可積分条件

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せっかくこのように簡単に数学の記事が書けるツールがあるので、勉強したことを気楽に記事にしていこうかなと思いました。スタイルとしては、「定理、証明、定理、証明、...」というような厳格なものではなく、数学書で勉強したところを、自分なりの解釈で噛み砕いたものを書いていくつもりです。
どれだけ細かく書くかは悩みどころですが、一応、まだこの内容を勉強したことがない人がこれを読んで、考え方や"気持ち"だけでも分かって、細かいところは自分で勉強してもらう、というような状況をイメージして書くことにします。
Without further ado, 始めていきましょう。

Riemann積分の定義

定義をさらっと書くと、

Riemann積分(解析入門Iから)

n次元有界閉区間 $I$ 上で定義された実数値関数 $f$ がある。区間 $I$ の任意の分割 $Δ$ に対し、 $Δ$ によって生ずる各小区間 $I_{k} (k \in K (Δ))$ の中から任意に一点 $ξ_{k}$ をとって作った和
$s (f; Δ; ξ) = \sum_{k \in K (Δ)} f (ξ_{k}) v (I_{k})$
を、 $f$ の $Δ$ に関するRiemann和という。もしもある実数 $J$ が存在して、 $I_{k}$ の代表点 $ξ_{k}$ の取り方によらず
$lim_{d (Δ) \to 0} s (f; Δ; ξ) = J$
となるとき、 $f$ は(Riemann)可積分であるといい、 $J$ を $f$ の $I$ 上での(Riemann)積分という。そして
$J ＝ \int_{I} f ＝ \int_{I} f (x) d x$
などと表す。

となります。基本的には感覚通りですが、大事なのは赤字の「 $I_{k}$ の代表点 $ξ_{k}$ の取り方によらず」のところです。各 $I_{k}$ 内で $ξ_{k}$ を動かすとき、 $f$ の値があまりに変化するようだと、Riemann和が $ξ$ の取り方の影響を強く受けてしまい、極限が一意に定まらなくなる恐れがあるわけです。式で書くと、
$s (f; Δ; ξ) - s (f; Δ; ξ^{'}) = \sum_{k \in K (Δ)} (f (ξ_{k}) - f (ξ_{k}^{'})) v (I_{k})$
となるので、どう $ξ, ξ^{'}$ を取っても、この右辺が任意に与えられた $ϵ > 0$ より小さくなるように $Δ$ をとることができることが必要になってきます。 $a (f, I_{k}) := sup_{ξ_{k}, ξ_{k}^{'} \in I_{k}} {f (ξ_{k}) - f (ξ_{k}^{'})}$ を $f$ の $I_{k}$ における振幅とよびます。そして実際に、次の定理が成り立ちます。

可積分条件

任意の $ϵ > 0$ に対して
$\sum_{k \in K (Δ)} a (f, I_{k}) v (I_{k}) < ϵ$
となるような分割 $Δ$ が存在することと、 $f$ が $I$ 上可積分であることは同値である。

ただし、上の説明は証明ではなく、あくまで"気持ち"であることに注意してください。

可積分条件

さて、この定理から、 $\sum a (f, I_{k}) v (I_{k})$ が注目の対象になります。この和を十分に小さくする方法は大きく２つ考えられます。

$a (f, I_{k})$ を小さくする
$v (I_{k})$ を小さくする

この1に応えるのが「一様連続性」であり、2に応えるのが「零集合」であるのだと思います。

一様連続

$A \subset R^{n}$ とする。関数 $f : A \to R^{m}$ は、
$(\forall ϵ > 0) (\exists δ > 0) (\forall x, y \in A) (| x - y | < δ \Rightarrow | f (x) - f (y) | < ϵ)$
を満たすとき、 $A$ 上一様連続であるという。

$f$ が $I$ 上一様連続ならば、 $I_{k}$ の直径を十分小さくすれば、すべての $k$ に対して $a (f, I_{k}) < ϵ$ とできることを意味しますから、
$\sum_{k \in K (Δ)} a (f, I_{k}) v (I_{k}) < v (I) ϵ$
より、可積分条件を満たします。

連続関数の可積分性

$R^{n}$ の有界閉区間 $I$ 上で連続な関数 $f : I \to R^{m}$ は、 $I$ 上可積分である。

この $f$ は一様連続なので、可積分なわけです。

零集合

$R^{n}$ の部分集合 $A$ は、任意の $ϵ > 0$ に対して、有界閉区間の列 $(I_{m})_{m \in N}$ であって、
$A \subset ⋃_{m \in N} I_{m}, \sum_{m = 0}^{\infty} v (I_{m}) < ϵ$
を満たすものが存在するとき、( $n$ 次元)零集合という。

$f$ が連続な点では、それを含む小区間 $I_{k}$ であって、 $a (f, I_{k}) < ϵ$ なるものが任意の $ϵ > 0$ に対して存在しますが、不連続な点ではそうはなりません。そこで、不連続点を含む小区間については $v (I_{k})$ が、特にその和が十分小さくできる必要があります。そして、証明はしませんが、次の定理が成り立ちます。