フェルマーの最終定理の簡単な証明と、微小数と無限、近傍を使った反証（フェルマーの最終定理が誤りであることの証明と、その結論に至るまでの足跡）

フェルマーの最終定理の簡単な証明と、微小数と無限、近傍を使った反証（フェルマーの最終定理が誤りであることの証明と、その結論に至るまでの足跡）

編集後記

フェルマーの最終定理の簡単な証明を与えるつもりが、矛盾する結果を導いてしまいました。何故だろう。
分かりません。あ、そっか。
実数解じゃ意味がないな。
有理数解じゃないと。
しかし、有理数解はありました。
いや、ありませんでした。
なんじゃそりゃ。
とにかく、フェルマーの最終定理が証明されました。
しかし、無限の性質を利用して、フェルマーの最終定理の反証ができました。
最後の部分以外は無駄でした。
いや、証明になっているので、無駄ではありません。楽しかったです。

順番に説明します。

問題の等式

全ての変数が$0$より大きいとする。
$x+y=1$となる$x,y$を考える。
3乗する。
$x^3+y^3+T=1$
$T>1$より示された。
$x+y+z+\dots \dots =1$の場合矛盾するかと思ったが、そんなことはなかったし、フェルマーの最終定理とも関係がない。
■
これは誤りです。$x+y>1$の場合を考えていません。
では、$x+y>1$の場合を考えます。

真面目な解説

$x+y=1$と勝手においていいのかですが、これは別の書き方で説明すれば分かりやすくなります。
$x,y$は非負の有理数とします。
$x+y=1$
かどうかは今分かりません。
今
$x^3+y^3=1-T$
とします。すると、実は
$x+y=1$の場合、$(T=3xy(x+y))$です。
$x+y=1$の場合、このような等号が成り立ちます。
なぜなら
$x^3+y^3+T=(x+y{)}^3=1$
だからです。つまりこの場合、
$x^3+y^3=1$という等式は成り立ちません。この等式を(a)とします。
(a)が成り立つとすると
$x^3+y^3+T=(x+y{)}^3>1$なので、つまり
$x+y-a=1$です。$x,y,a\in \mathbb{Q}$
$(x+y{)}^3=x^3+y^3+T=(a+1{)}^3$
$\therefore a^3+3a^2+3a+1-T=x^3+y^3$
$x^3+y^3=1$なので
左辺が$1$、つまり
$a(a^2+3a+3)=T=3(x+y)xy$なら等号が成り立ちます。すると、フェルマーの最終定理は成り立たないことになります。
この方程式の解は

$x=-\frac{\sqrt{3}\sqrt{y(4a^3+12a^2+12a+3y^3)}+3y^2}{6y},y\ne 0$

です。
（$x$と$y$を入れ替えたものも同様に解です。）
今新たな発見の可能性を捨てないように$x,y$を非負の有理数としましたが、実は$x,y$は非負の有理数かつ0でない、正の有理数です。従って$x$または$y=0$の場合は考える必要がありません。
また、その場合$a=0$なので、難しいことは何もありません。
つまり解があります。これは有理数解ではありません（ように見えます）ので、もう少し考えてみましょう。
有理数解がなければ、フェルマーの最終定理は成り立ちます。
結論としては、有理数解はありません。従って、フェルマーの最終定理が証明されました。
■

更に考える

$3S=3(x+y)xy$と置きます。
$S=(x+y)xy$
更に、$x=y$と置きます。
$S=2x^3$
$x=S^{1/3}/2^{1/3}$
$x^3=y^3=S/2$
$x,y$が無理数なので、フェルマーの最終定理は成り立ちますね。
つまりこれだけ調べたのに、意味がなかったということですか。
まあ、一応証明できたから無駄ではなかったか。
そう思ったのですが、そうではありませんでした。続く。

折角なので

$x$の有理数の部分をp, 無理数の部分を微小数$q$と置いて、更に$q=0.0000\dots \dots 1$と置きますか。これは置けます。また、これは無限大の逆数です。
この数$q$は有理数$0$の近傍に含まれるので、無理数です。
無限に何を掛けても無限なので、$q$に$q$を掛けたり、$1$より大きな数で割っても$q$のまま変化しません。

フェルマーの最終定理が成り立たないとすると、$q$の性質より$x=y$の時
$\begin{array}{rcl}& x^3& =p^3+3p^{2}q+3pq+1\\ & & =1/2\\ \\ & q& =\frac{1/2-p^3}{3p^2+3p}\\ & & =\frac{q}{3p^2+3p}\\ & & =q\end{array}$
この等式は成り立っています。
つまり、やはりフェルマーの最終定理は偽です。
■


こうぼくん（テクテク）
ウィーン（自動ドア）
たまねぎ店員「いらっしゃいませ」
たまねぎ店員「カツ丼大盛卵ダブルと、カツ丼特盛卵ダブルがございますが、どちらになさいますか」
こうぼくん「大盛ください」
たまねぎ店員「かしこまりました」
たまねぎ店員（つくりつくり）

たまねぎ店員「お待たせいたしました」
（ホカホカ……）
こうぼくん「やった！」
こうぼくん「よいしょ」
（運び運び）
こうぼくん「いただきます」
（もぐもぐ）
こうぼくん「うーん、うまい」

こうぼくん（食べ終わった）
こうぼくん「ごちそうさま」

たまねぎ店員「ありがとうございました。またお越しください」
こうぼくん「おいしかったよ」
たまねぎ店員「ありがとうございます」

ウィーン（自動ドア）
たまねぎ店員「またのお越しをお待ちしております」

（のんびりできた）