有理数の完備化、無限進法

有理数の完備化

有理数$p/q(p,q\in \mathbb{Z})$の分子、分母の両方に$n$を掛け、nを無限大に飛ばすだけでできる。
このように作った実数は
$n$進法の$n$を無限に飛ばした無限進法と等しい。

有理数の無限進法で無限桁なら無限の無限乗の和。$p/q$の$q$進法なら$1/3=[0.333\dots {]}_{10}=[0.1{]}_3$のように通常は有限桁。そして$q$進法で無限桁なら$q$の無限乗、$1/q$の無限乗の和。さらに、無限進法は小数点以下一桁で実数と等しくなる。
この三つは等しい。つまり巾集合は取り方によらない上、どんな巾集合でも濃度は等しい。