この記事ではBanach-Alaogluの定理の証明を綴る.
$X$をノルム空間. $ X^{*} $をその共役空間とする. $r >0$とし, $B_{r}^{*}:= \{ f \in X^{*}| \left\| f \right\| \leq r \}$ (以下$B^{*}$と記す). この時,$B^{*}$は汎弱コンパクト.
$B_{x}=\{ \alpha \in K|\,|\alpha| \leq r\left\| x \right\| \}$とおくと$B_{x}$は$K$の有界閉集合なのでコンパクト集合である. $\mathcal B:= \prod_{x\in X} B_{x} $と置くと, チコノフの定理から$\mathcal B$はコンパクトとなる.
$f \in B^{*}$に対して$\Phi$を$\Phi (f)=(f(x))_{x \in X}$と定めると, $\Phi$は単射である. この$\Phi$が, $B^{*}$の汎弱位相と$\Phi(B^{*})$の直積位相との間に位相同型を定めることを示す.
$f_0\in B^{*}$の汎弱近傍を$U$とおくと, 任意の$\varepsilon >0 $及び, 任意有限個の$x_1,..., x_n \in X$に対し
$U=\{f\in B^{*}| \,|f(x_k)-f_0(x_k)| < \varepsilon\quad(k=1,2,...,n) \}$と表される. $\Phi(f)=f$と考えると, $U=\Phi(U)$が分かる. これにより
$U$が$f_0$の汎弱近傍 $\iff$ $\Phi(U)$が$\Phi(f_0)$の近傍
$\Phi : B^* \to \Phi(B^*)$が全単射であることから, $\Phi$が$B^{*}$の汎弱位相と$\mathcal B$の直積位相との間に位相同型を定めることが言えた. $B^*$が$\mathcal B$の閉集合であることが言えれば, 上の$\Phi$を用いて$B^*$が汎弱コンパクトであることが分かる.
参考文献
[1] 前田周一郎 「函数解析入門」, 森北出版 (1974年)