ある特殊な性質を持った自然数が無限個あることの証明

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ある特殊な性質を持った自然数が無限個あることの証明

ある無限に近い位十分に大きな区間に一つ条件を満たす数が存在する時、それよりも広く区間を取ればもう一つ取れ、繰り返せば無限個取れる。
途中で一つも取れない場合、その数はランダムではない。

こうぼくん「ふむふむ（分かってない）……？？？」
かわぐちさん「説明してあげるよ」
たまねぎくん「ぼくに任せてね」
かわぐちさん「うん」

たまねぎくんの解説

自然数に上限はありません。
ある有限の自然数mと比較する限り、それより大きな自然数nは必ず存在します。これはmがどれだけ大きくても成り立つ命題です。
そうすると今、凄い操作が可能になってきます。区間の取り方を、
「ランダムなある数$l$の数列$l_0, l_1, l_2, \cdots , l _k$（kは全ての自然数）の、$l_0$の次の数$l_1$が再び存在する場所まで際限なく$n$を大きくしてもよい」
ことになるのです。しかも今、添字の$k$を0と1から変えてもよいです。一般性があるので$k$を0と1に固定した後、隣り合った数同士で自由に変えてもよいです。
糅(か)てて加えて、後者の数を$k_a$の次の$k_{a+1}$とせずに$k_{a+b}$とか、$k_{a+n}$（登場する数は全て自然数、このnは当然既出の非常に大きなn）にすることすらできます。更に大きな自然数$N$を考える必要がある可能性が高いように思われるかもしれませんが、そもそもこの議論は、登場する自然数の具体的な大きさを考えずに、全く無視することが可能です。ここが凄い所で、面白い所でもあります。

確率で考えると乱数なので
「どんなに区間を広く取っても当該の現れてほしい自然数が現れない可能性があるから言えないのでは？」
とお考えになり心配する方もいらっしゃるかもしれません。しかし、心配ご無用。これは、
「可能性が限りなく1に近い証明もどき」
ではありません。数学を離れるとそれでも実用性があるので、私はそのような証明もどきを
「確率的証明」
と呼ぶことにしましたが、これは確率的証明ではありません。今からそれを示します。

補題

絶対に起きないことは、起きる確率が0である。
つまり、
確率が限りなく0に近いが0ではない事象「ではなく」確率が本当に0なら、その事象は例え何回試行しても、必ず
「起きる」
ということが起きない。

この命題は真です。証明の必要もありません。
この対偶は
確率が0ではなく、限りなく0に近いかもっと大きい場合、十分に大きな有限の自然数n回試行しさえすれば、
「必ず起きない」
ということが起きない、つまり、
必ず最低一度起きるか必ず一度も起きないかは排中律に従うので、必ず起きるということが起きる。

つまり、確率が0でない限り必ず起きるのです！
補題の証明終わり
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補足

乱数なら確率は0ではないので、むしろ乱数である方が都合がいいです。

以上で解説を終わります。

たまねぎくん「終わりだよ」
かわぐちさん「長かったね」
たまねぎくん「うん」
こうぼくん「休憩しよう」

この先も長くて難解なので、休憩しながら読むことをお勧めします。

続き

特に、正の実数の小数点を取り除けば自然数になる。自然数Nの桁を増やし十分に大きな数Mで割る。そうやってできる数を全て含む集合を考える。桁を増やすと有理数の無限個の点になり有理数かその部分集合に一致する。今、上限がないのでNとMの桁を無限にいくらでも近付けることができる。

こうぼくん「無限にできるのか」
かわぐちさん「なるほど」

$N=(1/a)M$とすると、aを大きくすることで自然数と対応する区間をa個取れる。
また、自然数の無限個の数が含まれる区間は、無限個に分割してもそれぞれの区間に無限個の数が含まれることは変わらない。
自然数に上限がないことから、aも無限に近付けることができる。すると、一つの自然数の無限集合を、十分に大きな自然数a個の無限集合に分割することができる。
これは、十分に大きな（分かりやすいように$0$から$b(b∈\mathbb{Q})$までとする）有理数の区間を、有限のn個の区間$c_0, c_1, c_2, \cdots , c_n$に分割しても、それぞれの$c_k(k∈\mathbb{N}, 0≦k≦n)$
に無限個の自然数の無限集合の元が対応することから容易に分かる。
$0$から$b$までの区間を自然数と対応させることも可能で、全ての$c_k$を自然数と対応させることもできる。これは無限ホテルのパラドックスにより説明される事実である。
ランダムな自然数は、無限個の自然数が含まれる区間に少なくとも一つ存在する。
何故なら、無限個の自然数が含まれる区間の代表として0から無限までの区間を取った時にその自然数が含まれないならば、それは自然数の数ではないことになるからである。また、無限個の自然数が含まれる区間と、同じ数の自然数が含まれる区間は、群として準同型であり、これらの全ての準同型の区間にランダムな数は最低でも必ず一つは含まれる。

ここで
「ランダムな数」とは何かと考えると、数式で表せる数は、その数式が内包的である。内包的に記述できない自然数は、ある条件下でその数が再び現れるということがない。つまりランダムな数は一種の乱数であり、内包的に記述できない全ての数は乱数であるので、殆ど全ての数が、当該のランダムな数に含まれると言える。
ゆえに、出現する可能性と無関係なある特殊な性質を持った数や、その組は、ランダムに現れるということが言える。

従って、友愛数等の自然数や自然数の組は、無限個存在する。
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