半群とする．写像$|\cdot|\colon S\setminus\{0\}\to\mathbb{N}$は，任意の$p,q\in S\setminus\{0\}$に対し，$pq\neq0$ならば$|pq|=|p|+|q|$をみたすとき，$S$上の$0$-length function という．
$S$をゼロ元$0$を持つ半群とする．$S$が$0$-equidivisibleであるとは，任意の$x,y,z,w\in S\setminus\{0\}$に対し，$xy=zw\neq0$ならば次のいずれかが成り立つことをいう:
(R1) ある$p\in S$があって，$x=zp$, $w=py$である．
(R2) ある$p\in S$があって，$z=xp$, $y=pw$である．
箙$Q$に付随する半群$S_Q$について，次が成り立つ．
- $|\cdot|_Q$は$S_Q$上の$0$-length functionである．
- 任意の異なる頂点$u,v\in V$に対し，$u\circ v=0$である．
- 任意の道$p\in\mathrm{Path}(Q)$に対し，$p=s(p)\circ p\circ t(p)$である．
- $S_Q$は$0$-equidivisibleである．
$I\subsetneq S_Q$を真のイデアルとし，リースの剰余半群$T=S_Q/I$を考える．$T$についても命題1と類似の性質が成り立つ;
- $S_Q$上の$0$-length function $|\cdot|$は$T$上の$0$-length function $|\cdot|'$を導く．また，$V_I=\{x\in T\setminus\{0\}\mid|x|'=0\}$は空でない．
- 任意の異なる$u,v\in V_I$に対し，$u\circ v=0$である．
- 任意の$x\in T\setminus\{0\}$に対し，$x=u\circ x\circ v$をみたす$u,v\in V_I$が存在する．
- $T$は$0$-equidivisibleである．
自然な全射準同型を$[\cdot]\colon S_Q\to T$で表す．$I$は$0$を含むことに注意．
(1) $|[p]|'=|p|$, $p\in S_Q\setminus I$, とすればよい．任意の$p,q\in S_Q\setminus I$ with $p\circ q \not\in I$に対し，
$$|[p]\circ [q]|'=|[p\circ q]|'=|p\circ q|=|p|+|q|=|[p]|'+|[q]|'$$
ゆえ$|\cdot|'$は$T$上の$0$-length functionである．もし$V\subset I$であれば，任意の$p\in S_Q\setminus\{0\}$に対し$p=s(p)\circ p \in I$であるから$I\neq S_Q$に反する．よって$I$に属さない$v\in V$が存在し，$|[v]|'=|v|=0$ゆえ$[v]\in V_I$である．
(2) 自明．
(3) $p\in S_Q\setminus\{0\}$に対し，$s(p)\in I$または$t(p)\in I$であるとき，$p=s(p)\circ p\circ t(p) \in I$である．よって$p\not\in I$なら$s(p),t(p)\not\in I$で，$[p]=[s(p)]\circ[p]\circ[t(p)]$である．
(4) $x,y,z,w\in S_Q\setminus I$が$x\circ y=z\circ w\not\in I$をみたすとする．$S_Q$の$0$-equivisiblityから，(一般性を失うことなく定義2の(i)が成り立つと仮定して)ある$p\in S_Q$により$x=z\circ p$, $w=p\circ y$と表せる．$x,w\not\in I$であるから$p\not\in I$であり，$[x]=[z]\circ[p]$, $[w]=[p]\circ[y]$が成り立つ．よって$T$は$0$-equidivisibleである．
主定理
この記事の目標は，上命題の逆を示すことである．すなわち;
$S$をゼロ元$0$を持つ半群とする．$S$は次をみたすとする．
(1) $S$は$0$-length function $|\cdot|$を持ち，
$$V=\{v\in S\setminus\{0\}\mid|v|=0\}$$
は空でない．
(2) 任意の異なる$u,v\in V$に対し$uv=0$である．
(3) 任意の$p\in S\setminus\{0\}$に対し，$u,v\in V$があって$upv=p$をみたす．
(4) $S$は$0$-equidivisibleである．
このとき箙$Q$とイデアル$I\subset S_Q$があって，$S\cong S_Q/I$となる．
準備
$S$をゼロ元$0$を持つ半群とする．
$S$は定理の(1)～(3)をみたすとする．このとき任意の$p\in S\setminus\{0\}$に対し，(3)をみたす$u,v\in V$は一意に定まる．
$u',v'\in V$も$u'pv'=p$をみたすとすると，$p=uu'pv'v$が成り立つ．特に，$uu'\neq0$, $v'v\neq0$である．従って(2)から$u'=u$, $v'=v$でなければならない．
$S$は定理の(1)～(3)をみたすとする．このとき任意の$p\in S\setminus\{0\}$に対し，補題3によって一意に定まる$u,v$をそれぞれ$s(p),t(p)$と表す．
$S$は定理の(1)～(3)をみたすとする．このとき$S$の冪等元全体の集合$\mathrm{Idem}(S)$は$V\cup\{0\}$に等しい．
任意の$e\in\mathrm{Idem}(S)\setminus\{0\}$に対し，$|e|=|ee|=|e|+|e|$であるから$e\in V$を得る．
任意の$u\in V$に対し，$s(u)\cdot u\cdot t(u)=u$であるが，(2)により$s(u)=t(u)=u$である．よって$uuu=u$である．$uu\neq0$であり，$|uu|=|u|+|u|=0$ゆえ$uu\in V$である．もし$uu\neq u$であれば，(2)により$u=u\cdot uu=0$となって矛盾する．したがって$u\in\mathrm{Idem}(S)$である．
任意の$p\in S\setminus\{0\}$に対し，$s(p)p=pt(p)=p$である．
命題5により，$s(p)p=s(p)^2pt(p)=s(p)pt(p)=p$である．$pt(p)=p$も同様である．
任意の$p,q\in S\setminus\{0\}$に対し，$t(p)\neq s(q)$であれば$pq=0$である．
$pq=p\cdot(t(p)s(q))\cdot q=0$.
$T=S\setminus V=\{0\}\cup\{p\in S\setminus\{0\}\mid|p|>0\}$とおく．$T$は$S$の部分半群をなす．実際，$p,q\in T$に対し，$pq=0$であるか，さもなくば$|pq|=|p|+|q|>0$である．
$$E=T\setminus T^2$$
とおく．
$T=\{0\}$であれば，$S$は矢を持たない箙の半群と同型である．以下$T\setminus\{0\}\neq\emptyset$とする．
任意の$p\in T\setminus\{0\}$をとる．もし$p\in T^2$であれば，定義から$p=p'p''$, $p',p''\in T$と書ける．$|p|=|p'|+|p''|$であるから，$|p|>|p'|,|p''|$である．$p',p''\in T^2$である限りこの操作を続けられるが，長さが真に減少することから有限回で止まる．従って，$p_1,\dots,p_r\in E$があって，
\begin{equation}
p=p_1\cdots p_r\tag{$\heartsuit$}\label{factorization}
\end{equation}
と表すことができる．
$S$が(4)をみたす($0$-equidivisibleである)とき，分解(\ref{factorization})は一意である．
まず，$S$が$0$-cancellativeであることを示す．そのため，$a,b,c\in S\setminus\{0\}$が$ab=ac\neq0$をみたすとする．$0$-equidivisiblityから，一般性を失うことなく$a=ap$, $c=pb$なる$p\in S$が存在する．長さを比較することで$p\in V$が分かる．よって$p=t(a)$である．$ab\neq0$なので，命題6から，$t(a)=s(b)$であり，補題5により$pb=b$を得る．従って$b=c$である．これで$S$がleft $0$-cancellativeと分かった．right $0$-cancellativeも同様である．
分解(\ref{factorization})の一意性を示す．そのため$q_1,\dots,q_s\in E$も$p=q_1\cdots q_s$をみたすとする．一般性を失うことなく$r\leq s$としてよい．$0$-equidivisiblityから，$p_1=q_1t$あるいは$q_1=p_1t$をみたす$t\in S\setminus\{0\}$が存在する．$p_1,q_1\in E$であるから，$t\in V$である．右から$t$をかけて$p_1t=q_1t$を得る．よって$0$-cancellativityから$p_1=q_1$である．再び$0$-cancellativityから$p_2\cdots p_r$=$q_2\cdots q_s$を得る．これを繰り返して，$p_1=q_1$, $\dots$, $p_{r-1}=q_{r-1}$, $p_r=q_r\cdots q_s$を得る．$p_r\in E$であるから，$s=r$であり，$p_r=q_r$を得る．以上で証明が完了した．
定理の証明
箙$Q=(V,E,s|_E,t|_E)$を定める．このとき準同型$\varphi\colon S_Q\to S$で，$\varphi(0)=0$であって，任意の$v\in V$, $a\in E$に対し$\varphi(v)=v$, $\varphi(a)=a$をみたすものが一意に存在する．実際長さ正の道は$p=(a_1,\dots,a_{|p|})=a_1\circ\cdots\circ a_{|p|}$と表されるから，$\varphi(p)=a_1\cdots a_{|p|}$と定めればよい．準同型になるためには$p\circ q=0$のとき$\varphi(p)\varphi(q)=0$でなければならないが，これは命題7により成り立つ．
分解(\ref{factorization})から$\varphi$は全射である．またその一意性から，$\varphi$のkernel relationは
\begin{align}
\ker\varphi
&=\{(p,q)\in S_Q\times S_Q\mid\varphi(p)=\varphi(q)\}\\
&=\{(p,q)\in S_Q\times S_Q\mid\varphi(p)=\varphi(q)=0 \text{ or } p=q\}\\
&=\mathrm{id}_{S_Q}\cup(\varphi^{-1}(0)\times\varphi^{-1}(0))
\end{align}
となって，$S_Q$のイデアル$\varphi^{-1}(0)$が誘導するリースの合同関係に一致する．従って$S\cong S_Q/\varphi^{-1}(0)$を得る．以上で定理が示された．
