コラッツの予想の証明

コラッツの予想の証明

惜しいけど間違ってる証明

コラッツの予想に出てくるような、予想に含まれる数が条件を満たすことを成り立つ、と表現します。
まずある数$2l-1$まで全部調べます。$2l$は調べる時に$2$で割り、$l$を調べることになりますが、$2l-1$までの全ての数で成り立つので、$l$も$2l$も成り立ちます。

$2l+1$は、これが$3a+1$なら$a<2l-1$
で、$a$は計算する時に3倍して1を足すので$3a+1$になります。$a$は$2l-1$より小さいので成り立ちます。
では背理法で、$2l+1=3k+3$とします。$2l=3k+2$です。
$3$倍して$1$を足すと$6l+4$。$2$で割って$3l+2$。$2l=3k+2$なので$3l+2=l+3k+2+2, l+4$と$\mod 3$で合同です。

$l=3/2k+1$なので、$3l+2=9/2k+5$です。
$k$が偶数の場合$2$で割り、$9/4k+5/2$となります。
このように$3$倍して$1$を足しながら順番に$2$で割っていくと、
$k$は常に$2m$（2の倍数）にならなくてはいけませんが、既に試行してコラッツの予想が成り立つ数を$k$で表した時にそうでない$k$が沢山あることから、この仮定は誤っていることが分かります。
よって背理法から$2l+1 \neq 3k+3$であることが言えました。
同様に背理法より$2l+1 \neq 3k+2$であることが言えます。
$2l+2$は$l+1<2l-1$なので、成り立つ数として調べが付いています。
$2l+3$ですが、これを$3n+1$と置きます。
すると$2l=3n-2=3(n-1)+1$で、$n \geqq 2でn-1<2l-1$なので$n-1$は成り立つ数として調べが付いています。

以上より帰納法で全ての数で成り立つことが言えました。
証明終わり■

他にも6で割った余りで場合分けし、帰納法で解くこともできます。

正しい証明

上記の証明は全く誤り。
理由は省略。
奇数$2l+1$を3倍して1を加えると$4l+2l+4$。
$l=2^m*n$の時、$4l=2^{m+2}*n=t$。
$t+2l+4=2^k*p$の時
$2l+4$と$t$が等しくない場合でしかも$k$が最大の時
$k=m+2,2l+4=0,2^k,2*2^k \cdots$
kが最大でない場合に関しては、kが最大の場合と同じように考えることができる。
これは常には当てはまらない。

或いは特殊な場合
$2^{m+2}*n=2l+4$
ゆえに、$2l$は2の階乗マイナス4である。
他の場合もこの場合と同様に考えることができる。

これは常には当てはまらない。また、計算していった時に、$2l$が常に当てはまる数であることもない。
ただし、$2^k*h$の$h$は、計算をするとどんどん変化していく。この計算で必ず$h$が$2$の巾乗にならないということはあり得ない。とにかく変化だけはしていく上に、全く同じ条件で全ての変数が等しい場合というのは出てこないからだ。
$h$だけでなく$k$も変化していくが、元のkに戻ってくるという場合もあるし、全ての$k$に対して$h$が2の巾乗でないパターンというのは有限個しかない。
従って、殆ど常に
$t+2l+4\neq2^k*n$
すると、$n$が$2$の巾乗になるまで計算を繰り返すことができる。

よって題意を示せた。
Q.E.D.
■

証明になってるの？

$n$の個数は有限なので、
$n$が殆ど常に変化していくと、そのうち$n$が2の階乗になります。有限回の計算でそうなることを厳密に証明するには、
「$2^k*n$」
を射影平面上に並べてみればいいと思います。巡回群のような頑固な数というのは存在しません。それは2lが常に条件に当てはまらないのと同じ位確かなので、証明は簡単な筈です。
いやそもそも、そんな必要ありませんでした。

無限個の中にあれば空(うつほ)数個の中にもある

自然数の無限集合の中に、条件を満たす数がある時、その部分集合を、条件を満たす数を含むように取れます。
有限集合の元が空(うつほ)数個なら、取れることは自明です。
それと、この証明は関係ないだろ。計算は順番にするから、任意の部分集合は取れないだろ、とお思いですか？
条件を満たすまで、計算の回数を増やしても、計算の回数は空数回で、無限回ではない、ということですよ。
しかし、無限回の操作でも条件を満たさない可能性に関しては、考えないといけません。
コラッツの予想の計算が、性質の
「よい」計算であることを、抽象的に論じれば事足りるでしょう。
コラッツの予想に登場する数を含む集合の元が、十分に多いことを証明すればよいです。
自然数全体の$1/n$個、条件を満たす数があれば、空数回の計算をすれば条件を満たす筈ですが。
これは何も言えてないんでしょうか？
また、2l+4を足すという操作をするので、2l+4を2で割れるだけ割った数が、2の巾乗に対して互いに素の自然数と2の巾乗の積、つまり2l+4が常に2の巾乗そのものでないなら示せている、ということであればよいです。それなら、それ以上何も言う必要はありません。
これ以上は皆さんにお任せします。

具体的に考える

$\begin{eqnarray} &3(2k+1)+1&=6k+3+1\\ =4k+(2k+4) \end{eqnarray}$
$\begin{eqnarray} &3*(\frac{3(2k+1)}{2}+1/2)+1&=\frac{1}{2}*3\lbrace 4k+(2k+4)\rbrace\\ =\frac{1}{2^a}\lbrace 2*4k+4k+3(2k+4)\rbrace \end{eqnarray}$
$4k+3(2k+4)$を2*4kに加える操作では、$k=2^m*n$なのでnが変化し続ける。
mが同じでも、nは変化し、同じには絶対にならない。これはコラッツの予想の計算の過程で数が4より大きな数の場合同じ数に決してならないことから分かる。
補題の証明終わり。
■

こうぼくん「かわぐちさん、間違ってたけど最終的に証明できてよかったね」
かわぐちさん「うん。紆余曲折あったけどね」
こうぼくん「そうだね」
かわぐちさん「これでのんびりできるよ」
こうぼくん「うん」
かわぐちさん「のんびりしようね」
こうぼくん「うん」
（のんびり）
（ぼよーん）