箙に付随する半群とその剰余半群の特徴付け

箙

$Q$ を箙(えびら, quiver)とする．すなわち $Q$ は頂点の集合 $V \neq \emptyset$ , 矢の集合 $E$ , 矢に始点と終点を対応させる写像 $s, t : E \to V$ の組 $Q = (V, E, s, t)$ である．
正整数 $l$ と矢の列 $p = (a_{1}, \dots, a_{l})$ で， $t (a_{i}) = s (a_{i + 1})$ , $i = 1, \dots, l - 1$ , をみたすものを道という． $l$ を道 $p$ の長さと言って $| p | = | p |_{Q}$ で表す．
頂点 $v \in V$ は長さ $0$ の道とみなす．また，矢 $a \in E$ と長さ $1$ の道 $(a,)$ とを同一視する． $Q$ の道全体の集合を $Path (Q)$ で表す．
$v \in V$ に対し $s (v) = t (v) = v$ と定め，また長さ正の道 $p = (a_{1}, \dots, a_{l})$ に対し $s (p) = s (a_{1})$ , $t (p) = t (a_{l})$ と定めることで， $s, t$ の定義域を $Path (Q)$ に拡張しておく．
道の組 $(p, q) \in Path (Q) \times Path (Q)$ は $t (p) = s (q)$ をみたすとき結合可能であるという．結合可能な道の組 $(p, q)$ に対し， $p \circ q \in Path (Q)$ を
$p \circ q = \begin{array}{r} {\begin{cases} q & (| p | = 0) \\ p & (| q | = 0) \\ (a_{1}, \dots, a_{| p |}, b_{1}, \dots, b_{| q |}) & (| p |, | q | > 0) \end{cases} \end{array}$
と定め， $p, q$ の結合という．ただし上式3行目では $p = (a_{1}, \dots, a_{| p |}), q = (b_{1}, \dots, b_{| q |})$ とした． $| p \circ q | = | p | + | q |$ が成り立つ．

箙に付随する半群

$Q$ を箙とし， $S_{Q} = Path (Q) \cup {0}$ とおく． $S_{Q}$ は道の結合によって半群をなす．ただし，結合可能でない道の組 $(p, q)$ に対しては $p \circ q = 0$ と定める．
半群に関する用語をいくつか準備する． $N$ を非負整数のモノイドとする．

$S$ をゼロ元 $0$ を持つ半群とする．写像 $| \cdot | : S ∖ {0} \to N$ は，任意の $p, q \in S ∖ {0}$ に対し， $p q \neq 0$ ならば $| p q | = | p | + | q |$ をみたすとき， $S$ 上の $0$ -length function という．

$S$ をゼロ元 $0$ を持つ半群とする． $S$ が $0$ -equidivisibleであるとは，任意の $x, y, z, w \in S ∖ {0}$ に対し， $x y = z w \neq 0$ ならば次のいずれかが成り立つことをいう:
(R1) ある $p \in S$ があって， $x = z p$ , $w = p y$ である．
(R2) ある $p \in S$ があって， $z = x p$ , $y = p w$ である．

箙 $Q$ に付随する半群 $S_{Q}$ について，次が成り立つ．

$| \cdot |_{Q}$ は $S_{Q}$ 上の $0$ -length functionである．
任意の異なる頂点 $u, v \in V$ に対し， $u \circ v = 0$ である．
任意の道 $p \in Path (Q)$ に対し， $p = s (p) \circ p \circ t (p)$ である．
$S_{Q}$ は $0$ -equidivisibleである．

$I ⊊ S_{Q}$ を真のイデアルとし，リースの剰余半群 $T = S_{Q} / I$ を考える． $T$ についても命題1と類似の性質が成り立つ;

$S_{Q}$ 上の $0$ -length function $| \cdot |$ は $T$ 上の $0$ -length function $| \cdot |^{'}$ を導く．また， $V_{I} = {x \in T ∖ {0} ∣ | x |^{'} = 0}$ は空でない．
任意の異なる $u, v \in V_{I}$ に対し， $u \circ v = 0$ である．
任意の $x \in T ∖ {0}$ に対し， $x = u \circ x \circ v$ をみたす $u, v \in V_{I}$ が存在する．
$T$ は $0$ -equidivisibleである．

自然な全射準同型を $[\cdot] : S_{Q} \to T$ で表す． $I$ は $0$ を含むことに注意．
(1) $| [p] |^{'} = | p |$ , $p \in S_{Q} ∖ I$ , とすればよい．任意の $p, q \in S_{Q} ∖ I$ with $p \circ q \notin I$ に対し，
$| [p] \circ [q] |^{'} = | [p \circ q] |^{'} = | p \circ q | = | p | + | q | = | [p] |^{'} + | [q] |^{'}$
ゆえ $| \cdot |^{'}$ は $T$ 上の $0$ -length functionである．もし $V \subset I$ であれば，任意の $p \in S_{Q} ∖ {0}$ に対し $p = s (p) \circ p \in I$ であるから $I \neq S_{Q}$ に反する．よって $I$ に属さない $v \in V$ が存在し， $| [v] |^{'} = | v | = 0$ ゆえ $[v] \in V_{I}$ である．
(2) 自明．
(3) $p \in S_{Q} ∖ {0}$ に対し， $s (p) \in I$ または $t (p) \in I$ であるとき， $p = s (p) \circ p \circ t (p) \in I$ である．よって $p \notin I$ なら $s (p), t (p) \notin I$ で， $[p] = [s (p)] \circ [p] \circ [t (p)]$ である．
(4) $x, y, z, w \in S_{Q} ∖ I$ が $x \circ y = z \circ w \notin I$ をみたすとする． $S_{Q}$ の $0$ -equivisiblityから，(一般性を失うことなく定義2の(i)が成り立つと仮定して)ある $p \in S_{Q}$ により $x = z \circ p$ , $w = p \circ y$ と表せる． $x, w \notin I$ であるから $p \notin I$ であり， $[x] = [z] \circ [p]$ , $[w] = [p] \circ [y]$ が成り立つ．よって $T$ は $0$ -equidivisibleである．

主定理

この記事の目標は，上命題の逆を示すことである．すなわち;

$S$ をゼロ元 $0$ を持つ半群とする． $S$ は次をみたすとする．
(1) $S$ は $0$ -length function $| \cdot |$ を持ち，
$V = {v \in S ∖ {0} ∣ | v | = 0}$
は空でない．
(2) 任意の異なる $u, v \in V$ に対し $u v = 0$ である．
(3) 任意の $p \in S ∖ {0}$ に対し， $u, v \in V$ があって $u p v = p$ をみたす．
(4) $S$ は $0$ -equidivisibleである．

このとき箙 $Q$ とイデアル $I \subset S_{Q}$ があって， $S ≅ S_{Q} / I$ となる．

準備

$S$ をゼロ元 $0$ を持つ半群とする．

$S$ は定理の(1)～(3)をみたすとする．このとき任意の $p \in S ∖ {0}$ に対し，(3)をみたす $u, v \in V$ は一意に定まる．

$u^{'}, v^{'} \in V$ も $u^{'} p v^{'} = p$ をみたすとすると， $p = u u^{'} p v^{'} v$ が成り立つ．特に， $u u^{'} \neq 0$ , $v^{'} v \neq 0$ である．従って(2)から $u^{'} = u$ , $v^{'} = v$ でなければならない．

$S$ は定理の(1)～(3)をみたすとする．このとき任意の $p \in S ∖ {0}$ に対し，補題3によって一意に定まる $u, v$ をそれぞれ $s (p), t (p)$ と表す．

$S$ は定理の(1)～(3)をみたすとする．このとき $S$ の冪等元全体の集合 $Idem (S)$ は $V \cup {0}$ に等しい．

任意の $e \in Idem (S) ∖ {0}$ に対し， $| e | = | e e | = | e | + | e |$ であるから $e \in V$ を得る．
任意の $u \in V$ に対し， $s (u) \cdot u \cdot t (u) = u$ であるが，(2)により $s (u) = t (u) = u$ である．よって $u u u = u$ である． $u u \neq 0$ であり， $| u u | = | u | + | u | = 0$ ゆえ $u u \in V$ である．もし $u u \neq u$ であれば，(2)により $u = u \cdot u u = 0$ となって矛盾する．したがって $u \in Idem (S)$ である．

任意の $p \in S ∖ {0}$ に対し， $s (p) p = p t (p) = p$ である．

命題5により， $s (p) p = s (p)^{2} p t (p) = s (p) p t (p) = p$ である． $p t (p) = p$ も同様である．

任意の $p, q \in S ∖ {0}$ に対し， $t (p) \neq s (q)$ であれば $p q = 0$ である．

$p q = p \cdot (t (p) s (q)) \cdot q = 0$ .

$T = S ∖ V = {0} \cup {p \in S ∖ {0} ∣ | p | > 0}$ とおく． $T$ は $S$ の部分半群をなす．実際， $p, q \in T$ に対し， $p q = 0$ であるか，さもなくば $| p q | = | p | + | q | > 0$ である．
$E = T ∖ T^{2}$
とおく．
$T = {0}$ であれば， $S$ は矢を持たない箙の半群と同型である．以下 $T ∖ {0} \neq \emptyset$ とする．
任意の $p \in T ∖ {0}$ をとる．もし $p \in T^{2}$ であれば，定義から $p = p^{'} p^{″}$ , $p^{'}, p^{″} \in T$ と書ける． $| p | = | p^{'} | + | p^{″} |$ であるから， $| p | > | p^{'} |, | p^{″} |$ である． $p^{'}, p^{″} \in T^{2}$ である限りこの操作を続けられるが，長さが真に減少することから有限回で止まる．従って， $p_{1}, \dots, p_{r} \in E$ があって，
$\begin{matrix} (♡) & p = p_{1} \dots p_{r} \end{matrix}$
と表すことができる．

$S$ が(4)をみたす( $0$ -equidivisibleである)とき，分解( $♡$ )は一意である．

まず， $S$ が $0$ -cancellativeであることを示す．そのため， $a, b, c \in S ∖ {0}$ が $a b = a c \neq 0$ をみたすとする． $0$ -equidivisiblityから，一般性を失うことなく $a = a p$ , $c = p b$ なる $p \in S$ が存在する．長さを比較することで $p \in V$ が分かる．よって $p = t (a)$ である． $a b \neq 0$ なので，命題6から， $t (a) = s (b)$ であり，補題5により $p b = b$ を得る．従って $b = c$ である．これで $S$ がleft $0$ -cancellativeと分かった．right $0$ -cancellativeも同様である．
分解( $♡$ )の一意性を示す．そのため $q_{1}, \dots, q_{s} \in E$ も $p = q_{1} \dots q_{s}$ をみたすとする．一般性を失うことなく $r \leq s$ としてよい． $0$ -equidivisiblityから， $p_{1} = q_{1} t$ あるいは $q_{1} = p_{1} t$ をみたす $t \in S ∖ {0}$ が存在する． $p_{1}, q_{1} \in E$ であるから， $t \in V$ である．右から $t$ をかけて $p_{1} t = q_{1} t$ を得る．よって $0$ -cancellativityから $p_{1} = q_{1}$ である．再び $0$ -cancellativityから $p_{2} \dots p_{r}$ = $q_{2} \dots q_{s}$ を得る．これを繰り返して， $p_{1} = q_{1}$ , $\dots$ , $p_{r - 1} = q_{r - 1}$ , $p_{r} = q_{r} \dots q_{s}$ を得る． $p_{r} \in E$ であるから， $s = r$ であり， $p_{r} = q_{r}$ を得る．以上で証明が完了した．

定理の証明

箙 $Q = (V, E, s |_{E}, t |_{E})$ を定める．このとき準同型 $φ : S_{Q} \to S$ で， $φ (0) = 0$ であって，任意の $v \in V$ , $a \in E$ に対し $φ (v) = v$ , $φ (a) = a$ をみたすものが一意に存在する．実際長さ正の道は $p = (a_{1}, \dots, a_{| p |}) = a_{1} \circ \dots \circ a_{| p |}$ と表されるから， $φ (p) = a_{1} \dots a_{| p |}$ と定めればよい．準同型になるためには $p \circ q = 0$ のとき $φ (p) φ (q) = 0$ でなければならないが，これは命題7により成り立つ．
分解( $♡$ )から $φ$ は全射である．またその一意性から， $φ$ のkernel relationは
$\begin{aligned} \ker φ & = {(p, q) \in S_{Q} \times S_{Q} ∣ φ (p) = φ (q)} \\ = {(p, q) \in S_{Q} \times S_{Q} ∣ φ (p) = φ (q) = 0 or p = q} \\ = {id}_{S_{Q}} \cup (φ^{- 1} (0) \times φ^{- 1} (0)) \end{aligned}$
となって， $S_{Q}$ のイデアル $φ^{- 1} (0)$ が誘導するリースの合同関係に一致する．従って $S ≅ S_{Q} / φ^{- 1} (0)$ を得る．以上で定理が示された．

投稿日：2023年4月13日

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