79^83 mod 89

${79}^{83}$ を $89$ で割った余りを計算する。以下法 $89$ で考える。

${79}^{83}=(-10{)}^{-5}=({100}^2\times (-10){)}^{-1}=(121\times (-10){)}^{-1}$ が成り立つ。ここで、${44}^{-1}=-2$ であることに注意すると、$(121\times 16{)}^{-1}=4$ が成り立つ。よって、$(-1210{)}^{-1}=(-121\times 16{)}^{-1}\times 5^{-1}\times 8=4\times 8\times 5^{-1}=4\times 8\times 18=30\times 18+36=6\times 90+36=6+36=42$ が成り立つ。従って ${79}^{83}=42$ である。