ルジャンドル予想の証明その2

ルジャンドル予想の証明その2

その1とは別の方法で証明します。

素数が存在することを
「題意が成り立つ」と呼ぶことにする。
登場する数は0以外の自然数とする。
$p$を素数とする。
$n=p+N$とすると
$\begin{eqnarray} &(n+1)^2&=n^2+2n+1\\ &&=(p+N)^2+2(p+N)+1\\ &&\equiv N^2+2N+1\pmod p \end{eqnarray}$
ここで、$n$が十分大きい時、$2n+1$も十分大きく素数がある。
$n$が小さい時
$N=M-p_2(p_2=kp)$と置く。
$\begin{eqnarray} &(n+1)^2&\equiv N^2+2N+1 \pmod p\\ &&\equiv(M-p_2)^2+2(M-p_2)+1\\ &&\equiv M^2+2M+1 \end{eqnarray}$
$n$が小さくても$M$は十分大きいので、合同が成り立ち、$2M+1$は十分大きい。
よって(a)と同様に題意が成り立つことが言える。
よって題意が示せた。
■


こうぼくん「？？？」
こうぼくんが困ってしまった。

たまねぎくん「任せてね」

たまねぎくんの解説

要するに、説明が重複しています。
まず、$n$がむちゃくちゃ大きな時、成り立ちますね。
更に、$n$がさほど大きくない場合に、
$n$よりも大きい$M$で成り立つと言っています。この$M$はそんなに大きくありません。$p$は素数なので、$2M+1$から$p$を引いて$0$にならなければよいのですが、その為に必要な$M$の大きさは
$2M+1-p>0$
$M>\frac{p-1}{2}$です。
つまり、$p$が十分大きければ$M$が十分大きく、成り立ちます。$p$がそれより小さい時は、$M$さえ十分大きければ、素数が存在するという題意が成り立ちます。
つまり、題意と同値の
$2M+1-p>0$
という不等号が成立します。（成り立ちます。）
そして、$M$を十分大きく取ればよく、それは自由にできます。（定義より可能です。）更に、$M$が十分大きい時、当然成り立ちます。$N$や$n$が大きいのと同じなので。
従っていつでも成り立ちます。


こうぼくん「これは難しい」
かわぐちさん「難しいね。でも慎重に考えれば分かるよ」
たまねぎくん「分かったよ」
こうぼくん「すごいね」
かわぐちさん「そのうち分かるよ」
こうぼくん「そっか」
（のんびり）