漸化式の問題の作り方のお話

はじめに

この記事では, 漸化式の問題の作り方についてお話しようと思います.

実は, 簡単に難しい漸化式の問題を作れてしまう方法があるんです！
$$

簡単に難しい問題が作れると言えば, 不定積分の問題ですね. 適当な関数を微分してやれば, なかなか難しい問題を手軽に作ることができます.
$$

漸化式

ところで, 漸化式を解くというのは, 不定積分を求めるのと似たようなことをしています. その理由を説明していきます.

例えば, 次のような漸化式の問題があったとします.

$$a_{n+1}=3a_n+2$$

これを解く際に, このような変形をします.

$$(a_{n+1}+1)=3(a_n+1)$$

ここから, これは等比数列で...のように議論を進めるのが一般的だと思いますが, これをさらに次のように変形してみます.

$${\displaystyle \frac{a_{n+1}+1}{3^{n+1}}=\frac{a_n+1}{3^n}}$$

即ち, 記号$\mathrm{\Delta }$で$n$に関する差分を表すとして

$${\displaystyle \mathrm{\Delta }(\frac{a_n+1}{3^n})=0}$$

このようにして定数列の形にすることが, 漸化式を解くことの本質と考えることができます.

こう考えると, (あたりまえではありますが) 漸化式から$\mathrm{\Delta }(f(n))=0$ なる$f(n)$を求める必要があるわけで, これが「微分して被積分関数になる関数を求める」という不定積分と全く同じであるということです.
$$

従って, 先にこの$f(n)$を決めてから漸化式を作れば, 簡単に難しい問題を作ることができます.

では実際にやってみましょう.
$$

例題$1.$

${\displaystyle f(n)=\frac{(n-1)a_n+1}{2^n}}$ としてみましょう. ただし$a_1=1$とします. すると,

$$\begin{array}{rcl}& & \mathrm{\Delta }(f(n))=0\\ & \iff & \frac{n{a}_{n+1}+1}{2^{n+1}}=\frac{(n-1)a_n+1}{2^n}\\ & \iff & n{a}_{n+1}+1=2(n-1)a_n+2\\ & \iff & a_{n+1}=2(1-\frac{1}{n})a_n+\frac{1}{n}\end{array}$$

となりました. この漸化式の解は,

$$\begin{array}{rcl}& & \frac{(n-1)a_n+1}{2^n}=\frac{(1-1)a_1+1}{2}=\frac{1}{2}\\ & \iff & a_n=\frac{2^{n-1}-1}{n-1}(n\geqq 2)\end{array}$$となります.
$$

例題$2.$

今度は, ${\displaystyle f(n)=\frac{a_{n+1}}{a_n+1}}$ としてみます. これは$3$項間漸化式となるので, $a_1=1,a_2=2$としておきます. すると,

$$\begin{array}{rcl}& & \mathrm{\Delta }(f(n))=0\\ & \iff & \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}+1}=\frac{a_{n+1}}{a_n+1}\\ & \iff & a_{n+2}=\frac{a_{n+1}{}^2+a_{n+1}}{a_n+1}\end{array}$$

となりました. この漸化式の解は,
$$\begin{array}{rcl}& & \frac{a_{n+1}}{a_n+1}=\frac{a_2}{a_1+1}=1\\ & \iff & a_{n+1}=a_n+1\\ & \iff & a_n=n\end{array}$$となります.
$$

例題$3.$

最後に, ${\displaystyle f(n)=\frac{a_n+\frac{1}{n}}{(n-1)!}}$ としてみます. $a_1=1$です. すると,

$$\begin{array}{rcl}& & \mathrm{\Delta }(f(n))=0\\ & \iff & \frac{a_{n+1}+\frac{1}{n+1}}{n!}=\frac{a_n+\frac{1}{n}}{(n-1)!}\\ & \iff & a_{n+1}+\frac{1}{n+1}=n(a_n+\frac{1}{n})\\ & \iff & a_{n+1}=n{a}_n+\frac{n}{n+1}\end{array}$$

となりました. この漸化式の解は
$$\begin{array}{rcl}& & \frac{a_n+\frac{1}{n}}{(n-1)!}=\frac{a_1+1}{0!}=2\\ & \iff & a_n=2(n-1)!-\frac{1}{n}\end{array}$$となります. 面白いですね.
$$

まとめ

以上の結果をまとめると, 次のようになります.

$\begin{array}{rcl}& & (1)a_{n+1}=2(1-\frac{1}{n})a_n+\frac{1}{n},a_1=1\\ & & (2)a_{n+2}=\frac{a_{n+1}{}^2+a_{n+1}}{a_n+1},a_1=1,a_2=2\\ & & (3)a_{n+1}=n{a}_n+\frac{n}{n+1},a_1=1\end{array}$

みなさんも, いろいろな$f(n)$を使って, 変な漸化式の問題を作ってみてください.

それでは, ありがとうございました.
$$