Banach-Alaogluの定理(書きかけ) 関数解析

$B_x=\{\alpha \in K||\alpha |\le r\Vert x\Vert \}$とおくと$B_x$は$K$の有界閉集合なのでコンパクト集合である. $\mathcal{B}:=\prod _{x\in X}{B}_x$と置くと, チコノフの定理から$\mathcal{B}$はコンパクトとなる.
$f\in B^{\ast }$に対して$\mathrm{\Phi }$を$\mathrm{\Phi }(f)=(f(x){)}_{x\in X}$と定めると, $\mathrm{\Phi }$は単射である. この$\mathrm{\Phi }$が, $B^{\ast }$の汎弱位相と$\mathrm{\Phi }(B^{\ast })$の直積位相との間に位相同型を定めることを示す.
$f_0\in B^{\ast }$の汎弱近傍を$U$とおくと, 任意の$\epsilon >0$及び, 任意有限個の$x_1,...,x_n\in X$に対し
$U=\{f\in B^{\ast }||f(x_k)-f_0(x_k)|<\epsilon (k=1,2,...,n)\}$と表される. $\mathrm{\Phi }(f)=f$と考えると, $U=\mathrm{\Phi }(U)$が分かる. これにより
$U$が$f_0$の汎弱近傍 $⟺$ $\mathrm{\Phi }(U)$が$\mathrm{\Phi }(f_0)$の近傍
$\mathrm{\Phi }:B^{\ast }\to \mathrm{\Phi }(B^{\ast })$が全単射であることから, $\mathrm{\Phi }$が$B^{\ast }$の汎弱位相と$\mathcal{B}$の直積位相との間に位相同型を定めることが言えた. $B^{\ast }$が$\mathcal{B}$の閉集合であることが言えれば, 上の$\mathrm{\Phi }$を用いて$B^{\ast }$が汎弱コンパクトであることが分かる.