πが無理数であることの簡単な証明と、微小数の無限倍は値が定まることがあることの証明

$\pi$が無理数であることの簡単な証明

余弦定理より半径$1$の円周より少し小さい内接する正$n$角形の、$n$を無限に飛ばす｡その多角形を、無限角形と呼ぶことにする。
無限角形、外接する無限角形の間に円周の長さが存在する。

内接する無限角形の一辺は$\sqrt{1+1-2\ast \cos 0}$より少し大きく、$0$よりわずかに大きい無理数。
$\pi$は無理数で、しかも微小数の無限倍は必ず$\pi$になる可能性がある。
……それはないかな。
しかし、最低でも微小数の無限倍は不定になるとは限らない。極限なので微分したように値が定まることがあることが分かる。

無理数である証明

無理数の$n$倍である為$\pi$は無理数である。

なぜ$\pi /n$は無理数か？

有理数$0$の近傍は無理数である為。