代数的数の和、積は再び代数的数となる　ほか

　$\a,\b$をそれぞれ$r,s$次の代数的数とする。このとき適当な次数下げによって
$$\a^n=\sum^{r-1}_{k=0}A_{n,k}\a^k,\quad\b^n=\sum^{s-1}_{k=0}B_{n,k}\b^k$$
なる有理数$A_{n,k},B_{n,k}$が取れるので
$$\{\a^i\b^j\mid0\leq i< r,0\leq j< s\}$$
を縦に並べたベクトルを$\G$と置くと、$\g=\a+\b,\a\b$に対してある正方行列$P$が存在し
$$\g\G=P\G$$
が成り立つ。したがって$\g$は代数方程式
$$\det(xI-P)=0$$
を満たすことがわかる。

　$\g=\a+\b,\a\b$に対して
$$\{\g^n\mid0\leq n\leq rs\},\quad\{\a^i\b^j\mid0\leq i< r,0\leq j< s\}$$
を縦に並べたベクトルをそれぞれ$\boldsymbol{\g},\G$とおく。
　このとき
$$(\a+\b)^n=\sum^n_{k=0}\binom nk\a^k\b^{n-k},\quad(\a\b)^n=\a^n\b^n$$
に注意すると、上と同じく適当な次数下げによって
$$\boldsymbol{\g}=P\G$$
なる$(rs+1)\times rs$行列$P$が取れるが、そのサイズからある横ベクトル
$$C=\begin{pmatrix}c_0&c_1&\cdots&c_{rs}\end{pmatrix}$$
が存在して$CP=\boldsymbol{0}$が成り立つので$\g$は代数方程式
$$C\boldsymbol{\g}=\sum^{rs}_{n=0}c_n\g^n=0$$
を満たすことがわかる。

　$a_n,b_n$が満たす漸化式をそれぞれ
$$a_{n+r}=\sum^{r-1}_{k=0}A_k(n)a_{n+k},\quad b_{n+s}=\sum^{s-1}_{k=0}B_k(n)b_{n+k}$$
とし、$c_n=a_n+b_n$のときは$t=r+s$に対して
$$\{c_{n+k}\mid0\leq k\leq t\},\quad \{a_{n+i}\mid0\leq i< r\}\cup\{b_{n+j}\mid0\leq j< s\}$$
を、$c_n=a_nb_n$のときは$t=rs$に対して
$$\{c_{n+k}\mid0\leq k\leq t\},\quad\{a_{n+i}b_{n+j}\mid0\leq i< r,0\leq j< s\}$$
を縦に並べたベクトルをそれぞれ$\g,\G$とおく。
　このとき
$$(\bs a+\bs b)_{n+k}=a_{n+k}+b_{n+k},\quad(\bs a\bs b)_{n+k}=a_{n+k}b_{n+k}$$
に注意すると、適当な次数下げ(添え字下げというべきか)によって
$$\g=P(n)\G$$
なる$(t+1)\times t$行列$P(n)$が取れるが、そのサイズからある横ベクトル
$$C(n)=\begin{pmatrix}C_0(n)&C_1(n)&\cdots&C_t(n)\end{pmatrix}$$
が存在して$C(n)P(n)=\boldsymbol{0}$が成り立つので$\g$は代数方程式
$$C(n)\g=\sum^t_{k=0}C_k(n)c_{n+k}=0$$
を満たすことがわかる。

　$u,v$の満たす微分方程式の次数(階数)をそれぞれ$r,s$とし、$w=u+v$のときは$t=r+s$に対して
$$\{w^{(n)}\mid0\leq n\leq t\},\quad \{u^{(i)}\mid0\leq i< r\}\cup\{v^{(j)}\mid0\leq j< s\}$$
を、$w=uv$のときは$t=rs$に対して
$$\{w^{(n)}\mid0\leq n\leq t\},\quad\{u^{(i)}v^{(j)}\mid0\leq i< r,0\leq j< s\}$$
を縦に並べたベクトルをそれぞれ$\g,\G$とおく。
　このとき
$$(u+v)^{(n)}=u^{(n)}+v^{(n)},\quad(uv)^{(n)}=\sum^n_{k=0}\binom nku^{(k)}v^{(n-k)}$$
に注意すると、やはり適当な次数下げ(階数下げ)によって
$$\g=P(x)\G$$
なる$(t+1)\times t$行列$P(x)$が取れるが、そのサイズからある横ベクトル
$$C(x)=\begin{pmatrix}C_0(x)&C_1(x)&\cdots&C_t(x)\end{pmatrix}$$
が存在して$C(x)P(x)=\boldsymbol{0}$が成り立つので$\g$は代数方程式
$$C(x)\g=\sum^t_{k=0}C_k(x)w^{(k)}=0$$
を満たすことがわかる。

　ざっくりと説明する。
　まず左辺を$v=u^2$とおくと、$u$は超幾何微分方程式を満たすので、
$$\begin{pmatrix}v\\v'\\v''\\v'''\end{pmatrix} =P(z)\begin{pmatrix}u^2\\uu'\\u'^2\end{pmatrix}$$
なる$4\times3$行列$P(z)$が取れる。つまり$v$はある三階線形微分方程式$Lv=0$を満たすことがわかる。
　また$u$に対応する$P$関数$P$の積が生成する線形空間
$$P(z)^2=\l\{\sum^n_{k=1}u_{1,k}u_{2,k}\mid u_{1,k},u_{2,k}\in P(z),\;n\in\N\r\}$$
はその特性指数から三次元となることがわかるので、$Lv=0$の解は$v\in P(z)^2$によって尽くされることがわかる。
　特に$P(z)^2$の挙動から$Lv=0$は$z=0,1,\infty$のみを特異点に持つFuchs型微分方程式となり
$$P\l\{\begin{matrix}0&1&\infty\\0&0&a\\\frac12-a-b&\frac12&b\end{matrix}\quad z\r\}^2 =P\l\{\begin{matrix} 0&1&\infty\\ 0&0&2a\\ 1-2a-2b&1&2b\\ \frac12-a-b&\frac12&a+b\end{matrix}\quad z\r\}$$
を得る。
　いま
$${}_3F_2\l(\begin{matrix}a,b,c\\d,e\end{matrix};z\r)$$
に対応するリーマン図式は
$$P\l\{\begin{matrix} 0&1&\infty\\ 0&0&a\\ 1-d&1&b\\ 1-e&f&c\end{matrix}\quad z\r\}\quad(f=d+e-a-b-c)$$
であることに注意すると、両辺の$z=0$周りにおける基本解はそれぞれ
$${}_2F_1\l(\begin{matrix}a,b\\a+b+\frac12\end{matrix};z\r)^2,\quad z^{1-2a-2b}{}_2F_1\l(\begin{matrix}\frac12-a,\farc12-b\\\frac32-a-b\end{matrix};z\r)^2,\quad z^{\farc12-a-b}{}_2F_1\l(\begin{matrix}a,b\\a+b+\frac12\end{matrix};z\r) {}_2F_1\l(\begin{matrix}\frac12-a,\farc12-b\\\frac32-a-b\end{matrix};z\r)$$
$${}_3F_2\l(\begin{matrix}2a,2b,a+b\\2a+2b,a+b+\frac12\end{matrix};z\r),\quad z^{1-2a-2b}{}_3F_2\l(\begin{matrix}1-2a,1-2b,1-a-b\\2(1-a+b),\farc32-a-b\end{matrix};z\r),\quad z^{\farc12-a-b}{}_3F_2\l(\begin{matrix}a-b+\frac12,b-a+\frac12,\farc12\\a+b+\frac12,\frac32-a-b\end{matrix};z\r)$$
と表せるので、それぞれの$z=0$における挙動を比較することで
$${}_2F_1\l(\begin{matrix}a,b\\a+b+\frac12\end{matrix};z\r)^2 ={}_3F_2\l(\begin{matrix}2a,2b,a+b\\2a+2b,a+b+\frac12\end{matrix};z\r)$$
を得る。