文献あり

円周率の各桁の値の並びには、いかなる数列をも登場するのではなく、絶対に登場しない並びがあることの証明

ツチノコ関数

円周率のある桁からある桁まで、$0 \hspace{5pt} \tilde{} \hspace{5pt} 9$までのある自然数が連続して並ぶことはあるでしょうか？（これを問題1とします。並ばないなら真、並ぶなら偽とします。）
0がn個並ぶ桁までの円周率の桁の数（大体そんな感じ）を
「ツチノコ関数」
と名付けた先駆者様がいらっしゃいます。参考文献参照のこと。

主張1

円とはそんなに単純な形をしていない。
円周率は途中まで、非常に複雑な上、繰り返しもない。しかも、ほとんど均等に
$0\tilde{}9$までの自然数が、どれも同じ位登場する。だから円という図形は、単純なようでいてその周や面積を表そうとすると、円周率という非常に込み入った値が必要になる。つまりこのような命題と、問題1は同値である。

円という図形が「複雑」なら、問題1は真。

主張2

内接、外接する同じだけの頂点を持つ2つの正多角形の周で、円周の長さを小さい方、大きい方の両側から押さえる方法がある。
円周率のある桁までの有理数に、次の桁の自然数$n$より大きな値を付け加えると、外接する正多角形の周に近い値を表せる。同様に、次の桁の自然数$n$より小さな値を付け加えると、内接する正多角形の周に近い値を表せる。外接、内接する多角形の周は、実際に計算できる。

これらの値は、円周率の近似と見なすことができる。

つまり、ある桁まで円周率を近似できると、円周率の値は大体この位だと分かる。

円は、どれだけ拡大しても、相似の多角形のように同じ形をしている。
円周率の近似した値の桁が増えれば増えるほど、外接、内接した多角形の周は、円周を表す円周率の定数倍に近付く。
証明にはならない（かもしれない）が、円を拡大して、全く同じ「相似のような」円が現れるということは、荒く円周を計算した時の、$n$桁目までの短い円周率の近似値の、各桁の並びの数列と、$n+1\tilde{}2n, 2n+1\tilde{}3n, \cdots ,an\tilde{}(a+1)n$
の数列は、同じようにパターンを持たない並びでなければならない。従って問題1は真である。

主張3

円周率が
「問題1が真であるような値」であるのかどうか、判定する方法がある。ただし、無限個の具体的計算が必要である。
円の少ない一部に、内側を通る線は円と二点で交わる直線か線分に似た線、外側を通る線は曲線と線分が1つの線に繋がったものになるように、線を引く。
1つ目の線は、円と比較的近い二点で交わり、一つの交点から円の内側を通り、円の中心からの距離が、一度だけ単調減少し、その後一度だけ単調増加し、もう一つの円との交点に戻ってくるように引く。ただし、長い方の円周の一部と短い方の円周の一部があるので、線は短い方の円周の一部に近い側に引く。
2つの交点を通る円周の長い側と、円以外に引かれた線を通り、同じ点に戻ってくる経路の長さを測る。
同じように、2つ目の線を、円と比較的近い二点で交わり、一つの交点から円の外側を通り、円の中心からの距離が、一度だけ単調増加し、その後一度だけ単調減少し、もう一つの円との交点に戻ってくるように引く。ただし、長い方の円周の一部と短い方の円周の一部があるので、線は短い方の円周の一部に近い側に引く。
その線と、2つの交点を通る円周の長い側を通り、同じ点に戻ってくる経路の長さを測る。
この2つの経路を、順に経路A、経路Bとする。
経路A、経路Bは、両方円周の長さとは一致しない。しかも、円周の長さより短い任意の経路と、円周の長さより長い任意の経路を取れる。
この2つの経路が、$0\tilde{}9$までの自然数が十分に大きな$n$桁並ぶ値を取り得るなら、それは円周と一致しないので、問題1は真である。

主張3の問題点

その1

実はどのように線分、線を引いても、
「$0\tilde{}9$までの自然数が十分に大きな$n$桁並ぶ値を取り得る」
ということがない可能性がある。この条件を条件Cとする。
ツチノコ関数自体は普通に考えると値がありそうなので、本当にこのような納得の行かない結論になる可能性がある。その場合条件Cは成り立っている。

その2

主張3を証明だとした時、
証明した条件が厳しすぎる。
厳しければ厳しいほど、一般化がなされていればいるほどよい、というのが普通だが、この場合
「円周率が、問題1が真である限りどのような値でもよい」
という証明をしてしまっている。

問題点を解決する方法

ドラスティックに証明を変えるということも考えられるかもしれない。

それ以外に
円周率が超越数であることから、あるいは主張2、主張1の主張を利用することが考えられる。

主張1と主張2は何の意味もなく書いた訳ではない、というか、意味があって書いている。
この3つと後ろの1つで、1つの証明になっていると思う。

円周率が超越数であることについて追記

内接、外接する正$n$角形の周は一辺を$T$として$nT$である。
また、同じ長さの曲線の$2 \hspace{5pt}\tilde{}\hspace{5pt} n$個の集まりで表しても、円周の一部でない限り超越数にならない可能性がある。しかも可能性が高そうだ。超越数の倍数は超越数で、超越数でない数の倍数は超越数ではないからだ。
つまり、円はよほど特殊な図形だということなのか？

超越数の長さの直線は引ける

超越数の倍数は超越数で、超越数でない数の倍数は超越数ではないからだ。

もしそうだとしたら？
円周率を表す円周そのものは、円の内側と外側に線を引いていたら引けない。
普通に、自由に線を引いた時に、円周の定数倍
$(2, 0.5, etc……)$は引ける。つまり、超越数の線を引くことは普通にできる。
だが、円以外に、円周の定数倍
$(2, 0.5, etc……)$の線は引けるだろうか？
引けないようにしか思えないが、絶対に引ける。
円周より長い線と短い線が引け、その間の長さの線は自由に引けるからだ。
つまり、線を自由に引けば円周と同じ長さの線は引ける。しかし、例えば今、直径1の円周の4分の1の長さの線を引くと、直径2分の1の円周が引ける。
円があって、円周と全く同じ長さの内側と外側の線が円周と同じ長さになることはないが、円と重なってはいけない、という制約がなければ、どんな長さの線でも引くことができる。

多角形の周で円周を近似できることについて

今、むちゃくちゃ小さい直径$p=1$の円を書き、その円周を$p \pi=\pi$とする。それに比べるとむちゃくちゃ大きな直径である直径$X$の円を書く。例えば、$p=1, X=10000000000$とする。
この時に、$\pi$がどこかで大きな桁$0$が連続していると、直径$X$の円の円周に等間隔でプロットした点の間隔が、大体自然数の定数分の$1$で書ける。
$X$を限りなく大きくした時に、ある桁から十分に大きな数$0$が並んでいる、とするともっと分かりやすい。$0$が続く箇所より小さい値を切り下げ、切り上げしたら、その値は内側と外側の線の値になる。
例えば円周率が$3.140000\cdots$のような感じになっていて、$X=100$とすると、円周を$314$分割すると、円周は正$314$角形の周に近い。そしてそれは、自然数$1$の$314$倍、つまり円周率は、有理数に近いことになる。
この有理数は、自然数（倍）にこだわらずに、円周に限りなく近いように取ることができるはずだ。つまり、有理数に近似できることになる。
無理数を有理数に近似できるのは当たり前なので、これでは何も分からないように思える。
しかし、これは証明になっている。
分かったことは、$0$が円周率の十分大きな連続した桁並んでしまうと、円周が多角形よりほんの少しだけ大きな、円でない図形の周と一致してしまう、ということだ。
これは、ここから証明をしなくても、これだけで証明になっていると思う。証明終わり（Q. E. D.）。
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